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知识点 43：传送带模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决传送带问题的技巧：
（1）动力学方法：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式
结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关
系．
（2）能量方法：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因
放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
①传送带与物体产生的内能Q＝f s 其中x 是物体间相对路径长度（同向相减，反向相
相对 相对
加）。
②因传送工件而多消耗电能电机做功的求解方法：
根据动能定理：传送带匀速运动，电动机做的功等于传送带克服摩擦力做的功W＝f x 。
传
根据能量守恒：电机做功等于物块机械能增加量和系统摩擦产生的热W＝ΔE ＋ΔE ＋Q。
k p
考点一：水平式传送带模型的力与能量问题
题型一：滑块静止释放模型
类型一：滑块在传送带上静止释放模型
【典例1a基础题】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电
动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下
传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程
下列说法中正确的是 ( )
A．电动机多做的功为mv2 B．物体在传送带上的划痕长
C．传送带克服摩擦力做的功为mv2 D．电动机增加的功率为μmgv
【典例1a基础题】【答案】D
【解析】物体与传送带相对静止之前，物体做匀加速运动，由运动学公式知 x ＝t，传送
物
带做匀速运动，由运动学公式知x ＝vt，对物体根据动能定理μmgx ＝mv2，摩擦产生的
传 物
热量Q＝μmgx ＝μmg(x －x )，四式联立得摩擦产生的热量Q＝mv2，根据能量守恒定
相对 传 物
律，电动机多做的功一部分转化为物体的动能，一部分转化为热量，故电动机多做的功等
于mv2，A项错误；物体在传送带上的划痕长等于x －x ＝x ＝，B项错误；传送带克服
传 物 物
摩擦力做的功为μmgx ＝2μmgx ＝mv2，C项错误；电动机增加的功率也就是电动机克服
传 物
摩擦力做功的功率为μmgv，D项正确．
【典例1a基础题对应练习】水平传送带在电动机的带动下以恒定的速率v运动．某时刻在
传送带左侧A端轻轻放置一个质量为m的小物体，经时间t小物体恰好与传送带共速，此
时小物体未到达传送带的最右端，在这段时间内( )
1
学科网（北京）股份有限公司A. 摩擦力对小物体做的功为mv2
B. 由于小物体与传送带相互作用而产生的内能为mv2
C. 由于小物体与传送带相互作用，电动机要多做的功为mv2
D. 共速前小物体受向右的摩擦力，共速后小物体受向左的摩擦力
【典例1a基础题对应练习】【答案】C
【解析】根据动能定理可得摩擦力对小物体做的功为W＝ mv2，故A错误；t时间内小物
f
体和传送带的位移大小分别为x＝ ，x＝vt，根据牛顿第二定律可得小物体所受摩擦力的
1 2
大小为F＝ ，由于小物体与传送带相互作用而产生的内能为Q＝F(x－x)＝ mv2，故B
f f 2 1
错误；根据能量守恒定律可得由于物体与传送带相互作用，电动机要多做的功为W＝W＋
f
Q＝mv2，故C正确；共速前小物体受向右的摩擦力，共速后小物体不受摩擦力，故D错误．
类型二：滑块在传送带上静止释放+其他组合运动模型
【典例1b基础题】如图所示，x轴与水平传送带重合，坐标原点O在传送带的左端，传送
带长L＝8 m，匀速运动的速度v＝5 m/s.一质量m＝1 kg的小物块轻轻放在传送带上x ＝2
0 P
m的P点，小物块随传送带运动到Q点后冲上光滑斜面且刚好到达N点(小物块到达N点
后被收集，不再下滑)．若小物块经过Q处无机械能损失，小物块与传送带间的动摩擦因数
μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求N点的纵坐标；
