第03讲解一元二次方程-公式法和因式分解（知识解读+真题演练+课后巩固）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2024版

第 3 讲 解一元二次方程-公式法和因式分解 1.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程； 2.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程； 知识点1： 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式 ， （2）求出判别式 知识点2：解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【题型 1 解一元二次方程-公式法】【典例1】（2022秋•大田县期中）用公式法解方程 x2﹣2x＝3时，求根公式中 的a，b，c的值分别是（ ） A．a＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 【答案】D 【解答】解：x2﹣2x＝3， x2﹣2x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， 故选：D． 【变式1-1】（2022秋•泉州期末）用求根公式解一元二次方程 5x2﹣1﹣4x＝0 时a，b，c的值是（ ） A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a＝5，b＝﹣4，c＝1 C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a＝5，b＝4，c＝1 【答案】C 【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0， ∴5x2﹣4x﹣1＝0， 则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， 故选：C． 【变式1-2】（2021秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程 3x2﹣4x＝8时， 化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ） A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8 【答案】D 【解答】解：∵3x2﹣4x＝8， ∴3x2﹣4x﹣8＝0， 则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8． 故选：D． 【变式1-3】（2022秋•宛城区校级月考）用求根公式解一元二次方程 5x2﹣1﹣ 4x＝0时a，b，c的值是（ ） A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a＝5，b＝﹣4，c＝1 C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a＝5，b＝4，c＝1【答案】C 【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0， ∴5x2﹣4x﹣1＝0， 则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， 故选：C． 【典例2】用公式法解下列方程： （1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1 【答案】（1）x ＝ ，x ＝ （2）没有实数解 1 2 【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0， ∴x＝ ＝ ， 所以x ＝ ，x ＝ ； 1 2 （2）6x（x+1）＝5x﹣1， 整理得6x2+x+1＝0， ∵a＝6，b＝1，c＝1， ∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0， 方程没有实数解． 【变式2-1】（2022秋•潮安区期中）解方程：2x2﹣7x+3＝0（公式法）． 【解答】解：2x2﹣7x+3＝0， 这里a＝2，b＝﹣7，c＝3， ∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x ＝3，x ＝ ． 1 2 【变式2-2】（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x． 【答案】x ＝1，x ＝﹣ ． 1 2【解答】解：5x2+2x﹣7＝0， ∵a＝5，b＝2，c＝﹣7， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0， ∴x＝ ＝ ＝ ， ∴x ＝1，x ＝﹣ ． 1 2 【变式2-3】用公式法解下列方程：x2+4x+8＝2x+10 【答案】 ， ； 【解答】解：（1）x2+4x+8＝2x+10， 整理，得x2+2x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝2，c＝﹣2， ∴ ， ∴ ， ； 【题型2 解一元二次方程-因式分解法】 【典例3】一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（ ） A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5 【答案】C 【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x＝5，x＝﹣1， 1 2 故选：C 【变式 3-1】（2022 秋•花垣县月考）一元二次方程（x﹣1）x＝0 的解是 （ ） A．0或﹣1 B．0或1 C．1 D．0 【答案】B 【解答】解：∵（x﹣1）x＝0，∴x﹣1＝0或x＝0， 则x＝1或x＝0， 故选：B． 【变式3-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ） A．x ＝2，x ＝1 B．x ＝2，x ＝﹣2 C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝2，x ＝﹣ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 【答案】B 【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0， 所以x ＝2，x ＝﹣2． 1 2 故选：B． 【变式3-3】（2022秋•中山市期末）方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（ ） A．x ＝﹣3，x ＝﹣2 B．x ＝﹣3，x ＝2 1 2 1 2 C．x ＝3，x ＝﹣2 D．x ＝3，x ＝2 1 2 1 2 【答案】C 【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x﹣3＝0或x+2＝0， 解得x ＝3，x ＝﹣2， 1 2 故选：C 【典例4】用因式分解法解下列方程． （1）x2﹣x﹣56＝0． （2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）． 【解答】解：（1）x2﹣x﹣56＝0， ∴（x﹣8）（x+7）＝0， ∴x﹣8＝0或x+7＝0， ∴x ＝8；x ＝﹣7； 1 2 （2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）， 移项，得3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，∴x ＝2；x ＝ ． 1 2 【变式4-1】（2021秋•昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0． 【答案】（1）x＝﹣3，x＝1； （2）x＝7，x＝1 1 2 1 2 【解答】解：（1）（x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， 所以x＝﹣3，x＝1； 1 2 （2）（x﹣7）（1﹣x）0， x﹣7＝0或1﹣x＝0， 所以x＝7，x＝1． 