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2022-2023 学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编
专题 10 直线、射线、线段
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2020秋•封开县期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车
站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．10 B．11 C．20 D．22
【思路引导】观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5﹣
1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．
【完整解答】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10
种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20，
故选：C．
2．（2分）（2020秋•奉化区校级期末）如图，AB＝30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，
P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，
运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②运动过程中，QM的
长度保持不变；③AB＝4NQ；④当BQ＝PB时，t＝12，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据BC比AC的4倍少20，可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，
此时t＝30s，当P到达B时，此时t＝15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．
【完整解答】解：设AC＝x，
∴BC＝4x﹣20，
∵AC+BC＝AB，
∴x+4x﹣20＝30，
解得：x＝10，
∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，
∵AP＝2t，BQ＝t，
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∵M是BP的中点，
∴MB＝ BP＝15﹣t，
∵QM＝MB+BQ，
∴QM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝ QM＝ ，
∴AB＝4NQ，
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝ BP＝t﹣15
∴QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝ QM＝ ，
∴AB＝4NQ，
当t＞30时，
此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝ BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝ QM＝ ，
∴AB＝4NQ，
综上所述，AB＝4NQ，故②正确，运动过程中，QM的长度保持不变；故③正确；
当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP＝2t，BQ＝t
∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∴30﹣2t＝t，
∴t＝10，
当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P与Q重合，
∴t＝30，
当t＞30时，此时点P在Q的右侧，PB＞QB，
综上所述，当PB＝BQ时，t＝10或30，故④错误；
故选：C．
3．（2分）（2021秋•闽侯县期末）如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，AD+BC＝ AB，设
CD＝t，则方程3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3）的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【思路引导】根据线段和差的关系先表示出AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，再根据AD+BC＝ AB，
设CD＝t，列出方程求出t，把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），求出x．
【完整解答】解：∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，
AB＝AC+CD+BD，
AC+BD＝10．
∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，∵AD+BC＝ AB，设CD＝t，
∴10+2t＝ （10+t），
解得t＝2.5，
把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），
3x﹣7x+7＝2×2.5﹣2x﹣6，
3x﹣7x+2x＝5﹣6﹣7，
﹣2x＝﹣8，
x＝4，
故选：D．
4．（2分）（2021秋•丹江口市期末）如图，C，D是线段AB上的两点，且 ，已知图中所
有线段长度之和为81，则CD长为（ ）
A．9 B． C． D．以上都不对
【思路引导】设AC＝x，根据 ＝ CD＝ ，得到DB＝4x，CD＝3x，AD＝AC+CD＝
x+3x＝4x，AB＝AC+CD+BD＝x+3x+4x＝8x，CB＝CD+BD＝3x+4x＝7x，再把各线段相加即可．