(2)求小物块在传送带上运动产生的热量；
(3)若将小物块轻轻放在传送带上的某些位置，最终均能沿光滑斜面越过纵坐标y ＝0.5 m
M
的M点，求这些位置的横坐标范围．
【典例1b基础题】【答案】(1)1.25 m (2)12.5 J (3)0≤x＜7 m
【解析】(1)小物块在传送带上匀加速运动的加速度a＝μg＝5 m/s2
小物块与传送带共速时，所用的时间t＝＝1 s，运动的位移Δx＝＝2.5 m<(L－x )＝6 m，故
P
2
学科网（北京）股份有限公司小物块与传送带共速后以v＝5 m/s的速度匀速运动到Q，然后冲上光滑斜面到达N点，由
0
机械能守恒定律得mv＝mgy ，解得y ＝1.25 m
N N
(2)小物块在传送带上相对传送带滑动的位移 x＝vt－Δx＝2.5 m，产生的热量Q＝μmgx＝
0
12.5 J
(3)设在坐标为 x 处轻轻将小物块放在传送带上，最终刚能到达 M点，由能量守恒得
1
μmg(L－x)＝mgy 代入数据解得x ＝7 m，故小物块放在传送带上的位置坐标范围为
1 M 1
0≤x<7 m
题型二：滑块同向滑上传送带模型
类型一：只有传送带模型
【典例2a基础题】(多选)如图所示，水平传送带两端A、B间的距离为L，传送带以速度v
沿顺时针方向转动，一个质量为M的小物块以一定的初速度从A端滑上传送带，运动到B
端．此过程中物块先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，物块做匀加速直线运动的时间
与做匀速直线运动的时间相等，两过程中物块运动的位移之比为 2∶3，重力加速度为g，
传送带速度大小不变．下列说法正确的是( )
A．物块的初速度大小为
B．物块做匀加速直线运动的时间为
C．物块与传送带间的动摩擦因数为
D．整个过程中物块与传送带因摩擦产生的热量为
【典例2a基础题】【答案】BC
【解析】由题意可知物块做匀加速运动和匀速运动的时间相等，物块两次运动的位移之比
为：＝＝，则∶v＝2∶3，可得出：v ＝，故A错误；由题意可知物块匀速运动的位移为，
0
则＝vt，可得匀速运动的时间为：t＝，匀加速运动的时间等于匀速运动的时间，故B正确；
根据运动学公式：a＝μg，v2－v2＝2ax，x＝，可得物块与传送带间的动摩擦因数为：μ
0
＝，故C正确；根据热量的计算公式：Q＝Fx ，整个过程中x ＝－＝，可求得整个
f 相对 相对
过程中物块与传送带因摩擦产生的热量为：Q＝，故D错误．
【典例2a基础题对应练习】(多选)如图所示为某建筑工地所用的水平放置的运输带，在电
动机的带动下运输带始终以恒定的速度v＝1 m/s顺时针传动．建筑工人将质量为m＝2 kg
0
的建筑材料静止地放到运输带的最左端，同时建筑工人以v＝1 m/s 的速度向右匀速运动．
0
已知建筑材料与运输带之间的动摩擦因数为μ＝0.1，运输带的长度为L＝2 m，重力加速度
大小为g＝10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．建筑工人比建筑材料早到右端0.5 s
3
学科网（北京）股份有限公司B．建筑材料在运输带上一直做匀加速直线运动
C．因运输建筑材料电动机多消耗的能量为1 J
D．运输带对建筑材料做的功为1 J
【典例2a基础题对应练习】【答案】AD
【解析】建筑工人匀速运动到右端，所需时间 t ＝＝2 s，假设建筑材料先加速再匀速运动，
1
加速时的加速度大小为a＝μg＝1 m/s2，加速的时间为t＝＝1 s，加速运动的位移为x＝t＝
2 1 2
0.5 m<L，假设成立，因此建筑材料先加速运动再匀速运动，匀速运动的时间为 t ＝＝1.5
3
s，因此建筑工人比建筑材料早到达右端的时间为Δt＝t ＋t －t ＝0.5 s，A正确，B错误；
3 2 1
建筑材料与运输带在加速阶段摩擦生热，该过程中运输带的位移为 x ＝vt ＝1 m，则因摩
2 02
擦而生成的热量为Q＝μmg(x －x)＝1 J，由动能定理可知，运输带对建筑材料做的功为W
2 1
＝mv＝1 J，则因运输建筑材料电动机多消耗的能量为2 J，C错误，D正确
类型二：传送带+其他模型组合运动问题
【典例2b基础题】 (多选)如图所示，质量m＝1 kg的物体从高为h＝0.2 m的光滑轨道上
P点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的A点，物体和传送带之间的动摩擦因数为μ＝
