考向18同角三角函数的基本关系与诱导公式（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

考向 18 同角三角函数的基本 关系与诱导公式 1．（2021·全国高考真题）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化 为正切的表达式，代入 即可得到结果． 【详解】 将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】 易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化 处理，可以避开了这一讨论．2．（2021·江苏高考真题）已知 ，且 ，则 的值是_________. 【答案】 【分析】 先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 . 故答案为： . 1.同角三角函数关系在解题中的应用 (1)利用方程思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．对于 sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝ 2，可以“知一求二”． (2)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及 sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解． 2.诱导公式及应用 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一名，统一角，同角名少为终了． (2)学会诱导公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin＝sin，能将y＝sin中x的 系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号． (3)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2．诱导公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋ π＋α －α π－α －α ＋α α(k∈Z) sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan_α 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数. “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变. “符号看象限”指的是在“k·＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·＋αk∈Z”的终边所在的象限. 【知识拓展】 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. 1．（2021·陕西高三其他模拟（理））设α是第一象限角，满足 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 2．（2020·江苏高三一模）已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角 ， ，若 ， ，则 ___________. 4．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知 ，那么 ______． 1．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2021·福建高三其他模拟）已知 ，且 ，则 （ ）． A． B． C． D．3．（2021·全国高三其他模拟（理））若 ，则 （ ） A． B． C． D．a 4．（2021·全国高三其他模拟（文））已知 为第三象限角，且 ，则 的值为（ ） A．2 B．-2 C． D． 5．（2021·北京高一其他模拟） （ ） A． B． C． D． 6．（2021·广东高三其他模拟）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件 宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻 石矿，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一 个顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形 与一个正五边形组成，在其中一个黄金 中， ，据这些信息，可得 （ ） A． B． C． D． 7．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若 ，则 （ ）A． B． C． D． 8．（2021·全国高三其他模拟）设 为第二象限角，若 ，则 __________． 9．（2021·甘肃高三其他模拟（理））已知 ，则 的值为___________. 10．（2021·全国高三其他模拟（文））已知 ，则 ___________. 11．（2021·浙江杭州高级中学高三其他模拟）已知 ，则 ，则 ________， ________． 12．（2021·浙江高三二模）设函数 ， . （1）求函数 的最小值； （2）若 是锐角， ，求 可能值的个数. 1．（2021·全国高考真题（文））若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2020·全国高考真题（理））已知 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D． 3．（2021·全国高考真题（文）） （ ） A． B． C． D． 4．（2017·全国高考真题（文））函数f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为 A． B．1 C． D． 5．（2019·江苏高考真题）已知 ，则 的值是_____. 6．（2018·全国高考真题（理））已知 ， ，则 __________． 7．（2017·全国高考真题（文））已知 ，tanα=2，则 =______________． 8．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边，它们的终边关 于 轴对称.若 ,则 _____. 9．（2006·安徽高考真题（理））已知 （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求 的值． 10．（2013·广东高考真题（理））已知函数 ， ． 1 求 的值； 2 若 ， ，求 1．【答案】C 【分析】 用两角和与差的正弦余弦公式展开化简，可得 ，结合 以及角的 范围，求解 ， ，即可计算 . 【详解】 ， ， ∴ ，联立 ， ∵设α是第一象限角， ∴ ， ，即 ， ， ∴ . 故选：C. 2．【答案】B 【分析】 首先根据二倍角公式得到 ，从而得到 ，再利用诱导公式求解即可. 