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专题 09 期中-综合大题必刷（压轴 15 考点 31 题）
一．二次根式的性质与化简（共1小题）
1．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（ ）2+
（ ）2＝m， • ＝ ，那么便有 ＝ ＝ ± （a
＞b）例如：化简
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（ ）2+（ ）2＝7， • ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝2+
由上述例题的方法化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
2．计算：
（1） + + ﹣ ；
（2）（ × ﹣4 +3 ）÷2 ．
三．二次根式的化简求值（共2小题）
3．（1）先化简，再求值： ，其中x＝ ﹣1；（2）数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
4．阅读下面计算过程：
＝
＝
试求：
（1） 的值为 ．
（2）求 +...+ 的值．
（3）若 ，求a2﹣4a+4的值．
四．勾股定理（共3小题）
5．已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其
中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方
向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同
时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒，
（1）线段AC＝ ；
（2）当t＝1秒时，求△BPQ的面积；
（3）当AP＝CP时，CQ＝ ；
（4）若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，直接写出t的值．6．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分别为AB、BC边上的
动点，点P从点A开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方
向运动，且速度为每秒2cm⇒，它们同时出发；设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出
运动时间；若不能够，请说明理由．
7．如图1，四边形ADCO中，∠AOC＝90°，∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，CO＝15．
（1）求线段AO的长度；
（2）如图2所示，OB是∠AOC的平分线，一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度
的速度沿射线OB运动．设点P的运动时间为t秒，当△AOP是等腰三角形时，请求出t
的值．
五．勾股定理的证明（共1小题）
8．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边
长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a，
b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，
AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河
边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路 CH，且CH⊥AB．
测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样
思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH
＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程．
六．勾股定理的应用（共1小题）
9．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有
极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一
海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB
＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
七．平行四边形的判定与性质（共1小题）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由．
八．菱形的性质（共1小题）
11．【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．点E、F分别为
AC、BC的中点，连接EF，DE．试说明：DE＝EF．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分∠BAD，∠DEF＝90°时，求∠BAD
的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当AB＝2，且四边形CDEF是菱形时，直接写
出 四 边 形 ABCD 的 面 积 ．
九．菱形的判定与性质（共2小题）
12．在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，C是BE的中点，过点D作AD∥BE，且AD＝BC，连接AE交CD于F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝8，菱形ABCD的面积为40，求DE的长．
13．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、
CF为邻边作▱ ECFG．
（1）证明 E▱CFG是菱形；
（2）若∠▱ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
一十．矩形的性质（共2小题）
14．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点
C的坐标为（0，b）且a、b满足 +|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出
发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（Ⅰ）点B的坐标为 ；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 ；
（Ⅱ）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM
的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
一十一．矩形的判定与性质（共3小题）
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从
点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运
动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间
为t秒（t＞0）．
（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝ cm，
（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为 秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是
矩形．（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，
请求出t；若没有，请说明理由．
17．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以
1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到
达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行
四边形？
18．如图，在 ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是
E，F，过点▱E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是
M，N与M′，N′，连接EF．
（1）求证：四边形EFNM是矩形；
（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．一十二．正方形的性质（共10小题）
19．如图，已知四边形 ABCD是正方形AB＝ ，点E为对角线AC上一动点，连接
DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）求证：DE＝EF；
（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
20．如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交
∠BCA的平分线CE于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若要使四边形AECF是正方形，△ABC应该满足什么条件？（直接写出具体条件，
不需要证明）
21．（1）正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上（不与端点重合），∠EAF＝45°，EF
与AC交于点G
①如图（i），若AC平分∠EAF，直接写出线段EF，BE，DF之间等量关系；
②如图（ⅱ），若AC不平分∠EAF，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由
（2）如图（ⅲ），矩形ABCD，AB＝4，AD＝8．点M、N分别在边CD、BC上，AN＝
2 ，∠MAN＝45°，求AM的长度．
22．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边
BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．
23．如图，在正方形中，P是直线CD上的一点，连接BP，过点D作DE⊥BP，交直线BP
于点E，连接CE．
（1）当点P在线段CD上时，如图①，求证：BE﹣DE＝ CE；
（2）当点P在直线CD上移动时，位置如图②、图③所示，线段BE，DE与CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，选择一个证明．
24．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交
直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
25．在边长为6的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在
BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ ；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝ ，请直接写出此时DE的长．
26．综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向
旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明．
27．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，
连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形 A B C D 中，M 是B C 边上一点（不含端点 B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
C ），N 是正方形A B C D 的外角∠D C H 的平分线上一点，且A M ＝M N ．求证：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∠A M N ＝90°．
1 1 1
28．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结
论EF＝BE+FD成立；
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上
的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证
明；不成立，请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝
180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF
＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
一十三．正方形的判定（共1小题）29．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，过点C作AD的平行线，交△ABC外
角∠EAC的角平分线于点F．
（1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
一十四．正方形的判定与性质（共1小题）
30．问题解决：如图 1，在矩形 ABCD中，点 E，F分别在 AB，BC边上，DE＝AF，
DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于
点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，求DE的长．
一十五．四边形综合题（共1小题）
31．在平行四边ABCD中，AB＝6cm，BC＝acm，P是AC对角线上的一个动点，由A向C
运动（不与A，C重合），速度为每秒1cm，Q是CB延长线上一点，与点P以相同的速
度由B向CB延长线方向运动（不与B重合），连接PQ交AB于E．（1）如图1，若∠ABC＝60°，BC＝AB，求点P运动几秒后，∠BQE＝30°；
（2）如图2，在（1）的条件下，作PF⊥AB于F，在运动过程中，线段EF长度是否发
生变化，如果不变，求出EF的长；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，当BC≠AB时，平行四边形的面积是24cm2，那么在运动中是否存在某一
时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