0.2，传送带A、B之间的距离为L＝5 m，传送带一直以v＝4 m/s的速度匀速运动，则(g
取10 m/s2)( )
A．物体从A运动到B的时间是1.5 s
B．物体从A运动到B的过程中，摩擦力对物体做功为2 J
C．物体从A运动到B的过程中，产生的热量为2 J
D．物体从A运动到B的过程中，带动传送带转动的电动机多做的功为10 J
【典例2b基础题】【答案】AC
【解析】设物体下滑到A点时的速度为v，对PA过程，由机械能守恒定律有mv 2＝mgh，
0 0
代入数据得v＝＝2 m/s<v＝4 m/s，则物体滑上传送带后，在滑动摩擦力的作用下做匀加速
0
运动，加速度大小为a＝＝μg＝2 m/s2；当物体的速度与传送带的速度相等时用时t ＝＝ s
1
＝1 s，匀加速运动的位移x ＝t ＝×1 m＝3 m<L＝5 m，所以物体与传送带共速后向右做匀
1 1
速运动，匀速运动的时间为t ＝＝ s＝0.5 s，故物体从A运动到B的时间为t＝t ＋t ＝1.5
2 1 2
s，故选项A正确；物体运动到B时的速度是v＝4 m/s，根据动能定理得：摩擦力对物体做
功W＝mv2－mv 2＝×1×42 J－×1×22 J＝6 J，选项B错误；在t 时间内，传送带做匀速运动
0 1
的位移为x ＝vt＝4 m，故产生热量Q＝μmgΔx＝μmg(x －x)，代入数据得Q＝2 J，选项
带 1 带 1
4
学科网（北京）股份有限公司C正确；电动机多做的功一部分转化成了物体的动能，另一部分转化为内能，则电动机多
做的功W′＝W＋Q＝6 J＋2 J＝8 J，选项D错误．
【典例2b基础题对应练习】如图所示，质量m＝1 kg的物体从高为h＝0.2 m的光滑轨道
上P点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的A点，物体和传送带之间的动摩擦因数为μ
＝0.1，传送带AB之间的距离为l＝5.5 m，传送带一直以v＝3 m/s的速度沿顺时针方向匀
速转动，则( )
A.物体由A运动到B的时间是1.5 s
B.物体由A运动到B的过程中，摩擦力对物体的冲量大小为1 N·s
C.物体由A运动到B的过程中，系统产生0.5 J的热量
D.带动传送带转动的电动机在物体由A运动到B的过程中，多做了3 J功
【典例2b基础题对应练习】【答案】BCD
【解析】物体下滑到A点的速度为v ，由机械能守恒定律有mv＝mgh，代入数据得v ＝2
0 0
m/s，物体在摩擦力作用下先做匀加速运动，后做匀速运动，有 t ＝＝1 s，s ＝t ＝×1 m＝
1 1 1
2.5 m，t＝＝ s＝1 s，t＝t＋t＝2 s，选项A错误；物体由A运动到B的过程中，摩擦力对
2 1 2
物体的冲量大小为I＝μmgt ＝1 N·s，选项B正确；在t 时间内，传送带做匀速运动s ＝vt
1 1 带 1
＝3 m，Q＝μmgΔs＝μmg(s －s)，代入数据得Q＝0.5 J，选项C正确；物体从A运动到B
带 1
的过程中，物体动能增量ΔE ＝mv2－mv，电动机多做的功为W＝Q＋ΔE ＝3 J，选项D正
k k
确。
题型三：滑块反向滑上传送带模型
类型一：只有传送带模型
【典例3a基础题】如图所示，足够长的水平传送带以恒定速率v匀速运动，某时刻一个质
量为m的小物块，以大小也是v、方向与传送带的运动方向相反的初速度冲上传送带，最
后小物块的速度与传送带的速度相同。在小物块与传送带间有相对运动的过程中，滑动摩
擦力对小物块做的功为W，小物块与传送带间因摩擦产生的热量为Q，则下列判断中正确
的是( )
A．W＝0，Q＝mv2 B．W＝0，Q＝2mv2
C．W＝，Q＝mv2 D．W＝mv2，Q＝2mv2
【典例3a基础题】【答案】B
5
学科网（北京）股份有限公司【解析】对小物块，由动能定理有W＝mv2－mv2＝0，设小物块与传送带间的动摩擦因数
为μ，则小物块与传送带间的相对路程 x ＝，小物块与传送带因摩擦产生的热量 Q＝
相对
μmgx ＝2mv2，选项B正确。
相对
类型二：传送带+其他模型组合运动问题
【典例3b基础题】某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的
关系，建立如图所示的物理模型。竖直平面内有一倾角θ＝37°的直轨道AB，其下方右侧
放置一水平传送带，直轨道末端B与传送带间距可近似为零，但允许砂粒通过。转轮半径