【完整解答】解：设AC＝x，
∵ ＝ CD＝ ，
∴DB＝4x，CD＝3x，
∴AD＝AC+CD＝x+3x＝4x，AB＝AC+CD+BD＝x+3x+4x＝8x，CB＝CD+BD＝3x+4x＝7x，
∵所有线段长度之和为81，
∴AC+CD+DB+AD+AB+CB＝x+3x+4x+4x+8x+7x＝81．
∴x＝3，
∴CD＝3x＝9．
故选：A．
5．（2分）（2021秋•澄海区期末）如图，点C把线段AB从左至右依次分成2：3两部分，点D是AB的
中点，若CD＝2，则线段AB的长是（ ）A．10 B．15 C．20 D．25
【思路引导】根据点C把线段AB从左至右依次分成2：3两部分，设AC＝2x，BC＝3x，表示出AB的
长，再根据点D是AB的中点，表示出AD的长，根据CD＝AD﹣AC，CD＝2，列出方程求出解．
【完整解答】解：∵点C把线段AB从左至右依次分成2：3两部分，
∴设AC＝2x，BC＝3x，
∴AB＝5x，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝ AB＝2.5x，
∵CD＝AD﹣AC，CD＝2，
∴2.5x﹣2x＝2，
解得x＝4，
∴AB＝20，
故选：C．
6．（2分）（2021秋•泉州期末）下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB中点
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”
C．已知A，B，C三点在一条直线上，若AB＝2，BC＝4，则AC＝6
D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC
【思路引导】A：漏掉A、B、C三点在同一直线上；
B：原理应该是：“两点之间线段最短”；
C：把两种情况都画出图即可得出正确结果；
D：把两种情况都画出图即可得出正确结果．
【完整解答】解：A：漏掉A、B、C三点在同一直线上，
∴不符合题意；
B：原理应该是：“两点之间线段最短”，
∴不符合题意；
C：分两种情况①图AC＝6，
②图
AC＝2，
∴不符合题意；
D：①图
②图
这两种情况都能满足AC＝BD，则AD＝BC，
∴符合题意；
故选：D．
7．（2分）（2021秋•无锡期末）已知线段AB＝7，点C为直线AB上一点，且AC：BC＝4：3，点D为线
段AC的中点，则线段BD的长为（ ）
A．5或18.5 B．5.5或7 C．5或7 D．5.5或18.5
【思路引导】根据线段的比例，可得AC和BC的长，根据线段中点的性质，可得CD的长，根据线段的
和差，可得答案．
【完整解答】解：如图，当点C在线段AB上时，
，
∵AB＝7，AC：BC＝4：3，
∴AC＝4，BC＝3．
∵D是线段AC的中点，
∴CD＝ AC＝2，
∴BD＝CD+BC＝2+3＝5；
如图，当点C在线段AB延长线上时，
∵AB＝7，AC：BC＝4：3，∴AC＝28，BC＝21．
∵D是线段AC的中点，
∴CD＝ AC＝14，
∴BD＝BC﹣CD＝21﹣14＝7；
综上所述：BD的长是5或7．
故选：C．
8．（2分）（2021秋•潮安区期末）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则
以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm
【思路引导】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是 AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD＝
1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
【完整解答】解：由题意可得，
图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB＝
（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB＝AB+AB+CD+AB＝3AB+CD，
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1，
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为21．
故选：B．
9．（2分）（2022春•高青县期末）如图，点A、B、C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，
N为BC的中点，则下列说法：①MN＝HC；②MH＝ （AH﹣HB）；③MN＝ （AC+HB）；④HN
＝ （HC+HB），其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【思路引导】根据线段中点的性质、结合图形计算即可判断．
【完整解答】解：∵H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，
∴AH＝CH＝ AC，AM＝BM＝ AB，BN＝CN＝ BC，∴MN＝MB+BN＝ （AB+BC）＝ AC，
∴MN＝HC，①正确；
（AH﹣HB）＝ （AB﹣BH﹣BH）＝MB﹣HB＝MH，②正确；
MN＝ AC，③错误；
（HC+HB）＝ （BC+HB+HB）＝BN+HB＝HN，④正确，
故选：B．
10．（2分）（2020秋•北海期末）有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段AM＝MC，则M是线段
AC的中点；③在同一平面内，∠AOB＝60°，∠BOC＝30°，∠AOC＝30°；④两点之间，线段最短．其
中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】根据角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，及线段的性质可进行判断．
【完整解答】解：①直线是一个平角，错误；
②如果线段AM＝MC，则M是线段AC的中点，错误；
