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考向 20 函数 的图像及
其应用
1．（2021·全国高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，即得
，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达
式.
【详解】
解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
2．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及
轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为
矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7
cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】
【分析】
利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出直角
的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】
设 ，由题意 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五
育并举的育人方针.
1. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求A的方法：
(1)利用极值点的纵坐标求A；(2)把某点的坐标代入求A.
2. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求ω的方法：
由ω＝,即可求出ω.常用结论：(1)相邻两个极大（小）值点之间的距离为 ；(2)相邻两个零点之间的
距离为 ；(3)极值点到相邻的零点,自变量取值区间长度为 .
3.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求φ的方法：
求φ的值时最好选用最值点求．
峰点：ωx＋φ＝＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ.
也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．
升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
此外也可以把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)．
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图,列表如下：
x
ωx＋φ 0 π 2π
2.三角函数的图象变换,有两种选择：一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩．函数y＝sinx的图象经变换
得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径【知识拓展】
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的物理意义
简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝Asin(ωx＋φ),x∈[0,＋∞),其中A>0,ω>0.在物理中,描述简谐
运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅,它是做
简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝ ,这是做简谐运动的物体往复运
动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动
的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．
1．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数 的最
大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 且 的图象关于点 对称，则下列判断不正确
的是（ ）
A．要得到函数 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位
B．函数 的图象关于直线 对称
C． 时，函数 的最小值为D．函数 在 上单调递减
2．（2021·江苏省滨海中学高三其他模拟）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图
为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正
方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．（2020·江苏高三一模）已知函数 是奇函数，且 的最小正
周期为 ，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数
为 ，若 ，则 __________.
4．（2021·上海静安区·高三一模）如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 以每秒 的角速度从
点 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到 ，再以每秒 的角速度从点 沿半径为1的下半圆逆时针
移动到坐标原点 ，则上述过程中动点 的纵坐标 关于时间 的函数表达式为___________.1．（2020·新疆高三三模（文））将函数 的图象向右平移 个单位，得到
的图象，再将 图象上的所有点的横坐标变成原来的 ，得到 的图象，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B． 是函数 图象的一个对称中心
C．函数 图象的一个对称轴方程为
D．函数 在区间 上单调递增
2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 ，点 为函数 图象
上的一个最高点，点 ， 为函数 的图象与 轴相邻的两个交点．若 周长的最小值为 ，
且将函数 的图象向右平移 个单位后所得函数的图象恰好关于原点对称，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 ( )的图象向左
平移 个单位长度后得到函数 的图象关于坐标原点对称，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）A． 的图象关于点 对称
B． 在 上的值域为
C．若 ，则 ，
D．将 的图象向右平移 个单位得 的图象
5．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）已知函数 的图象向右平移 个单位长度
得 的图象，则下列关于函数 和 的说法正确的是（ ）
A．函数 与 有相同的周期
B．函数 的图象与函数 的图象的对称中心一定不同
C．若函数 的图象在 上至少可取到两次最大值1，则
D．若函数 的图象与直线 在 上恰有两个交点，则
6．（2021·重庆高三三模）（多选题）定义在实数集 的函数
的图象的一个最高点为 ，与之相邻的一个对称中心为 ，将 的图象向右平移 个单位长
度得到函数 的图象，则（ ）
A． 的振幅为
B． 的频率为
C． 的单调递增区间为D． 在 上只有一个零点
7．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）（多选题）函数 ( ， )的部分图
像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把函数 的图像向左平移 个单位，则所得图像对应的函数是奇函数
C．若把 的图像上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到图像对应的函数在 上是
增函数
D． ，若 成立，则 的最小值为
8．（2021·全国高三其他模拟）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，
则 在区间 上的单调递减区间是 ___________.
9．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知函数 （ ， ）的最小
正周期为 ，将 的图象向左平移 （ ）个单位长度，所得函数 为偶函数时，则 的
最小值是______．
10．（2021·山东高一期末）如图，一块边长为1的正方形区城 ，在 处有一个可转动的探照灯，
其照射角 始终为 ，记探照灯照射在正方形 内部区域（阴影部分）的面积为 ．若设， ，则 的最大值为______．
11．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））将函数 图象上所有点向
右平移 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 的图象.