R＝0.4 m、转轴间距L＝2 m的传送带以恒定的线速度逆时针转动，转轮最低点离地面的高
度H＝2.2 m。现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小物块从直轨道B端运
动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右。已知小物块与直轨道和传送
带间的动摩擦因数均为μ＝0.5。(sin 37°＝0.6)
（1）若h＝2.4 m，求小物块到达B端时速度的大小；
（2）若小物块落到传送带左侧地面，求h需要满足的条件；
（3）改变小物块释放的高度h，小物块从传送带的D点水平向右抛出，求小物块落地点到
D点的水平距离x与h的关系式及h需要满足的条件。
【典例3b基础题】【答案】(1)4 m/s (2)h<3.0 m (3)x＝2 m h≥3.6 m
【解析】(1)小物块由静止释放到B的过程中，有mgsin θ－μmgcos θ＝ma，v＝2a 解得v
B
＝4 m/s。(2)若要小物块落到传送带左侧地面，设当小物块到达传送带上D点速度为零时，
小物块从距传送带高度为h 处由静止释放，则有0＝mgh －μmgcos θ·－μmgL
1 1
解得h ＝3.0 m 当h<h ＝3.0 m时满足题中条件(3)当小物块从右侧抛出时，设小物块到达
1 1
D点的速度为v，则有mv2＝mgh－μmgcos θ－μmgL，H＋2R＝gt2，x＝vt解得x＝2 m，为
使小物块能在D点水平向右抛出，则需满足mg≤解得h≥3.6 m。
【典例3b基础题对应练习】(多选)如图所示，一固定的四分之一光滑圆弧轨道与逆时针匀
速传动的水平传送带平滑连接于N点，圆弧轨道半径为R.质量为m的小滑块自圆弧轨道
最高点M由静止释放，滑块在传送带上运动一段时间后返回圆弧轨道，上升到最高点时距
N点高度为 .不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
6
学科网（北京）股份有限公司A. 传送带匀速传动的速度大小为
B. 经过足够长的时间，滑块最终静止于N点
C. 滑块第一次在传送带上运动的整个过程中产生的热量为 mgR
D. 滑块第三次在传送带上运动的整个过程中产生的热量为mgR
【典例3b基础题对应练习】【答案】ACD
【解析】小滑块第一次滑上传送带时的速度为v＝ ，向右减速到零后，再反向加速，
1
离开传送带时的速度为v＝ ，因为v<v，所以小滑块返回时是先加速后匀速，即传
2 2 1
送带匀速传动的速度大小为 ，A正确；滑块速度跟传送带速度大小相等时，滑块滑上
传送带的速度和离开传动带的速度大小相等，之后一直保持这种状态，所以小滑块不会停
在N点，B错误；小滑块第一次在传送带上减速过程，相对传送带的位移为Δs＝vt＋ t
1 01 1
＝ ( ＋ )＝ ，反向加速过程，相对传送带的位移为Δs＝vt－ t＝ (
2 02 2
－ )＝ ，滑块第一次在传送带上运动的整个过程中产生的热量为Q＝F(Δs＋
f 1
Δs)＝ ·μmg＝ mgR，C正确；第二次滑上传送带时，速度与传送带速度大小相等，所以
2
以后每次滑上，产生的热量相同，滑上过程中Δs′＝vt＋ t＝ ( ＋ )＝ ，
1 02 2
返回过程Δs′＝vt－ t＝ ( － )＝ ，滑块第二次及以后每次在传送带上运
2 02 2
动的整个过程中产生的热量为Q′＝F(Δs′＋Δs′)＝ ·μmg＝mgR，D正确．
f 1 2
7
学科网（北京）股份有限公司考点二：斜面式传送带模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
当物体的速度与传送带速度相等时，需比较mgsinθ与μmgcosθ的大小关系才能决定物块以
后的运动，判断“共速”后的下一时刻物体受到的是滑动摩擦力还是静摩擦力。
题型一：传送带向上匀速运动模型（上传模型）
类型一：静止的滑块从底端向上运动模型
【典例1a基础题】如图所示，某工厂用传送带向高处运送物体，将一物体轻轻放在传送带
底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段物体与传送带相对静止
匀速运动到传送带顶端．下列说法正确的是( )
A．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功