1 2 【变式4-2】（2022春•义乌市月考）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）． 【答案】（1）x ＝1，x ＝﹣7 （2）x ＝5，x ＝13． 1 2 1 2 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， 分解因式得：（x﹣1）（x+7）＝0， 所以x﹣1＝0或x+7＝0， 解得：x ＝1，x ＝﹣7； 1 2 （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）， 移项得：（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0， 分解因式得：（x﹣5）[（x﹣5）﹣8]＝0， 所以x﹣5＝0或x﹣13＝0， 解得：x ＝5，x ＝13 1 2 【变式4-3】（2021秋•天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6． 【答案】（1）x＝5，x＝﹣3 （2）x＝﹣3，x＝﹣1． 1 2 1 2 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0， （x﹣5）（x+3）＝0， 则x﹣5＝0或x+3＝0，∴x＝5，x＝﹣3； 1 2 （2）（x+3）2＝2x+6， （x+3）2＝2（x+3）， 移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0， 则（x+3）（x+1）＝0， ∴x+3＝0或x+1＝0， ∴x＝﹣3，x＝﹣1． 1 2 1．（2022•路北区校级一模）定义[x]表示不超过实数 x的最大整数，如[1.4]＝ 1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（ ） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或 或2 【答案】D 【解答】解：∵x2≥0， ∴x≥0， ①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0； ②1≤x＜2时，x2＝2，解得x＝ 或x＝﹣ （舍）； ③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）； ④x≥3时，方程无解； 综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x＝ ， 故选：D． 2．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ） A．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 B．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 1 2 1 2 C．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 D．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 1 2 1 2 【答案】D 【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0， 则x＝ ＝ ＝﹣2±2 ， ∴x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 ， 1 2 故选：D． 3．（2022•鼓楼区校级二模）一元二次方程 3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式 x＝ 求解时，a，b，c的值是（ ） A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1 【答案】D 【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2＝0， ∴﹣2x2+3x﹣1＝0， 则a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1， 故选：D． 4．（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（ ） A．x ＝﹣3，x ＝﹣4 B．x ＝﹣3，x ＝4 1 2 1 2 C．x ＝3，x ＝﹣4 D．x ＝3，x ＝4 1 2 1 2 【答案】A 【解答】解：x2+7x+12＝0， （x+3）（x+4）＝0， x+3＝0或x+4＝0， 所以x ＝﹣3，x ＝﹣4． 1 2 故选：A． 5．（2023•林州市模拟）已知等腰△ABC的边是方程 x2﹣7x+10＝0的根，则 △ABC的周长为（ ） A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15 【答案】D 【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0， x﹣5＝0或x﹣2＝0， 所以x ＝5，x ＝2， 1 2 当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2＝12； 当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5＝15； 当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2＝6， 综上所述，△ABC的周长为6或12或15． 故选：D． 6．（2023•绥宁县模拟）方程x2＝2023x的解是（ ） A．x＝2023 B．x＝﹣2023 C．x＝0或2023 D．x＝2023或﹣2023 【答案】C 【解答】解：∵x2＝2023x， ∴x2﹣2023x＝0， ∴x（x﹣2023）＝0， ∴x＝0或2023． 故选：C． 7．（2023•泉州一模）一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是（ ） A．x＝0 B．x＝3 C．x ＝0，x ＝3 D．x ＝0，x ＝4 1 2 1 2 【答案】D 【解答】解：x（x﹣3）＝x， x（x﹣3）﹣x＝0， x（x﹣3﹣1）＝0， x＝0或x﹣3﹣1＝0， 所以x ＝0，x ＝4． 1 2 故选：D． 8．（2023•裕华区校级模拟）老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元 二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再 将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁 负责的一步开始出现错误（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：甲在解方程时，方程两边同除（2x﹣1），导致少了一个解， 所以从甲开始就错了． 正确的解法为：移项得（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0，分解因式得（2x﹣1） （2x﹣1﹣3）＝0， 解之得 或x＝2， 故选：A． 9．（2023•衡山县二模）我们解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0时，可 以运用因式分解法将此方程化为（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．从而得到两个一 元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．进而得到原方程的解为 x ＝3，x ＝7．这 1 2 种解法体现的数学思想是（ ） A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】C 【解答】解：我们解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0时，可以运用因 式分解法将此方程化为（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．