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专题 09 线段上动点问题压轴题的的四种考法
类型一、线段之间数量关系问题
例．已知线段 ， ( ， 为常数，且 )，线段 在直线 上运动(点
B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段 的中点，Q是线段 的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段 的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段 运动到点B，M重合时，求线段 ， 之间的数量关系；
(3)当线段 运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段 ， ， 三者之间的
数量关系．
【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且 ，动点P､Q
分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为
每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若点A表示的数为 ，则点B表示的数为________，线段 中点表示的数为
___________；
（2）在（1）的条件下，若 ，求t的值；
（3）当点P在线段 上运动时，若 ，请探究线段 与线段 之间的数
量关系，并说明理由．【变式训练2】如图1， ， 是直线 上的两个点，且 ．线段 （ 在 的左
侧）可以在直线 上左右移动．已知 ，点 是 的中点．
（1）如图2，当 与 重合时， ， ；
（2）在图2的基础上，将线段 沿直线 向左移动 个单位长度得到图3．
①若 ，求 和 的长；
②若 ，则 的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段 沿直线 向右移动 个单位长度．请直接写出
与 之间的数量关系 ．
类型二、定值问题
例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且 ，
(1)填空： ， ；
(2)在线段 上有一点C，满足 ，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出
发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当 时， 的值是否发生
变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．
【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿
C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间
为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保
持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动（点 在点
的左侧，点 在点 的左侧），若 ．
（1）求线段 ， 的长；
（2）若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长；
（3）当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点，
下列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以
说明．
【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C
在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN
的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的
向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运
动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
类型三、时间问题
例．如图，点A、B都在数轴上，点O为原点，设点A、B表示的数分别是m、n，且m与
n满足 ．
（1）若动点P从点A出发，沿数轴向左以每秒4个单位长度的速度运动，动点Q从点B
出发，沿数轴向左以每秒6个单位长度的速度运动，已知点P与点Q同时出发，且P、Q
两点重合后同时停止运动，设点P运动时间为t秒．
①当 的长为4时，求t的值；
②若点M为 的中点，点N为 的中点，且 ，求t的值．
（2）点P沿着 以每秒4个单位长度的速度往返运动1次，点Q沿着
以每秒6个单位长度的速度往返运动1次．若点P、Q同时出发，运动时间为t
秒，当 时，求t的值．
【变式训练1】如图，点 在数轴上分别表示有理数 ，且 满足 ．（1）点 表示的数是___________，点 表示的数是____________．
（2）若动点 从点 出发以每秒3个单位长度向右运动，动点 从点 出发以每秒1个单
位长度向点 运动，到达 点即停止运动 两点同时出发，且 点停止运动时， 也随
之停止运动，求经过多少秒时， 第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为 秒，若 的中点为 的中点
为 ，当 为何值时， ？
【变式训练2】如图，点 、点 是数轴上原点 两侧的两点，其中点 在原点 的左侧，
且满足 ， .
（1）点 、 在数轴上对应的数分别为______和______.
（2）点 、 同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.
①经过几秒后， ；
②点 、 在运动的同时，点 以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，
点 、 、 中的某一点成为其余两点所连线段的中点？
类型四、求值
例．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、
3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM
上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
【变式训练】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B
同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求 的值
课后训练
1．如图1，已知线段 ，点M是线段 上一点，点C在线段 上，点D在线
段 上，C、D两点分别从M、B出发以 的速度沿直线 运动，运动方
向如箭头所示，其中a、b满足条件： ．
(1)直接写出： ____________， _____________；
(2)若 ，当点C、D运动了 ，求 的值；
(3)如图2，若 ，点N是直线 上一点，且 ，求 与 的数
量关系．
2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有①A、B两点的中点表示的数为 ；
②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．
【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0
（1）求出A、B两点的中点C表示的数；
（2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的
2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？
【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点
A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运
动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中， 的值是否发生变化？
请说明理由．
3．如图一，点 在线段 上，图中有三条线段 、 和 ，若其中一条线段的长度
是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点 和 在数轴上表示的数分别是 和 ，点 是线段 的
巧点，求点 在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点 从点 处，以每秒 个单位的速度沿 向点
匀速运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，当其中
一点到达中点时，两个点运动同时停止，当 、 、 三点中，其中一点恰好是另外两点
为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间 的所有可能值．
