文档内容
第1讲 一元二次方程
1、掌握一元二次方程有关概念；
2、会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；
3、会用整体思想求解
知识点 1 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方
程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母
上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且
未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
知识点2： 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫
作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各
项系数时不要漏掉前面的性质符号。
知识点3：一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决
此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.知识点4： 一元二次方程的重要结论：
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一
元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【题型 1 一元二次方程的概念】
【典例1】（2023春•包河区校级期中）下列关于 x的方程中，是一元二次方程
的为（ ）
A． B．x2﹣4＝2y
C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0
【答案】C
【解答】解：A． 是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意；
C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意；
D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2x＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2023春•温州期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（
）
A． B．2（x﹣1）+x＝2C．x2＝2+3x D．x2﹣xy+4＝0
【答案】C
【解答】解：A．方程x2+3x＝ 为分式方程，所以A选项不符合题意；
B．方程2（x﹣1）+x＝2为一元一次方程，所以B选项不符合题意；
C．方程x2＝2+3x为一元二次方程，所以C选项符合题意；
D．方程x2﹣xy+4＝0为二元二次方程，所以D选项不符合题意．故选：C．
【变式 1-2】（2022 秋•宁强县期末）下列方程中，是一元二次方程的是
（ ）
A． +x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
【答案】D
【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•深圳期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．2x＞2 C． D．x2+1＝5
【答案】D
【解答】解：A．方程x+1＝0是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.2x＞2是一元一次不等式，选项B不符合题意；
C．方程 ＝4是分式方程，选项C不符合题意；
D．方程x2+1＝5是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【典例2】（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一
元二次方程，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：根据题意得m+1＝2，
∴m＝1，
故选：C．
【变式2-1】（2023•河东区校级模拟）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是
一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a＝1 C．a≥1 D．a≠0【答案】A
【解答】解：由题意，得a﹣1≠0，
解得a≠1．
故选：A．
【变式2-2】（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元
二次方程，则（ ）
A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0
【答案】C
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：C．
【变式2-3】（2020春•福山区期末）方程（a+3）x +ax+2＝0为一元二次方
程，字母a的取值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．0
【答案】B
【解答】解：∵方程（a+3）x +ax+2＝0为一元二次方程，
∴a2﹣7＝2，且a+3≠0．
解得a＝3．
故选：B．
【题型2 一元二次方程的一般形式】
【典例3】（2023•鱼峰区模拟）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后
得（ ）
A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0
【答案】C
【解答】解：将方程 3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得 3x2﹣5x+1
＝0．
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•天元区校级期末）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方
程的一般形式，正确的是（ ）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
【答案】B
【解答】解：（x﹣1）2＝6，
x2﹣2x+1﹣6＝0，
x2﹣2x﹣5＝0，
即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，
故选：B．
【变式3-2】（2022秋•禹州市期中）将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化
成一般形式，正确的是（ ）
A．2x2﹣7x﹣8＝0 B．2x2﹣5x﹣8＝0 C．2x2﹣7x+2＝0 D．2x2﹣5x+2＝0
【答案】B
【解答】解：将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式得 2x2﹣
5x+8＝0．
故选：B．
【变式3-3】（2022秋•新会区期末）把方程 x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式
ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
【答案】D
【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，
移项得，x2﹣2x+6＝0，
所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．
故选：D．
【典例4】（2022秋•江汉区校级期末）一元二次方程x2＝﹣6x+1的二次项系数
为1，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣6，1 B．6，﹣1 C．﹣6x，1 D．6x，﹣1
【答案】B
【解答】解：方程x2＝﹣6x+1化为一般式为：x2+6x﹣1＝0，
则一次项系数为6，常数项为﹣1，
故选：B．【变式4-1】（2022秋•惠东县期中）把一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式
后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为（ ）
A．5，81 B．5x，81 C．5，﹣81 D．﹣5x，﹣81
【答案】C
【解答】解：一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式为4x2+5x﹣81＝0，
∴一次项系数为5，常数项为﹣81，
故选：C．
【变式4-2】（2022秋•龙江县期末）一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系
数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，﹣5；9 B．3，﹣5，﹣9 C．3，5，9 D．3，5，﹣9
【答案】B
【解答】解：去括号得3x2﹣9＝5x，
移项得3x2﹣5x﹣9＝0，
所以二次项系数为3，一次项系数为﹣5，常数项为﹣9．
故选：B．
【变式4-3】（2022秋•定海区校级月考）将一元二次方程 3x2﹣x＝5x化为一般
形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1 B．﹣3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣6，0
【答案】D
【解答】解：将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式为3x2﹣6x＝0，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣6，0．
故选：D．
【题型3 一元二次方程的解】
【典例5】（2022秋•莲池区校级期末）若关于 x的方程x2+2x+a＝0有一个根是
1，则a等于（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．1
【答案】B
【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x+a＝0得1+2+a＝0，
解得a＝﹣3．
故选：B．【变式5-1】（2022秋•宜宾期末）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m
的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：把x＝2代入方程x2+mx＝2得22+2m＝2，
解得m＝﹣1．
故选：C．
【变式5-2】（2023春•富阳区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2
﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3
【答案】C
【解答】解：∵关于 x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为
0，
∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
【变式5-3】（2023春•崇左月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣9＝0
的一个根是0，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
【答案】D
【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣2x+a2﹣9＝0得：a2﹣9＝0，
∴a＝±3．
故选：D．
【典例6】（2023•邗江区校级一模）已知 m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则
2023﹣m2+m的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】C
