文档内容
第 4 讲 一元二次方程的判别式、根与系数
1.理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情
况；
2.理解一元二次方程根与系数的关系
知识点1：一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
知识点2：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以
用韦达定理【题型 1 一元二次方程的判别式】
【典例1】（2022秋•沈河区期末）一元二次方程 3x2﹣6x+4＝0根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×4＝﹣12＜0，
∴该方程没有实数根．
故选：B．
【变式 1-1】（2022 秋•南开区校级期末）方程 x2﹣2x+4＝0 的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴原方程没有实数根．
故选：C．
【变式1-2】一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵根的判别式Δ=(−1) 2−4×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：A．
【变式1-3】下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（
）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
【答案】A
【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，
符合题意；
B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，
不符合题意；
C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实
数根，不符合题意；
D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，
不符合题意.
故答案为：A.
【典例2】（2022秋•甘井子区校级期末）关于 x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0
有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＝﹣1 D．k＞﹣1且
k≠0
【答案】C
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k•（﹣1）＝0，
解得k＝﹣1．
故选：C．
【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有
两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m≥0 D．m＜0
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2m＝4即x2+2m﹣4＝0有两个不相
等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（2m﹣4）＝16﹣8m＞0，
解得：m＜2．故选：A．
【变式 2-2】（2022•太湖县校级一模）若关于 x 的一元二次方程（k+2）
x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且
k≠2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实
数根，
∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，
解得：k＜2且k≠﹣2．
故选：C．
【典例3】（2022秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【解答】（1）证明：由于 x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2
﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1
＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x ＝1，x ＝3．
1 2
所以方程的另一根为x＝1．
【变式3-1】已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
1
【答案】（1） a>- 且a≠0 （2）-3.
3
【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，1
解得a>- 且a≠0.
3
（2）解：由题意得：a+2-3=0，
解得：a=1，
∴x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得x=1或-3，
∴另一个实数根为：-3.
【变式3-2】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】（1）解：△=(−4) 2−4(k−1)
=−4k+20
由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则
−4k+20≥0
解得k≤5
（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x +x =4,x x =k−1
1 2 1 2
而x2+x2=(x +x ) 2−2x x =42−2(k−1)=10
1 2 1 2 1 2
解得k=4
由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．
【变式 3-3】（2022 秋•和平区校级期末）关于 x 的一元二次方程：
．
（1）当k＝1时，求方程的根；
（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【解答】解：（1）把k＝1代入 得：
x2+3x+ ＝0，（x+ ）2＝0，
解得：x ＝x ＝﹣ ；
1 2
（2）∵此方程有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且Δ＝（2k+1）2﹣4k•（k+ ）＝1﹣k＞0，
解得：k＜1且k≠0，
即k的取值范围为k＜1且k≠0．
【题型2 一元二次方程的根与系数的关系】
【典例4】（2021•贵港）已知 ， 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
则 + ﹣ 的值是（ ）
α β
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
α β αβ
【答案】B
【解答】解：∵ ， 是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴ + ＝﹣1， ＝﹣2，
α β
∴ + ﹣ ＝﹣1+2＝1，
α β αβ
故选：B．
α β αβ
【变式4-1】设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是
（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【答案】D
【解答】解：∵ α,β 是一元二次方程 ，
∴αβ=−1 .
故答案为：D.
【变式4-2】若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设方程的另一根为t，
根据题意得2＋t＝5，
解得t＝3.
故答案为：A.m+n
【变式4-3】若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的
mm
值为 ．
【答案】-2
【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，
4
所以原式= =-2．
−2
故答案为：-2
【典例5】已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x
1
， x .
2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x +x =6−x x ，求m的值.
1 2 1 2
3
【答案】（1） m≤ （2）m=−1
4
【解答】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根，
所以 Δ=b2−4ac=(2m−3) 2−4m2≥0
∴4m2−12m+9−4m2≥0
∴−12m≥−9
3
∴m≤
4
3
即实数m的取值范围为 m≤ ；
4
b c
（2）解： ∵x +x =− =3−2m,x ⋅x = =m2 ， x +x =6−x x
1 2 a 1 2 a 1 2 1 2
∴3−2m=6−m2
∴m2−2m−3=0
∴(m−3)(m+1)=0
∴m=3 （舍去）或 m=−1∴m=−1
【变式5-1】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】（1）解：△=(−4) 2−4(k−1)
=−4k+20
由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则
−4k+20≥0
解得k≤5
（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x +x =4,x x =k−1
1 2 1 2
而x2+x2=(x +x ) 2−2x x =42−2(k−1)=10
1 2 1 2 1 2
解得k=4
由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．
【变式5-2】已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0
（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;
1 1
（2）若方程的两实数根分别为 x ,x ,且满足 + =2 ,求 k 的值.
1 2 x x
1 2
【答案】（1）略 （2）k=-1.
【解答】（1）证明： ∵Δ=(k−1) 2+4k=k2−2k+1+4k=(k+1) 2 ,
∵(k+1) 2 ⩾0,∴Δ≥0,
∴无论 k 取何值, 该方程总有实数根
（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x ，x ，
1 2
∴x +x =-（k-1）=1-k，x x =-k，
1 2 1 2
1 1
∵ + =2，
x x
1 2
1 1 x +x 1−k
∴ + = 1 2= =2，
x x x x −k
1 2 1 2
∴整理，解得：k=-1.