B．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量
C．第一阶段物体和传送带间因摩擦产生的热量等于第一阶段物体机械能的增加量
D．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功
【典例1a基础题】【答案】C
【解析】对物体受力分析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上，与其运动方向
相同，摩擦力对物体都做正功，A错误；由动能定理知，合力做的总功等于物体动能的增
加量，B错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D错误；设第一阶段物
体的运动时间为t，传送带速度为v，对物体有x ＝t，对传送带有x′＝v·t，因摩擦产生的
1 1
热量 Q＝Fx ＝F(x′－x)＝F·t，物体机械能增加量ΔE＝F·x ＝F·t，所以Q＝ΔE，C
f 相对 f 1 1 f f 1 f
正确．
【典例1a基础题对应练习】如图所示，与水平面夹角θ＝30°的倾斜传送带始终绷紧，传送
带下端A点与上端B点间的距离L＝4 m，传送带以恒定的速率v＝2 m/s向上运动．现将一
质量为1 kg的物体无初速度地放于A处，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝，取g＝10
m/s2，求：
（1）物体从A运动到B共需多长时间？
（2）电动机因传送该物体多消耗的电能．
【典例1a基础题对应练习】【答案】(1)2.4 s (2)28 J
8
学科网（北京）股份有限公司【解析】(1)物体无初速度地放在A处后，因mgsin θ<μmgcos θ，故物体斜向上做匀加速直
线运动．加速度a＝＝2.5 m/s2，物体达到与传送带同速所需的时间t ＝＝0.8 s，t 时间内物
1 1
体的位移x ＝t ＝0.8 m，之后物体以速度v做匀速运动，运动的时间t ＝＝1.6 s，物体运动
1 1 2
的总时间t＝t ＋t ＝2.4 s(2)解法1：前0.8 s内物体相对传送带的位移Δx＝vt －x ＝0.8 m因
1 2 1 1
摩擦而产生的内能E ＝μmgcos θ·Δx＝6 J，整个过程中多消耗的电能E ＝E ＋E ＋E ＝
内 电 k p 内
mv2＋mgLsin θ＋E ＝28 J，解法2：电动机多消耗的电能在数值上等于两个过程克服摩擦
内
力所做的功，E ＝W ＋W 传送带在加速过程的位移x′＝vt ＝1.6 m W ＝μmgx ′cos
电 f1 f2， 1 1 f1 1
θ＝12 J，传送带在匀速过程的位移x′＝vt＝3.2 m W ＝mgx ′sin θ＝16 J所以E ＝28
2 2 f2 2 电
J。
类型二：运动的滑块从底端向上运动模型
【典例1b基础题】（多选）如图所示，机场将货物用与水平面成θ = 30°角的传送带送到货
仓，传送带以v = 2m/s的速度顺时针运行，地勤人员将一质量m = 1kg的货物以初速度v =
0
4m/s从底部滑上传送带，货物恰好能到达传送带的顶端。已知物块与传动带之间的动摩擦
因数为 ，取重力加速度g = 10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．传送带从底端到顶端的长度是1m
B．物体在传动带上运动的时间为1.25s
C．物块在传送带上留下的划痕为1.25m
D．物体在传动带上向上运动的过程中由于摩擦产生的热量为3.75J
【典例1b基础题】【答案】BD
【解析】物体刚滑上传送带，物体相对传送带向上运动，受到摩擦力沿传送带向下，将匀
减速上滑，直至与传送带等速，设物体上滑的加速度大小为a，由牛顿第二定律得
1
，代入数据得a = 8m/s2，则物体相对传送带匀减速上滑，直至
1
与传送带等速的时间为 ，物块沿传送带向上的位移为
9
学科网（北京）股份有限公司，物块与传送带相对静止瞬间，由于最大静摩擦力
，相对静止状态不能持续，物体速度会继续减小，此后，物体受到
摩擦力沿传送带向上，但合力沿传送带向下，故继续匀减速上升，直至速度为0，令此时
物体减速上升的加速度大小为a，由牛顿第二定律得 ，代入数据得
2
a = 2m/s2，由于货物恰好能到达传送带的顶端，则物体到达传送带顶端速度减为零且时
2
间为 ，物体沿传动带向上运动的位移为 ，物块在传送带上的时间为