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：
m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，
∴2023﹣m2+m
＝2023﹣（m2﹣m）
＝2023﹣2
＝2021，
故选：C．
【变式6-1】（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣
8的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
【答案】C
【解答】解：∵a为方程x2+2x﹣4＝0的解，
∴a2+2a﹣4＝0，
∴a2+2a＝4，
∴a2+2a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
故选：C．
【变式6-2】（2023•宿迁一模）若m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，
则代数式2m2﹣2m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中得：
m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴2m2﹣2m＝4，
故选：D．
【变式6-3】（2022秋•天河区校级期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
则6m2﹣9m+2018的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2018
＝3（2m2﹣3m）+2018
＝3×1+2018
＝3+2018
＝2021，
故选：D．
1．（2021•聊城）关于 x 的方程 x2+4kx+2k2＝4 的一个解是﹣2，则 k 值为
（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【答案】B
【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，
整理得k2﹣4k＝0，解得k ＝0，k ＝4，
1 2
即k的值为0或4．
故选：B．
2．（2021•黔东南州）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则
a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，
∴22﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
故选：D．
3．（2021•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形
式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3【答案】D
【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
4．（2022•遂宁）已知 m 为方程 x2+3x﹣2022＝0 的根，那么 m3+2m2﹣
2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
5．（2021•深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣3＝0得12+m﹣3＝0，
解得m＝2．
故答案是：2．
6．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根
是x＝1，则m+n的值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
7．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ 1 ．【答案】1．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
8．（2022•衢州）将一个容积为 360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利
用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： 1 5 x （ 1 0 ﹣ x ）＝ 36 0 （不
必化简）．
【答案】15x（10﹣x）＝360．
【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2
（cm），
则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．
故答案为：15x（10﹣x）＝360．
9．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值
是 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
10．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x ，x 满
1 2足﹣3＜x ＜﹣1，1＜x ＜3，则符合条件的一个方程为 x 2 ﹣ 2 ＝ 0 （答案不
1 2
唯一） ．
【答案】x2﹣2＝0（答案不唯一）．
【解答】解：∵若一元二次方程 x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x ，x 满
1 2
足﹣3＜x ＜﹣1，1＜x ＜3，
1 2
∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
1．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4 D．x2﹣3x+2＝0
【答案】D
【解答】解：A． ，是分式方程，不符合题意；
B．ax2+bx+c＝0，若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；
C． （x+2）（x﹣3）＝x2﹣4，整理可得x+2＝0，为一元一次方程，故不符
合题意；
D．x2﹣3x+2＝0，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．（2023春•定远县校级月考）已知 是关于x的一元二次方
程，那么a的值为（ ）
A．±2 B．2
C．﹣2 D．以上选项都不对
【答案】C
【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，故选：C．
3．（2023春•攸县月考）若关于 x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次
方程，则m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝2
【答案】A
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1．
故选：A．
4．（2022秋•双峰县期末）方程 3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，
二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．﹣3x2，1，6 B．3x2，1，6 C．3，1，6 D．3，﹣1，﹣6
【答案】D
【解答】解：方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，为3x2﹣x﹣6
＝0，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、﹣1、﹣6，
故选：D．
5．（2022秋•北塔区期末）将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，
对应的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
【答案】B
【解答】解：（x+2）2＝5x﹣2，
x2+4x+4﹣5x+2＝0，
x2﹣x+6＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．
故选：B．
6．（2023春•江岸区校级月考）方程x2﹣x＝0二次项系数、一次项系数、常数
项分别是（ ）
A．1，1，0 B．0，1，0 C．0，﹣1，0 D．1，﹣1，0【答案】D
【解答】解：方程x2﹣x＝0的二次项系数是1，一次项系数为﹣1，常数项为
0．
故选：D．
7．（2022秋•漳州期末）一元二次方程7x2﹣2x﹣1＝0的常数项是（ ）
A．7 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：一元二次方程7x2﹣2x﹣1＝0的常数项是﹣1，
故选：C．
8.（2022秋•甘井子区期末）将方程 4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，
则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25
【答案】C
【解答】解：4x（x+2）＝25可化为4x2+8x﹣25＝0，
∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．
故选：C．
9．（2023春•龙湾区期中）已知 x＝1是一元二次方程 x2+ax+2＝0的一个根，
则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，
∴1+a+2＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
10．（2023春•淮北月考）若关于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一个根
为﹣1，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或1
【答案】B
【解答】解：把x＝﹣1代入方程，得m﹣1﹣m2+1＝0，
解得：m＝0或m＝1，当m＝0时，此方程不是关于x的一元二次方程，
故m＝1．
故选：B．
11．（2022秋•铜梁区校级期末）已知 m为一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的根，
那么2m2+6m的值为（ ）
A．﹣4046 B．﹣2023 C．0 D．4046
【答案】D
【解答】解：∵m为一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的一个根．
∴m2+3m＝2023，
∴2m2+6m＝2（m2+3m）＝2×2023＝4046．
故选：D．
12．（2022秋•香洲区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣
4a的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
即a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝2×1＝2．
故选：A．
13．（2022秋•雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式
3m2﹣6m+2017的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，
∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，
∴3m2﹣6m+2017＝3（m2﹣2m）+2017＝6+2017＝2023，
故选：B．
14．（2022秋•朔城区期末）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个
解，则2t2﹣2022t值为（ ）A．﹣2023 B．﹣2022 C．﹣4046 D．﹣4044
【答案】C
【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，
∴t2﹣1011t+2023＝0，
∴t2﹣1011t＝﹣2023，
∴2t2﹣2022t
＝2（t2﹣1011t）
＝2×（﹣2023）
＝﹣4046，
故选：C．
