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第 6 讲 一元二次方程应用（二）
1. 懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；
2. 懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；
3. 懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。
知识点 1：销售利润问题 ：
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
知识点2：几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则 ；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
知识点3 ：动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公
式列出方程.【题型 1 销售利润问题】
【典例1】（2022秋•信宜市校级期中）某超市以每千克40元的价格购进一种
干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销
售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间
满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）y与x之间的函数关系式为 ；
（2）当每千克干果降价1元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2210元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应
降价多少元？
【变式1-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每
天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图
所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？
【变式1-2】（2022秋•顺德区期中）佛山市加快建设制造业创新高地，全球每
生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台 430元的价格进货
一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销
售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是
y与x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若该商场要求微波炉的月销售量不少于750台，并且每月销售微波炉的
利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为 71250元时，微波炉
的销售单价应定为多少？
【变式1-3】（2023•临川区校级一模）某超市经销一种商品，每千克成本为 30
元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x 40 45 55 60
（元/千克）
销售量y（千 80 70 50 40
克）
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于 60元的价格销售，要使销
售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？
【典例2】（2022•南海区一模）某商场以每件 210元的价格购进一批商品，当
每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，
商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1元，
那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更
有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【变式 2-1】（2023春•西湖区校级期中）“抖音”平台爆红网络，某电商在
“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电
商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调
研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为30件时，产品售价为 元/件；
（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
【变式2-2】（2023春•余姚市校级期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就
深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获
利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取
适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价 5元，平均可多售
出1件．
（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？
（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈
利5980元？
【变式2-3】（2022秋•宁德期末）随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住
宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾
馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率；
（2）根据市场表现发现每床每日收费 40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，
同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？
【题型2 几何面积问题】
【典例3】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴
影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外
围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，
通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每
次降价的百分率．
【变式3-1】（2023•大连一模）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为
充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用
栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，若矩形绿地的面积为36m2，求矩形垂直
于墙的一边，即AB的长．【变式3-2】（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃
ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图 2所示
BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林
部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图
3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的 ，其余部分种植花卉，
花卉种植的面积为1728平方米．
（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；
（2）求出网红打卡点的面积．
【变式 3-3】（2021 秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙 EF 最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入
口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
【题型3 动点与几何问题】
【典例4】（2022•霍林）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC
＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开
始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则
同时停止运动．
（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积为
4cm2．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．
（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【变式4-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝
5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q
从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均
停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（ ）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或 秒
【变式4-2】（2022秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，
BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从
点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停
止运动．
（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；
（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；
（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？【变式4-3】（2022•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，
BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动
点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、
Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
1．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量
是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则
所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
2．（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空
地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．
设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝ ×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30
C．30x+2×20x＝ ×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30
3.（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个
底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小
的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为
xcm，则可列出关于x的方程为 ．
4．（2020•西藏）列方程（组）解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚
下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所
示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开
有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．5.（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价 35元，原计划以每桶
55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒
液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，
其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利 1760元．这种消毒液每桶
实际售价多少元？
6.（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为 35m，15m．现计划对其
进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为 5：3．求新的矩形
绿地面积．7.（2022•南岸区自主招生）北京冬奥会期间，某商店购进 600个纪念品，每个
纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了
适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低 1元，可多售出
50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价
的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．
注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）
（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二
周的销售利润；
（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为 1400元，求第二周每个纪念品
的售价；
（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数
量．
1．（2022秋•大渡口区校级期末）某网店以每件 100元的价格购进一批商品，
若每件商品的售价为120元，则平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，网
店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可
多售出5件，每件商品售价为多少元时，该网店日盈利可达到 800元？设每件
商品售价为x元时，该网店日盈利可达到800元，则可列方程为（ ）
A．（20﹣x）（30+5x）＝800 B．（20﹣x）（30+x）＝800
C．（x﹣100）（630﹣5x）＝800 D．（x﹣100）（630﹣x）＝800
2．（2022秋•河北区期末）某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销
售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因
受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，
则定价为多少元？（ ）A．50 B．60 C．50或60 D．100
3．（2022秋•江岸区校级月考）在一幅长 80cm，宽50cm的矩形风景画的四周
镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积
是5400cm2，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），
则x的值为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
4．（2022秋•甘井子区校级月考）如图，把一块长为 40cm，宽为20cm的矩形
硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用
胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 576cm2，求剪
去小正方形的边长．
5．（2021秋•平定县期末）如图所示，某景区计划在一个长为 36m，宽为20m
的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它
们的面积之和为336m2，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通
道，问行车通道的宽度是多少m？6．（2021秋•昌图县期末）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的
最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？
（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出 AD的长；若不能，
请说明理由．
7．（2021秋•平山区校级月考）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗
洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．
根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低 0.5元，
则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”
的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润为
320元？
8．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价
为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如
果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天
想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪
掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一
个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF = cm， GH= cm；（用含x的代数式表
示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长
10．（2022秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝
8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止
运动），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即
停止运动）．
（1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积
等于△ABC面积的三分之一？
（2）如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点 P，Q相距
6cm？11．（2022秋•江都区期中）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB
＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度
向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
12．（2022 秋•市北区校级月考）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝
20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q
从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的
速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运
动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）
求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（3）当t为多少秒时， ？