【详解】 ， 因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 . 所以 . 故选：B 3．【答案】 【分析】根据 的范围确定 的范围，然后求出 和 ，将 变形 为 ，结合两角和的余弦公式即可求解. 【详解】 ∵ ， ， ∴ ， ， 又 ， ，∴ ∴ ， ， ∴ . 故答案为： .4．【答案】 【分析】 由已知等式结合诱导公式变形，再利用二倍角的余弦公式进行化简即可求解． 【详解】 因 ，则 . 故答案为： 1．【答案】A 【分析】 由诱导公式，同角间的三角函数关系式得 ，然后由二倍角公式，利用同角关系式化为关于 的二次齐次式，再弦化切求值． 【详解】 解：因为 ， 所以 ， 所以 . 故选：A.2．【答案】D 【分析】 由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得 ， 结合 求出 的值，再根据正切的二倍角公式即可. 【详解】 ， 故 ， 又因为 ，且 ． 故 ， 或 ， ，则 或 ， 故 ， 故选：D． 3．【答案】C 【分析】 利用同角三角函数平方关系求出 ，再利用二倍角公式得到 ，然后利用诱导公式可得答案. 【详解】 若 ， 是第一象限角， 则 ， 所以 ，则 ， 故选：C. 4．【答案】A 【分析】 知弦求切，利用商的关系即可得解. 【详解】 ， 所以 ， 由 为第三象限角，所以 ， 故选：A. 5．【答案】C 【分析】 先用诱导公式将角化为锐角，然后利用两角余弦和（差）公式即可求得. 【详解】 . 故选：C. 6．【答案】A 【分析】 计算出 ，利用二倍角的余弦公式可求得 ，然后利用诱导公式可求得 的值. 【详解】 由题意可得 ，且 ， 所以， ， 因此， .故选：A. 7．【答案】D 【分析】 因为 ，由诱导公式可得选项. 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ， 故选：D. 8．【答案】 【分析】 根据条件先求出 ，再将 展开，代入即可求得. 【详解】 因为 为第二象限角， ，所以 ，所以 . 故答案为： . 9．【答案】 【分析】根据已知中 ，可将 转化为关于 的式子，代入求解即可. 【详解】 由已知得 ， 所以 . 故答案为： 10．【答案】 【分析】 利用两角和的正弦公式以及诱导公式、二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】 由 ， 则 ， 即 ， 即 ，所以 ， . 故答案为： 11．【答案】 【分析】首先利用诱导公式，计算 ；根据 ，构造齐次方程，求 . 【详解】 ，所以 ， ， 解得： ，因为 ， 所以 . 故答案为： ； 12．【答案】（1） ；（2）4个. 【分析】 （1）利用二倍角公式化简整理得 ，再利用换元法得到 ， ，利用二次函数性质即可求得最小值； （2）由已知得 ，代入可求得 或 ；同理由 ， 得 ，利用同角关系求得 ，然后分类讨论结合凑角公式 即可得解. 【详解】 （1）令 ， ， 则 ， ，对称轴为 利用二次函数的单调性知，函数在 时单调递增，在 时单调递减； 故当 时，函数取得最小值，即 即当 时，函数 取得最小值，且最小值为 . （2）由 ，得 ，即 ， 整理得： 解得： 或 由 ， 得 ，即 整理得： ，解得： 又 是锐角， 利用凑角可知 当 ， 可以为三或四象限； 若 为三象限，则 ，则若 为四象限，则 ，则 当 ， 可以为一或二象限； 若 为二象限，则 ，则 若 为一象限，则 ，则 故 可能值的个数为4个. 【点睛】 方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角： （1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有： 与 ， 与 ， 与 等；常见的互补关系有： 与 ， 与 等； （2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的 关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有： ， ， 等等. 1．【答案】A【分析】 由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的 基本关系即可求解. 【详解】 ， ， ， ，解得 ， ， . 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 . 2．【答案】A 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三 角函数关系，即可得出结论. 【详解】 ，得 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 . 故选：A. 【点睛】 本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 3．【答案】D 【分析】 由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即可得解. 【详解】 由题意， . 故选：D. 4．【答案】A 【详解】 由诱导公式可得 ， 则 , 函数 的最大值为 . 所以选A. 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过 变换把函数化为 的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意 观察角、函数名、结构等特征． 5．【答案】 . 【分析】 由题意首先求得 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问 题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】 由 ， 得 ， 解得 ，或 . ， 当 时，上式 当 时，上式= 综上， 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化 归思想解题. 6．【答案】 【详解】 因为 ，所以 ，① 因为 ， 所以 ，② ① ②得 ， 即 ， 解得 ， 故本题正确答案为 7．【答案】 【详解】 由 得 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ． 8．【答案】 【详解】 试题分析：因为角 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，所以 . 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若 与 的终边关于轴对称，则 ，若 与 的终边关于 轴对称，则 ，若 与 的终边关于原点对称，则 . 9．【答案】(Ⅰ) （Ⅱ） ． 【详解】 解：(Ⅰ)由 得 ，即 ，又 ，所以 为所求． （Ⅱ） = = = = ． 10．【答案】(Ⅰ) =1；(Ⅱ) = 【详解】 试题分析：（1）将 代入 可得： ，在利用诱导公式和特殊角的三角函 数值即可；（2）因为 ，根据两角和的余弦公式需求出 和 ， ， ，则 ，根据二倍角公式求出代入即可．试题解析：（1）因为 ， 所以 ； （2）因为 ， ，则 ． 所以 ， ． 考点：1.诱 导公式；2.二倍角公式；3.两角和的余弦．