文档内容
专题 03 一元二次方程的判别式与系数（四大类
型）
【题型1 根据一元二次方程判断根的情况】
【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】
【题型3 一元二次方程根与系数的关系-直接运用】
【题型4 一元二次方程根与系数的关系-拓展运用】
【题型1 根据一元二次方程判断根的情况】
1．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，
∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．（2023•内黄县二模）一元二次方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．有两个相同的实数根 B．有两个不相等的实数
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣12）＝49＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．（2023•镇平县模拟）一元二次方程x2﹣x＝﹣2的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A【解答】解：方程化为一般式为x2﹣x+2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0．
∴方程无实数根．
故选：A．
4．（2023•中原区校级一模）关于一元二次方程 x2+3x＝4根的情况，下列说法
中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：原方程可化为：x2+3x﹣4＝0，
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0
C．x2﹣bx+1＝0（b为常数） D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）
【答案】D
【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以 A选项不
符合题意；
B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题
意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以
C选项不符合题意；
D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以
CD项符合题意．
故选：D．
【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】
7．（2023春•蜀山区校级期中）若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，
则m的取值范围是（ ）
A．m＜4 B．m≤4 C．m≤4且m≠2 D．m＜4且m≠2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，
∴m﹣2≠0且（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×2≥0，
解得m≤4且m≠2，
故m的取值范围m≤4且m≠2．
故选：C．
8．（2023•中原区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0有实数根，则
k可能是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣k）2﹣4×2≥0，
即k2≥8，
只有k＝﹣3满足k2≥8，而k＝﹣2、1、 都不满足k2≥8．
故选：A．
9．（2023•扶沟县一模）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
则m满足（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞1 C．m＜﹣1 D．m＜1
【答案】A
【解答】解：根据题意得Δ＝22+4m＞0，
解得m＞﹣1．故选：A．
10．（2023春•涡阳县期中）若关于 x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝
0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝0有实数根，
∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2+3）≥0，
解得m≤﹣ ．
故选：D．
11．（2023•文山市一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，
则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k≤2 C．k＜4且k≠0 D．k≤2且k≠0
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2k≥0，
解得k≤2，
又∵k≠0，
∴k≤2且k≠0．
故选：D．
12．（2023•白碱滩区一模）已知一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有解，则k
的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≥4
【答案】A
【解答】解：根据题意得k﹣3≠0且Δ＝22﹣4（k﹣3）≥0，
解得k≤4且k≠3；
故k的取值范围为k≤4且k≠3．
故选：A．
13．（2023•浠水县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，
则k的值可以是（ ）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣4）2+4k＜0，
∴k＜﹣4，
∴四个选项中，只有A选项符合题意．
故选：A．
14．（2023•梁园区校级一模）若关于 x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不
相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣8k＞0，
∴ ．
故选：A．
15．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
1
【答案】（1） a>- 且a≠0 （2）-3.
3
【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，
1
解得a>- 且a≠0.
3
（2）解：由题意得：a+2-3=0，
解得：a=1，
∴x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得x=1或-3，
∴另一个实数根为：-3.16．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】（1）解：△=(−4) 2−4(k−1)
=−4k+20
由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则
−4k+20≥0
解得k≤5
（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x +x =4,x x =k−1
1 2 1 2
而x2+x2=(x +x ) 2−2x x =42−2(k−1)=10
1 2 1 2 1 2
解得k=4
由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．
【题型3 一元二次方程根与系数的关系-直接运用】
17．（2023•东莞市二模）已知方程 x2﹣3x+1＝0 的两个根分别为 x 、x ，则
1 2
x +x ﹣x •x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝3，x •x ＝1，
1 2 1 2
∴x +x ﹣x •x ＝3﹣1＝2，
1 2 1 2
故选：D．
18．（2023春•涡阳县期中）若 ， 是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
则 + 的值为（ ）
α β
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
α β
【答案】D
【解答】解：∵ ， 是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
α β
∴ + ＝﹣ ＝﹣ ＝3．
α β故选：D．