【变式5-3】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝
0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；（2）当 时，求m的值．
【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的
实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝x x +1，（x +x ）2﹣2x x ＝x x +1，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即（x +x ）2＝3x x +1，
1 2 1 2
∴（ ）2＝﹣ +1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m ＝4，m ＝﹣1，
1 2
经检验，m ，m 都是分式方程的解，
1 2
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值为4．
1．（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
2.（2022•河南一模）方程x2+ x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【解答】解：∵Δ＝（ ）2﹣4×1×1＝﹣1＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
3.（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个
不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜ B．a＞ C．a＜ 且a≠1 D．a＞ 且a≠1
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的
实数根，
∴22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0且1﹣a≠0，
整理得：4+8﹣8a＞0且a≠1
解得：a＜ 且a≠1．
故选：C
4.（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且
k≠2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实
数根，
∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，
解得：k＜2且k≠﹣2．
故选：C．
5.（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数
根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022【答案】B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．
故选：B．
6．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】 k ＜ 2 且 k ≠ 1
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
7．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值
是 ．
【答案】6
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
8．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x ，x ，则x •x 的值
1 2 1 2
是 ．
【答案】3
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
1 2
∴x •x ＝3，
1 2
故答案为：3．
9.（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【答案】（1）略 (2)m的值为 或﹣
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝36，
∵不论m取何值时，36恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，
解得：m＝ 或﹣ ．
∴m的值为 或﹣ ．
10.（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相
等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【答案】（1）m＜ ． （2）x ＝0，x ＝3
1 2
【解答】解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＞0，
∴m＜ ．
（2）当m＝﹣1时，
∴△＝9，
由求根公式可知：x＝ ，
∴x ＝0，x ＝3
1 2
11.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2＝10，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x +x ＝4，x •x ＝k﹣1，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝10，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝42﹣2（k﹣1）＝10，
1 2 1 2
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵根的判别式Δ=(−1) 2−4×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
【答案】A
【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，
符合题意；
B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，
不符合题意；
C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实
数根，不符合题意；
D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，
不符合题意.故答案为：A.
3．（2022秋•大冶市期末）若关于 x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两不相等实
数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤5 B．k＜5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠1
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：k＜5且k≠1．
故选：D．
4．（2022秋•漳州期中）若a*b＝ab2﹣2ab﹣3．则方程3*x＝0的根的情况为（
）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：方程利用题中的新定义化简得：3x2﹣6x﹣3＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝36+36＝72＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5．（2022秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的
实数根，则k的值为 ．
【答案】
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＝0，
解得：k＝ ，
故答案为：
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【答案】D【解答】解：∵ α,β 是一元二次方程 ，
∴αβ=−1 .
故答案为：D
1 1
6．已知x ,x 是方程x2−x−1=0的根，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 2
A．1 B．-1 C．±1 D．0
【答案】B
【解答】解：∵x 与x 是方程x2−x−1=0的根，
1 2
∴x +x =1,x ⋅x =−1 ，
1 2 1 2
1 1 x +x
∴ + = 1 2=−1.
x x x x
1 2 1 2
故答案为：B.
7．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为
（ ）
A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013
【答案】D
【解答】解：∵a是方程的根
∴a2+a+2012=0
∴a2=-a-2012
∴a2+2a+β=-a-2012+2a+β=a+β-2012
∵a和β是方程的两个实数根
∴a+β=-1
∴a+β-2012=-1-2012=-2013
故答案为：D.
m+n
8．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为
mm
．
【答案】-2
【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，
4
所以原式= =-2．
−2故答案为：-
9．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为
.
【答案】2020
【解答】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，
b
∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝− ＝−1，
a
∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝2020.
故答案为：2020.
10.（2021秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为 x 和x ，当x +x x ＝4﹣x 时，求k的
1 2 1 1 2 2
值．
【答案】（1）k≤ (2)1
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝ ，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤ ，
综上所述，k的取值范围为k≤ ；
（2）∵x 和x 是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵x +x x ＝4﹣x ，即x +x +x x ＝4，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴ + ＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．
11．已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．
【答案】（1）略 （2）m<−3．
【解答】（1）证明：∵△=b2−4ac
=(m+2) 2−4×2m
=(m−2) 2，
∵无论m取何值时，(m−2) 2≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵原方程可化为(x+2)(x+m)=0，
∴x =−2，x =−m，
1 2
∵该方程有一个根大于3，
∴−m>3．
∴m<−3．
12．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x ， x .
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x +x =6−x x ，求m的值.
1 2 1 2
3
【答案】（1） m≤ （2）m=−1
4
【解答】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根，
所以 Δ=b2−4ac=(2m−3) 2−4m2≥0
∴4m2−12m+9−4m2≥0
∴−12m≥−9
3
∴m≤
43
即实数m的取值范围为 m≤ ；
4
b c
（2）解： ∵x +x =− =3−2m,x ⋅x = =m2 ， x +x =6−x x
1 2 a 1 2 a 1 2 1 2
∴3−2m=6−m2
∴m2−2m−3=0
∴(m−3)(m+1)=0
∴m=3 （舍去）或 m=−1∴m=−1