（1）求函数 的解析式及单调递增区间；
（2）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，
，且 ，求 的面积.
12．（2021·浙江高三三模）已知函数 的图象与y轴的交点坐标为(0，1)
（1）求 的值；
（2）将 图象向左平移 个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得
到 的图象，求函数 的最大值.1．（2020·天津高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2019·天津高考真题（文））已知函数 是奇函数，将
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若
的最小正周期为 ，且 ，则
A． B． C． D．
3．（2018·天津高考真题（文））将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应
的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
4．（2017·全国高考真题（理））已知曲线C：y=cos x，C：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
1 2
A．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2
B．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2C．把C上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2
D．把C上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2
5．（2016·全国高考真题（理））若将函数y=2sin2x的图像向左平移 个单位长度，则平移后图像的对
称轴为
A．x= （k∈Z）
B．x= （k∈Z）
C．x= （k∈Z）
D．x= （k∈Z）
6．（2019·北京高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点， 是
锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
7.（2015·湖南高考真题（理））将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数
的图像，若对满足 的 ， ，有 ，则
A． B． C． D．
8．（2008·上海高考真题（理））某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h、h，且
1 2
两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），
在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ、θ，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
1 2
9．（2007·四川高考真题）下面有5个命题：
①函数 的最小正周期是 ．
②终边在 轴上的角的集合是 ．
③在同一坐标系中，函数 的图象和函数 的图象有3个公共点．
④把函数 的图象向右平移 得到 的图象．
⑤函数 在 上是减函数．
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
10．（2017·山东高考真题（理））设函数 ，其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平
移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.1．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数 的最
大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 且 的图象关于点 对称，则下列判断不正确
的是（ ）
A．要得到函数 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位
B．函数 的图象关于直线 对称
C． 时，函数 的最小值为
D．函数 在 上单调递减
【答案】C
【分析】
根据最大值为2，可得A，根据正弦型函数的周期性，可求得 ，根据对称性，可求得 ，即可得 解析
式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
由题意得A=2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
因为 为对称中心，
所以 ，
因为 ，令k=0，可得 ，所以 .
对于A：将 的图象向右平移 个单位，
可得 ，故A正确；
对于B：令 ，解得 ，
令k=1，可得 ，所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，
所以当 时， ，故C错误；
对于D：令 ，解得 ，
令k=0，可得一个单调减区间为 ，
因为 ，
所以函数 在 上单调递减，故D正确.
故选：C
2．（2021·江苏省滨海中学高三其他模拟）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图
为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正
方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为 ，则 （ ）．
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
由已知条件可得每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，设直角三角形的较大直
角边为 ，另一直角边为 ，勾股定理求出 即可得直角三角形三边长，求出 ，代入两角和的正切
公式即可得解.
【详解】
解：根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，
故设直角三角形较大直角边为 ，则另一直角边为 ，
所以 ，解方程得： ，
∴ ， ，则 ，
∴ ．
故选：B.
【点睛】
本题考查知识的迁移应用，解题的关键在于根据题意，发现每个直角三角形的两条直角边的长度之差为
2、斜边的长度为10，进而列式计算，考查运算求解能力，是中档题.
3．（2020·江苏高三一模）已知函数 是奇函数，且 的最小正
周期为 ，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数
为 ，若 ，则 __________.
【答案】
【分析】
由题意求出 ，进而得出函数 的解析式，将 代入 即可.
【详解】
函数 是奇函数，则 ，
因为 的最小正周期为 ，所以 ，
将 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
所得图像对应的函数为 ，又 ，所以 ，解得 ，
所以
所以 .
故答案为：
4．（2021·上海静安区·高三一模）如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 以每秒 的角速度从
点 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到 ，再以每秒 的角速度从点 沿半径为1的下半圆逆时针
移动到坐标原点 ，则上述过程中动点 的纵坐标 关于时间 的函数表达式为___________.
【答案】
【分析】
首先分析动点 在半径为2的上半圆上运动时，时间 的范围，再根据三角函数的定义求得点 的坐标，再
分析动点 在半径为1的下半圆上运动时，时间 的范围，再根据三角函数的定义求得点 的坐标，最后写
出函数表达式即可.