t = t + t = 0.25 + 1s = 1.25s，B正确；根据选项B，传送带从低端到顶端的长度L = vt =
1 2
2.5m，A错误；物块减速到与传送带速度相等过程传送带的位移大小
，物块与传送带速度相等后运动过程传送带的位移大小
，物块速度与传送带速度相等前运动过程物块对于传送带的位移
大小 ，物块速度与传送带速度相等后运动过程物块对
于传送带的位移大小 ，物体速度与传送带速度相等后向上
运动过程中物块与传送带上留下的划痕与第一阶段减速运动过程划痕重合，因此物块在传
送带上留下划痕的长度L = L = 1m，C错误；物块从滑上传送带到滑离传送带的过程中，
2
因摩擦产生的热量为 ，D正确。
类型三：运动的滑块从顶端向下运动模型
【典例1c基础题】（多选）如图甲，一足够长的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电
动机的带动下，速率始终不变．t＝0时刻在传送带适当位置放上一具有初速度的小物块．
取沿斜面向上为正方向，物块在传送带上运动的速度随时间的变化如图乙所示．已知小物
块质量m＝1 kg，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
10
学科网（北京）股份有限公司A．传送带顺时针转动，速度大小为2 m/s
B．传送带与小物块之间的动摩擦因数μ＝
C．0～t 时间因摩擦产生热量为27 J
2
D．0～t 时间内电动机多消耗的电能为28.5 J
2
【典例1c基础题】【答案】ABC
【解析】从v－t图可知，小物块最终随传送带一起匀速运动，说明传送带的速度为 2
m/s，顺时针转动，故A正确；小物块的加速度a＝1 m/s2，对物块受力分析，可得μmgcos
θ－mgsin θ＝ma，解得μ＝，故B正确；物块运动速度减为零后，反向加速经历时间t＝
＝2 s，v－t图中可知t ＝3 s，物块运动的位移s＝1.5 m，传送带与物块的相对位移Δs＝4.5
2
m，产生内能Q＝μmgcos θ·Δs＝27 J，故C正确；物块增加的重力势能ΔE ＝mgsin θ·s＝
p
7.5 J，物块动能的增量ΔE ＝mv 2－mv 2＝1.5 J，传送带多消耗的电能W ＝Q＋ΔE ＋ΔE
k 0 1 电 p k
＝36 J.另解：物块运动速度减为零后，反向加速经历时间t＝＝2 s，因此v－t图中t＝3 s，
2
3 s内传送带的位移s＝vt＝6 m，传送带多消耗的电能W ＝μmgcos θ·s＝36 J.
02 电
题型二：传送带向下匀速运动模型（下载模型）
类型一：滑块静止轻放模型
【典例2a基础题】如图甲所示，倾角为θ的传送带以恒定的速率v沿逆时针方向运行．t
0
＝0时，将质量m＝1 kg的炭块(可视为质点)轻放在传送带上，炭块相对地面的v－t图象如
图乙所示，整个过程炭块未滑离传送带．设沿传送带向下为正方向，取重力加速度 g＝10
m/s2.则( )
A．传送带的速率v＝12 m/s
0
B．0～2.0 s内摩擦力对炭块做功－20 J
C．0～2.0 s内炭块与传送带摩擦产生的热量为24 J
D．炭块在传送带上的痕迹长度为4 m
【典例2a基础题】【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】当炭块的速率超过传送带的速率后，炭块受到的摩擦力的方向发生改变，加速度
也发生改变，根据v－t图象可知，传送带的速率为v ＝10 m/s，故A错误；由题图乙可知，
0
在0～1.0 s内炭块受到的摩擦力沿斜面向下，a ＝＝10 m/s2；在1.0～2.0 s内受到的摩擦力
1
沿斜面向上，a ＝＝2 m/s2；联立两式解得：μ＝0.5，θ＝37°.第一段匀加速直线运动的位移
2
为：x ＝t ＝×1 m＝5 m，摩擦力做功为：W ＝μmgcos θ·x ＝0.5×1×10×0.8×5 J＝20 J，第
1 1 f1 1
二段匀加速直线运动的位移为：x ＝t ＝×1 m＝11 m，摩擦力做功为：W ＝－μmgcos θ·x
2 2 f2 2
＝－0.5×1×10×0.8×11 J＝－44 J，所以有：W＝W ＋W ＝20 J－44 J＝－24 J，故B错误；
f f1 f2
第一段匀加速直线运动炭块和传送带间的相对位移为：Δx＝vt－x＝10×1 m－5 m＝5 m，
1 01 1
