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第 4 讲 一元二次方程的判别式、根与系数
1.理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情
况；
2.理解一元二次方程根与系数的关系
知识点1：一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
知识点2：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以
用韦达定理【题型 1 一元二次方程的判别式】
【典例1】（2022秋•沈河区期末）一元二次方程 3x2﹣6x+4＝0根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【变式 1-1】（2022 秋•南开区校级期末）方程 x2﹣2x+4＝0 的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．没有实数根 D．无法确定
【变式1-2】一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【变式1-3】下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（
）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
【典例2】（2022秋•甘井子区校级期末）关于 x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0
有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＝﹣1 D．k＞﹣1且
k≠0
【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有
两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m≥0 D．m＜0
【变式 2-2】（2022•太湖县校级一模）若关于 x 的一元二次方程（k+2）
x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且
k≠2【典例3】（2022秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【变式3-1】已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
【变式3-2】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2
【变式 3-3】（2022 秋•和平区校级期末）关于 x 的一元二次方程：
．
（1）当k＝1时，求方程的根；
（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【题型2 一元二次方程的根与系数的关系】
【典例4】（2021•贵港）已知 ， 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
则 + ﹣ 的值是（ ）
α β
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
α β αβ
【变式4-1】设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是
（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【变式4-2】若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
m+n
【变式4-3】若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的
mm
值为 ．
【典例5】已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x
1
， x .
2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x +x =6−x x ，求m的值.
1 2 1 2
【变式5-1】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2【变式5-2】已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0
（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;
1 1
（2）若方程的两实数根分别为 x ,x ,且满足 + =2 ,求 k 的值.
1 2 x x
1 2
【变式5-3】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝
0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求m的值．
1．（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2.（2022•河南一模）方程x2+ x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3.（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个
不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜ B．a＞ C．a＜ 且a≠1 D．a＞ 且a≠1
4.（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且
k≠2
5.（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数
根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
6．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是 ．
7．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值
是 ．
8．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x ，x ，则x •x 的值
1 2 1 2
是 ．
9.（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
10.（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相
等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．11.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2＝10，求k的值．
1 2 1 2
1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
3．（2022秋•大冶市期末）若关于 x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两不相等实
数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤5 B．k＜5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠1
4．（2022秋•漳州期中）若a*b＝ab2﹣2ab﹣3．则方程3*x＝0的根的情况为（
）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
5．（2022秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的
实数根，则k的值为 ．
A．2 B．1 C．-2 D．-1
1 1
6．已知x ,x 是方程x2−x−1=0的根，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 2A．1 B．-1 C．±1 D．0
7．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为
（ ）
A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013
m+n
8．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为
mm
．
9．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为
.
10.（2021秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为 x 和x ，当x +x x ＝4﹣x 时，求k的
1 2 1 1 2 2
值．
11．已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．
12．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x ， x .
1 2
（1）求实数m的取值范围；（2）若 x +x =6−x x ，求m的值.
1 2 1 2