③在同一平面内，∠AOB＝60°，∠BOC＝30°，∠AOC＝30°或90°，错误；
④两点之间，线段最短，正确．
故选：A．
二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）
11．（2分）（2021春•浦东新区月考）如图，把一根绳子对折成线段AB，AB上有一点P，已知AP＝
PB，PB＝40cm，则这根绳子的长为 12 0 cm．
【思路引导】AP＝xcm，则BP＝2xcm当含有线段AP的绳子最长时，得出方程x+x＝40求出每个方程的
解，代入2（x+2x）求出即可
【完整解答】解：设AP＝xcm，则BP＝2xcm，
当含有线段AP的绳子最长时，x+x＝40，
解得：x＝20，
即绳子的原长是2（x+2x）＝6x＝120（cm）；
故绳长为120cm．故答案为：120．
12．（2分）（2016秋•青龙县期末）已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线
段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10
条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段 23 1 条．
【思路引导】根据题意在MN上1个点有1+2＝3条线段，2个点可组成1+2+3＝6条线段，进而可得答
案．
【完整解答】解：由题意可得：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21＝ （1+21）
×21＝231，
故答案为：231．
13．（2分）（2015秋•新泰市期中）四边形ABCD中，AC＝11，BD＝13．在四边形ABCD内找一点O，
使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则其最小和为 2 4 ．
【思路引导】要使四边形内存在一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，这点就是四边形对角线
的交点，由此得出答案即可．
【完整解答】解：∵两点之间，线段最短，
∴在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，这个点O就是对角线的交点，
∵对角线AC＝11，BD＝13，
∴其最小和为11+13＝24．
故答案为：24．
14．（2分）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB＝12厘米，点C在线段AB上，且AC＝8厘米．
点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点
C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 2 、 1 0 、 或 秒时线段PQ的长为6厘米．
【思路引导】首先根据AB＝12厘米，AC＝8厘米，求出CB的长度是多少；然后分四种情况：（1）点
P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运
动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6厘米即可．
【完整解答】解：∵AB＝12厘米，AC＝8厘米，
∴CB＝12﹣8＝4（厘米）；
（1）点P、Q都向右运动时，（6﹣4）÷（2﹣1）
＝2÷1
＝2（秒）
（2）点P、Q都向左运动时，
（6+4）÷（2﹣1）
＝10÷1
＝10（秒）
（3）点P向左运动，点Q向右运动时，
（6﹣4）÷（2+1）
＝2÷3
＝ （秒）
（4）点P向右运动，点Q向左运动时，
（6+4）÷（2+1）
＝10÷3
＝ （秒）
∴经过2、10、 或 秒时线段PQ的长为6厘米．
故答案为：2、10、 或 ．
15．（2分）（2021秋•泰兴市期末）如图，AB＝17cm，点C是线段AB延长线上一动点，在线段BC上取
一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则MN﹣ BN＝ 8. 5 ．
【思路引导】首先设CN＝xcm，根据BN＝2CN＝2x（cm），进而表示出AC＝（17+3x）cm，根据点M
为线段AC的中点，得MC＝（8.5+0.5）cm，再根据线段的和差关系求出MN﹣ BN的结果．
【完整解答】解：设CN＝xcm，
∴BN＝2CN＝2xcm，
∴AC＝AB+BN+NC＝（17+3x）cm，∵点M为线段AC的中点，
∴MC＝ AC＝（8.5+1.5x）cm，
∴MN＝MC﹣NC＝（8.5+0.5x）cm，
BN＝0.5x（cm），
∴MN﹣ BN＝8.5+0.5x﹣0.5x＝8.5（cm），
故答案为：8.5 cm．
16．（2分）（2021秋•东台市期末）如图，点C在线段AB上，AC＝10，BD＝ BC，BE＝ AB，则DE
＝ （用含n的代数式表示）．
【思路引导】首相根据BD＝ BC，BE＝ AB，得BC＝nBD，AB＝nBE，再根据AB＝AC+BC，进而等
量代换就可得出最后结果．
【完整解答】解：∵BD＝ BC，BE＝ AB，
∴BC＝nBD，AB＝nBE，
∵AB＝AC+BC，
∴nBE＝10+nBD，
∴nBE﹣nBD＝10，
∴n（BE﹣BD）＝10，
∴nED＝10，
∴ED＝ ，
故答案为： ．
17．（2分）（2021秋•如东县期末）延长线段AB到C，使BC＝AB，反向延长线段AB到D，使AD＝
BC，E是线段CD的中点．若AB＝acm，则线段BE＝ cm（用含a的式子表示）．【思路引导】根据题意画出图形，然后根据条件得到AE的长，即可求出BE的长度．
【完整解答】解：如图所示，
∵AB＝acm，BC＝acm，
∵AD＝ BC，
∴AD＝ acm，
∴CD＝AD+AB+BC＝ acm，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝ CD＝ acm，
∴BE＝CE﹣BC＝ a﹣a＝ a，
故答案为： ．
18．（2分）（2021秋•市南区期末）如图，将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分