从而得到两个一元一次方 程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．进而得到原方程的解为 x ＝3，x ＝7．这种解法体 1 2 现的数学思想是转化思想， 故选：C 10．（2023•宜兴市一模）方程x2﹣3x＝1的解是 ． 【答案】x ＝ ，x ＝ ． 1 2 【解答】解：方程化为一般式为x2﹣3x﹣1＝0， a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，x＝ ＝ ， 所以x ＝ ，x ＝ ． 1 2 故答案为：x ＝ ，x ＝ ． 1 2 11．（2023•碑林区校级三模）关于x的方程x2﹣x+ ＝9的解是 ． 【答案】x ＝ ，x ＝﹣ ． 1 2 【解答】解：x2﹣x+ ＝9， x2﹣x﹣ ＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣ ）＝36＞0， x＝ ＝ ， 所以x ＝ ，x ＝﹣ ． 1 2 故答案为：x ＝ ，x ＝﹣ ． 1 2 12．（2023•小店区校级模拟）用配方法解下列关于x的方程： （1）x2+12x+25＝0． （2）2x2+4x﹣1998＝0． 【答案】（1） ， ； （2） ， ． 【解答】解：（1）x2+12x+25＝0， x2+12x＝﹣25， x2+12x+36＝﹣25+36， （x+6）2＝11， x+6＝± ，x+6＝ 或x+6＝﹣ ， ， ； （2）2x2+4x﹣1998＝0， x2+2x﹣999＝0， x2+2x＝999， x2+2x+1＝999+1， （x+1）2＝1000， x+1＝±10 ， x+1＝10 或x+1＝﹣10 ， ， ． 13．（2023•三明模拟）解方程：x2+3x﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：这里a＝1，b＝3，c＝﹣1， ∵△＝9+4＝13＞0， ∴x＝ ， 则x ＝ ，x ＝ ． 1 2 1．（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程 3x2﹣2＝4x时a，b，c的值 是（ ） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 【答案】C 【解答】解：∵3x2﹣2＝4x， ∴3x2﹣4x﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2， 故选：C． 2．（2022秋•船营区校级期末）一元二次方程x2﹣7x＝0的解是（ ） A．x＝x＝7 B．x＝x＝﹣7 C．x＝0，x＝7 D．x＝0，x＝﹣ 1 2 1 2 1 2 1 2 7 【答案】C 【解答】解：x2﹣7x＝0， x（x﹣7）＝0， ∴x＝0或x﹣7＝0， 解得x＝0，x＝7， 1 2 故选：C． 3．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（ ） A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5 【答案】C 【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x＝5，x＝﹣1， 1 2 故选：C． 4．（2022秋•滨海县期中）解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最适当的解法是 （ ） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 【答案】B 【解答】解：由于方程左边能够提取公因式分解因式， 所以，解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最适当的解法是因式分解法， 故选：B． 5．（2022秋•德城区期末）用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝ ． 【答案】8． 【解答】解：∵a＝2，b＝0，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×（﹣1）＝8．故答案为：8． 6．（2022秋•大丰区期末）解下列方程 （1）x2﹣6x﹣16＝0（配方法）； （2） （公式法）． 【答案】（1）x ＝8，x ＝﹣2；（2）∴ ． 1 2 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16＝0， 移项：x2﹣6x＝16， 配方：x2﹣6x+9＝25，即（x﹣3）2＝25， ∴x﹣3＝±5， ∴x ＝8，x ＝﹣2； 1 2 （2） ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 7．（2022秋•长寿区期末）解下列方程： （1）x2﹣2x＝8x﹣9； （2）4x2+4x+9＝0． 【答案】（1）x ＝9，x ＝1； 1 2 （2）方程无实数根． 【解答】解：（1）原方程化一般式为x2﹣10x+9＝0， （x﹣9）（x﹣1）＝0， x﹣9＝0或x﹣1＝0， 所以x ＝9，x ＝1； 1 2 （2）4x2+4x+9＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×4×9＝﹣128＜0， ∴原方程无实数根． 8．（2022秋•宁强县期末）用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0． 【答案】x ＝ ，x ＝﹣1． 1 2【解答】解：a＝4，b＝1，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝12﹣4×4×4×（﹣3） ＝49＞0， ∴x＝ ＝ ， 即x ＝ ，x ＝﹣1． 1 2 9．（2022秋•秦都区期末）用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0． 【答案】x ＝ ，x ＝ 1 2 【解答】解：2x2﹣x﹣5＝0， 这里a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x ＝ ，x ＝ ． 1 2 10．（2022秋•铁东区期中）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）2x2+5x+3＝0． 【答案】（1） ， ； （2） ， ． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝7， ， ， ； （2）2x2+5x+3＝0． 解：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，方程有两个不相等实数根 ， ． 11.用因式分解法解方程：x2+4x+3＝0． 【答案】x＝﹣1，x＝﹣3． 1 2 【解答】解：∵x2+4x+3＝0， ∴（x+1）（x+3）＝0， ∴x+1＝0或x+3＝0， 解得x＝﹣1，x＝﹣3． 1 2 12.用因式分解法解方程：x2﹣7x+10＝0（因式分解法）； 【答案】x＝2，x＝5 1 2 【解答】解：（1）∵x2﹣7x+10＝0， ∴（x﹣2）（x﹣5）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣5＝0， 解得x＝2，x＝5 1 2 13．用因式分解法解方程： （1）3x（2x+1）＝2（2x+1）； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 【答案】（1） x＝﹣ ，x＝ ； 1 2 （2）x＝ ，x＝2． 1 2 【解答】解：（1）∵3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（3x﹣2）＝0， 则2x+1＝0或3x﹣2＝0， 解得x＝﹣ ，x＝ ； 1 2 （2）∵（x﹣3）2＝（5﹣2x）2， ∴x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5， 解得x＝ ，x＝2． 1 2 14.用因式分解法解方程：x（x﹣4）＝12﹣3x（用因式分解法）；【答案】x＝4，x＝﹣3； 1 2 【解答】解：∵x（x﹣4）＝12﹣3x， ∴x（x﹣4）+3（x﹣4）＝0， 则（x﹣4）（x+3）＝0， ∴x﹣4＝0或x+3＝0， 解得x＝4，x＝﹣3； 1 2