产生的热量为：Q ＝μmgcos θ·Δx ＝0.5×10×0.8×5 J＝20 J；第二段匀加速直线运动炭块和
1 1
传送带间的相对位移为：Δx＝x－vt＝11 m－10×1 m＝1 m，产生的热量为：Q＝μmgcos
2 2 02 2
θ·Δx＝0.5×1×10×0.8×1 J＝4 J；0～2.0 s内炭块与传送带摩擦产生的热量为Q＝Q＋Q＝20
2 1 2
J＋4 J＝24 J，故C正确；第一段匀加速直线运动传送带比炭块的位移大，划痕即炭块和传
送带间的相对位移为5 m；第二段匀加速直线运动炭块比传送带位移大，划痕即炭块和传送
带间的相对位移为1 m，所以总的划痕长度即第一阶段的划痕5 m，故D错误．
【典例2a基础题对应练习】(多选)如图甲所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率
v沿逆时针方向运行，t＝0时，将质量m＝1 kg的物体(可视为质点)轻放在传送带上，物体
0
相对地面的v－t图象如图乙所示．设沿传送带向下为正方向，取重力加速度g＝10 m/s2，
则( )
甲 乙
A．传送带的速率v＝10 m/s
0
B．传送带的倾角θ＝30°
C．物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5
D．0～2.0 s内摩擦力对物体做功W＝－24 J
f
【典例2a基础题对应练习】【答案】ACD
【解析】当物体的速率超过传送带的速率后，物体受到的摩擦力的方向发生改变，加速度
也发生改变，根据v－t图象可得，传送带的速率为v ＝10 m/s，选项A正确；1.0 s之前的
0
加速度a ＝10 m/s2,1.0 s之后的加速度a ＝2 m/s2，结合牛顿第二定律，gsin θ＋μgcos θ＝
1 2
a ，gsin θ－μgcos θ＝a ，解得sin θ＝0.6，θ＝37°，μ＝0.5，选项B错误，C正确；摩擦
1 2
力大小F＝μmgcos θ＝4 N，在0～1.0 s内，摩擦力对物体做正功，在1.0～2.0 s内，摩擦
f
力对物体做负功，0～1.0 s内物体的位移为5 m,1.0～2.0 s内物体的位移是11 m，0～2.0 s内
摩擦力做的功为－4×(11－5) J＝－24 J，选项D正确．
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学科网（北京）股份有限公司类型二：运动的滑块从顶端向下运动模型
【典例2b基础题】如图所示，固定的粗糙弧形轨道下端B点水平，上端A与B点的高度
差为h＝0.3 m，倾斜传送带与水平方向的夹角为θ＝37°，传送带的上端C点与B点的高度
1
差为h ＝0.1125 m(传送带传动轮的大小可忽略不计)。一质量为m＝1 kg的滑块(可看作质
2
点)从轨道的A点由静止滑下，然后从B点抛出，恰好以平行于传送带的速度从C点落到传
送带上，传送带逆时针转动，速度大小为v＝0.5 m/s，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝
0.8，且传送带足够长，滑块运动过程中空气阻力忽略不计，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，试求：
（1）滑块运动至C点时的速度v 大小；
C
（2）滑块由A到B运动过程中克服摩擦力做的功W；
f
（3）滑块在传送带上运动时与传送带摩擦产生的热量Q。
【典例2b基础题】【答案】(1)2.5 m/s (2)1 J (3)32 J
【解析】(1)在C点，竖直分速度v＝＝1.5 m/s由v＝v sin 37°，解得v ＝2.5 m/s。
y y C C
(2)C点的水平分速度与B点的速度相等，则v ＝v ＝v cos 37°＝2 m/s，从A到B点的过程
B x C
中，根据动能定理得mgh －W＝mv，解得W＝1 J。
1 f f
(3)滑块在传送带上运动时，根据牛顿第二定律有μmgcos 37°－mgsin 37°＝ma，解得a＝0.4
m/s2达到共同速度所需时间t＝＝5 s。两者间的相对位移Δx＝t－vt＝5 m
由于mgsin 37°＜μmgcos 37°，此后滑块将做匀速运动。故滑块在传送带上运动时与传送带
摩擦产生的热量Q＝μmgcos 37°·Δx＝32 J。
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