重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度
由短到长的比为2：3：5，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 2.45 或 2.8
cm．
【思路引导】先利用三段长度之比求得三段的长，然后由中间段求得折痕对应的刻度．
【完整解答】解：∵三段长度由短到长的比为2：3：5，卷尺总长为7cm，
∴最长的一段长 7× ＝3.5cm，中间长的一段长 7× ＝2.1cm，最短一段长 7× ＝
1.4cm，
如图，则BD＝3.5cm，
当BC为最短段时，BC＝1.4cm，2AB＝2.1cm，∴AC＝AB+BC＝1.05+1.4＝2.45cm，
∴折痕对应的刻度为2.45cm；
当BC段为中间长的那段时，BC＝2.1cm，2AB＝1.4cm，
∴AB＝0.7cm，
∴AC＝AB+BC＝0.7+2.1＝2.8cm，
∴折痕对应的刻度为2.8cm；
综上所述，折痕对应的刻度为2.45cm或2.8cm，
故答案为：2.45或2.8．
19．（2分）（2021秋•双牌县期末）如图：AB＝120cm，点C，D在线段AB上，BD＝3BC，点D是线段
AC的中点．则线段BD的长度为 7 2 （ cm ） ．
【思路引导】设CB＝xcm，则BD＝3xcm、CD＝2xcm，由中点得AD＝CD＝2xcm，则列出方程2x+3x＝
120，求出x即可得到BD的长度．
【完整解答】解：设CB＝xcm，
∵BD＝3BC，
∴BD＝3xcm，
∴DC＝BD﹣BC＝2xcm，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD＝DC＝2xcm，
∴2x+3x＝120，
解得：x＝24，
∴BD＝3×24＝72（cm）．
故答案为：72（cm）．
三．解答题（共9小题，满分62分）
20．（4分）（2021秋•台儿庄区期末）如图，已知 A、B、C三点在同一直线上，AB＝24cm，BC＝
AB，E是AC的中点，D是AB的中点，求DE的长．【思路引导】根据DE＝AE﹣AD，求出AE、AD即可；
【完整解答】解：∵AB＝24cm，D是AB中点，
∴AD＝ AB＝12cm，
∵BC＝ AB，
∴BC＝9，AC＝AB+BC＝33cm，
∵E是AC中点，
∴AE＝ AC＝ cm，
∴DE＝AE﹣AD＝ ﹣12＝4.5cm，
∴DE＝4.5cm
21．（5分）（2021秋•普陀区期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在
点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式 ，则 ＝ 或 ．
【思路引导】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，
①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝ DE＝ ，则CD＝ ，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝
2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝ x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【完整解答】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴当点C靠近E点时，CE＝ DE＝ ，
∴CD＝ ，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣ ＝ ；
当点C靠近点D时，DC＝ DE＝ ，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣ ＝ ；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵ ，
∴ ，∴y＝ x，
∴CD＝1.5x﹣ x＝ x，
∴ ；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵ ，BE＝EC+BC＝x+y，
∴ ，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴ ，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述 的值为 或 ．
另一解法：可设AB＝6，则AC＝4，CB＝2，DE＝3，
以A为原点，以AB的方向为正方向建立数轴，则A表示0，C表示4，B表示6，如图，
设D表示的数为x，则E表示x+3，
可得AD＝|x|，EC＝|x+3﹣4|＝|x﹣1|，BE＝|x+3﹣6|＝|x﹣3|，CD＝|x﹣4|，，
①当x＜0或x≥3时，上式可化为： ，解得x＝﹣7，则 ；
②1≤x＜3时，上式化为： ，解得：x＝ ，则 ；
③0≤x＜1时，上式化为： ，解得：x＝ （舍去）．
综上所述 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
22．（6分）（2022•海淀区校级开学）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，
折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处．
（1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，MN＝ 3 0 cm；
（2）如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
（3）若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
【思路引导】（1）由题意可得：AM＝MO＝ AO，ON＝BN＝ OB，再结合图形可求得答案；