19．（2023春•西湖区校级期中）已知一元二次方程x2﹣5x+4＝0有两个实数根
x ，x ，则x +x ＝（ ）
1 2 1 2
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】D
【解答】解：根据根与系数的关系得x +x ＝5．
1 2
故选：D．
20．（2023•遵义模拟）设m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，
则m+n的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2023 D．﹣2023
【答案】B
【解答】解：∵m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，
∴m+n＝﹣3．
故选：B
【题型4 一元二次方程根与系数的关系-拓展运用】
21．（2023•东胜区模拟）已知 x ，x 是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则
1 2
的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣5 D．3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝﹣4， ﹣3x ﹣4＝0，
1 2 1 2 1
∴ ＝3x +4，
1
∴
＝3x +4﹣4x ﹣x ﹣8
1 1 2
＝﹣（x +x ）﹣4
1 2
＝﹣3﹣4
＝﹣7．故选：B．
22．（2023春•江都区月考）已知一元二次方程 x2﹣3x+1＝0有两个实数根x ，
1
x ，则x +x ﹣x x 的值为（ ）
2 1 2 1 2
A．6 B．2 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：根据根与系数的关系得x +x ＝3，x x ＝1，
1 2 1 2
所以x +x ﹣x x ＝3﹣1＝2．
1 2 1 2
故选：B．
23．（2023•鄱阳县一模）设m，n是方程x2﹣4x﹣6＝0的两个实数根，则（m
﹣2）（n﹣2）的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．12 D．10
【答案】B
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣4x﹣6＝0的两个实数根，
∴m+n＝4，mn＝﹣6，
∴（m﹣2）（n﹣2）
＝mn﹣2（m+n）+4
＝﹣6﹣2×4+4
＝﹣10，
故选：B．
24．（2022秋•顺德区期末）若方程x2＝4x的两根为x ，x ，则 的值是
1 2
（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解答】解：∵方程x2＝4x整理得x2﹣4x＝0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝0，
∵方程x2＝4x的两根为x ，x ，
1 2
∴ ， ，
∴ ，故选：C．
25.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2＝10，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x +x ＝4，x •x ＝k﹣1，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝10，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝42﹣2（k﹣1）＝10，
1 2 1 2
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
26．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于 x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k
﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x 、x ，且x +x ﹣4x x ＝2，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】（1）见解答；
（2）﹣1.5．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x +x ＝﹣（2k﹣1），x x ＝﹣k﹣1，
1 2 1 2
由x +x ﹣4x x ＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
1 2 1 2
解得：k＝﹣1.5．
27．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x 、x ，且 ，求m的值．
1 2【答案】（1）证明过程见解答；
（2）5或﹣2．
【解答】（1）证明：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+1+8
＝（m﹣1）2+8≥8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：x +x ＝m﹣3，x x ＝﹣m，
1 2 1 2
∵ ，
∴ ，即（m﹣3）2+3m＝19，
整理得：m2﹣3m﹣10＝0，即（m﹣5）（m+2）＝0，
所以m﹣5＝0或m+2＝0，
解得：m＝5或m＝﹣2．
故m的值是5或﹣2．
28．（2022秋•曲靖期末）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数
根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，原方程有两个实数根x ，x ，求 的值．
1 2
【答案】（1）k≤ ；
（2）14．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即4（k﹣1）2﹣4×1×k2≥0，
解得k≤ ，
∴k的取值范围为k≤ ；
（2）∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x ，x ，
1 2∴x +x ＝2（k﹣1），x x ＝k2，
1 2 1 2
∵k＝﹣1，
∵x +x ＝﹣4，x x ＝1，
1 2 1 2
∴（x ）2+（x ）2＝（x +x ）2﹣2x x ＝16﹣2＝14．
1 2 1 2 1 2
29．（2022秋•绵阳期末）已知关于 x的一元二次方程 有两
个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为 x ，x ，是否存在实数k，使得x +x ＝﹣2成
1 2 1 2
立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，且k≠0；
（2）存在， ．
【解答】解：（1）∵一元二次方程 有两个不相等的实数
根，
∴Δ＞0，且k≠0，
即 ，
即：1﹣2k＞0，
∴ ，且k≠0；
（2）存在．
根据题意， ，
∴ ，
∴ ，
经检验， 是方程 的根，且符合题意，
即 ．30．（2022秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2
＝0（a≠0）
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）正整数a为1，2．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a﹣2）2﹣4a（a﹣2），
＝4a2﹣8a+4﹣4a2+8a，
＝4＞0；
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解： ，x ＝1， ．
1
∵方程的根均为整数，
∴ 为整数，
∴a＝±1或a＝±2，
∴正整数a为1，2．
31．（2022秋•潜江期末）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为x ，x ，若 ，求m的值．
1 2
【答案】（1）m≥0；
（2）m＝3．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣m）＝4m≥0，
∴m≥0；
（2）∵x ，x 关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0的两个根，
1 2
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
解得：m＝0或者m＝3，
经检验m＝0不是原分式方程的解，因此原分式方程的解为m＝3，即m＝3．