（2）先结合图形可求得AA′+BB′＝40cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；
（3）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时．
【完整解答】解：（1）∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，
∴AM＝MO＝ AO，ON＝BN＝ OB，
∴MN＝MO+ON＝ （AO+OB）＝ AB＝30（cm）；
故答案为：30．
（2）∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40（cm）．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝ AA′，BN＝ BB′，
∴AM+BN＝ AA′+ BB′＝ （AA′+BB′）＝ ×40＝20cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40（cm）；
（3）∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝MA′＝ AA′，BN＝B′N＝ BB′．
当点A′落在点B′的左侧时，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝ AA′+A′B′+ B′B＝ （AA′+A′B′+B′B）+ A′B′＝ （AB+A′B′）＝（30+ n）
（cm）；
当点A′落在点B′的右侧时，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm，
∴AM+BN＝ AA′+ BB′＝ （AA′+BB′）＝ ×（60+n）＝（30+ n）cm．
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60−（30+ n）＝（30− n）（cm）．
综上，MN的长度为（30+ ）cm或（30− ）cm．
23．（6分）（2022春•莱西市期末）如图，动点B在线段AD上，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1
次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B的运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，
①AB＝ 4 cm；
②求线段CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．
【思路引导】（1）①根据速度乘以时间等路程，可得答案；
②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长；
【完整解答】解：（1）当t＝2时，①AB＝2×2＝4（cm），
故答案为：4；
②BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6（cm），
由C是线段BD的中点，得
CD＝ BD＝ ×6＝3cm；
（2）点B沿点A→D运动时，AB＝2tcm，
点B沿点D→A运动时，AB＝（20﹣2t） cm，
综上，AB的长为2tcm或（20﹣2t） cm．
24．（8分）（2020秋•罗湖区校级期末）如图，射线 OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝
60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段
CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．
（1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？
（2）当P在线段AB上且PA＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动
速度；
【思路引导】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形求解即可．
【完整解答】解：（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，
则t+2t＝90，
解得t＝30，
所以经过30秒时间P、Q两点相遇．
（2）∵AB＝60cm，PA＝3PB，
∴PA＝45cm，OP＝65cm．
∴点P、Q的运动时间为65秒，∵AB＝60cm， AB＝20cm，
∴QB＝20cm或40cm，
∴点Q是速度为 ＝ cm/秒或 ＝ cm/秒．
25．（8分）（2021秋•金华期末）如图，数轴上点A，B分别表示数﹣6，12，C为AB中点．
（1）求点C表示的数．
（2）若点P为线段AB上一点，PC＝2，求点P表示的数．
（3）若点D为线段AB上一点，在线段AB上有两个动点M，N，分别同时从点A，D出发，沿数轴正
方向运动，点M的速度为4个单位每秒，点N的速度为3个单位每秒，当MN＝1，NC＝2时，求点D
表示的数．
【思路引导】（1）根据数轴上两点所表示的数与它们的中点所表示的数之间的关系进行计算即可；
（2）分两种情况进行解答，即点P在点C的左侧或右侧，根据两点距离的计算方法进行计算即可；
（3）设出各个点所表示的数，根据运动后线段长度的计算方法，列方程组解答即可．
【完整解答】解：（1）点C表示的数为： ＝3；
（2）点C所表示的数为3，设点P所表示的数为p，则|p﹣3|＝2，
解得p＝5或p＝1，
答：点P所表示的数为1或5；
（3）设点D在数轴上所表示的数为d，运动的时间为ts，
则点M所表示的数为﹣6+4t，点N所表示的数为d+3t，
①当点M在点N的左侧，点N在点C的左侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由 可解得d＝﹣ ；
②当点M在点N的左侧，点N在点C的右侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由 可解得d＝﹣ ；
③当点M在点N的右侧，点N在点C的左侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由 可解得d＝﹣5；
④当点M在点N的右侧，点N在点C的右侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由 可解得d＝﹣4；
综上所述，点D所表示的数为﹣ 或﹣ 或﹣5或﹣4．
26．（8分）（2021秋•霸州市期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B
同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝ 1 2 cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝ 1 ： 2 ；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【思路引导】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD．
②利用中点的性质求解．
（2）将AP用其它线段表示即可．
【完整解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．
∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．故答案为：12．
②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，
∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．
故答案为：1：2．
（2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t，
∴BD＝3PC，
∵PD＝3AC．
∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．
∴AP＝ AB＝ （cm）．
27．（9分）（2021秋•岱岳区期末）【阅读】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间
的距离表示为|AB|，则|AB|＝|a﹣b|．即|5﹣3|表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】
（1）点A，B表示的数分别为﹣7，2，则|AB|＝ 9 ，|x+2|在数轴上可以理解为 x 与﹣ 2 两数的距离
．
（2）若|x﹣3.1|＝4，则x＝ ﹣ 0. 9 或 7. 1 ，若|y+4|＝|y﹣3|，则y＝ ．
【应用】
（3）如图，数轴上表示点a的点位于﹣3和2之间，求|a+3|+|a﹣2|的值．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x，|x+6|+|x+3|+|x﹣1|是否有最小值？如果有，求出最小值，
并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【思路引导】（1）根据数轴上表示﹣7的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将
x+2转化为x﹣（﹣2）即可得到结论；
（2）结合数轴分析，根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或﹣0.9，数轴上表示﹣4的点和到表示
3的点距离相等的点所表示的数为﹣0.5；
（3）根据题意，|a+3|+|a﹣2|表示a到﹣3的距离加上a到2的距离，由于a位于﹣3和2之间，即﹣3和
2的两点距离之和，即可得到结论；
（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当x＝﹣3时取得最小值，求出具体结果即可．【完整解答】解：（1）数轴上表示﹣7的点与表示2的点之间的距离为9，
|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，即可表示为x到﹣2的距离，
故答案为：9；x与﹣2的距离．
（2）∵|x﹣3.1|＝4，
∴x到3.1的距离为4，
∴3.1﹣4＝﹣0.9，3.1+4＝7.1；
∵|y+4|＝|y﹣3|，
∴y到﹣4的距离和y到3的距离相同，
∴y＝﹣0.5．
故答案为：﹣0.9或7.1；﹣0.5．
（3）∵|a+3|+|a﹣2|可表示a到﹣3的距离加上a到2的距离且a位于﹣3和2之间，
∴原式可看作﹣3与2之间的距离，
∴|a+3|+|a﹣2|＝5．
（4）|x+6|+|x+3|+|x﹣1|可表示为x到﹣6的距离加上x到﹣3的距离加上x到1的距离，
∴当x＝﹣3时，该式取得最小值，此时|x+6|+|x+3|+|x﹣1|＝7．
28．（8分）（2021秋•东莞市期末）如图，C是线段AB上一点，AB＝12cm，AC＝4cm，P、Q两点分别
从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，运动的时间为ts．
（1）当t＝1s时，CP＝ 3 cm，QB＝ 6 cm；
（2）当运动时间为多少时，PQ为AB的一半？
（3）当运动时间为多少时，BQ＝AP？
【思路引导】（1）先求出CB的长度，再根据P和Q的运动速度可得答案；
（2）ts后，AP＝t，AQ＝4+2t，然后列方程可得答案；
（3）ts后，AP＝t，BQ＝|8﹣2t|，根据题意列方程可得答案．
【完整解答】解：（1）∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴CB＝12﹣4＝8cm，
当t＝1s时，CP＝4﹣1×1＝3（cm），QB＝8﹣2×1＝6（cm）．
故答案为：3，6；
（2）t秒后，AP＝t，AQ＝4+2t，∴（4+2t）﹣t＝ 12，
解得t＝2，
答：当运动时间为2s时，PQ为AB的一半；
（3）ts后，AP＝t，BQ＝|8﹣2t|，
∴t＝|8﹣2t|，
解得t＝8或 ，
答：当运动时间为8s或 s时，BQ＝AP．