【详解】
由三角函数的定义可得：当动点 在半径为2的上半圆上运动时， ，终边 对应的角度为 ，
所以 点坐标为 ，当动点 在半径为1的下半圆上运动时， ，终边 对应的角度为 ，
所以 点坐标为 ，
综上：动点 的纵坐标 关于时间 的函数表达式为 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，从而帮助解
题.
1．（2020·新疆高三三模（文））将函数 的图象向右平移 个单位，得到
的图象，再将 图象上的所有点的横坐标变成原来的 ，得到 的图象，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B． 是函数 图象的一个对称中心
C．函数 图象的一个对称轴方程为
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】D
【分析】
先利用二倍角公式和辅助角公式化简得出 ，再根据图像变换求出 解析式，即可根据正弦函数的性质依次判断每个选项.
【详解】
，
则 ，
则 ，
所以 的最小正周期为 ，故A错误；
，故 不是函数 图象的一个对称中心，故B错误；
，故 不是函数 图象的一个对称轴，故C错误；
当 时， ，此时 的单调递增，故D正确.
故选：D.
2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 ，点 为函数 图象
上的一个最高点，点 ， 为函数 的图象与 轴相邻的两个交点．若 周长的最小值为 ，
且将函数 的图象向右平移 个单位后所得函数的图象恰好关于原点对称，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意得到 ，从而得到 ，再根据平移以后关于原点对称，即可得
到答案.
【详解】由题意得， ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的图象关于原点对称，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
故选：D
3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 ( )的图象向左
平移 个单位长度后得到函数 的图象关于坐标原点对称，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
先根据二倍角公式以及辅助角公式化简 ，然后根据图象平移求解出 的解析式，最后根据 图
象关于原点对称，求得 关于 的等式，从而 的最小正值可求.
【详解】
∵
∴ .
又 的图象关于坐标原点对称，∴ ， ，
∴ ( )，
∴当 时， 取得最小值 ，故选：B.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 在 上的值域为
C．若 ，则 ，
D．将 的图象向右平移 个单位得 的图象
【答案】D
【分析】
先对函数化简得 ，然后利用三角函数的图像和性质逐个分析判断即可
【详解】
，令 ，则 ，故
，故A项错误，
当 时， ， ，故B项错误，
因为 的周期 ，所以若 ，则 ， ，故C项错误，
将 的图象向右平移 个单位得 的图象，故D项正确.
故选：D.
5．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）已知函数 的图象向右平移 个单位长度得 的图象，则下列关于函数 和 的说法正确的是（ ）
A．函数 与 有相同的周期
B．函数 的图象与函数 的图象的对称中心一定不同
C．若函数 的图象在 上至少可取到两次最大值1，则
D．若函数 的图象与直线 在 上恰有两个交点，则
【答案】ACD
【分析】
先求出 的解析式，再根据选项,逐项验证即可得出答案.
【详解】
本题考查三角函数的图象和性质．函数 的图象向右平移 个单位长度得
，所以函数 与 的周期都为 ，所以选项 正确；函数 的对称中心为
，函数 的对称中心为 ，当 时，对称中心可以相
同，所以选项 不正确；若函数 的图象在 上至少可取到两次最大值1，则 ，
解得 ，所以选项 正确 记 ，所以 函数 的图象与直线 右边最近两个交点横坐标为 和 ，左边最近两个交点横坐标为 和 ，令
，得 ，所以 ，所以 正确．
故选：ACD.
6．（2021·重庆高三三模）（多选题）定义在实数集 的函数
的图象的一个最高点为 ，与之相邻的一个对称中心为 ，将 的图象向右平移 个单位长
度得到函数 的图象，则（ ）
A． 的振幅为
B． 的频率为
C． 的单调递增区间为
D． 在 上只有一个零点
【答案】AD
【分析】
先根据余弦函数的图象和性质，求得 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数 的解析
式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
由题意，可得 ，所以 ，可得 ，
所以 ，所以函数 的振幅为3，故A正确；
函数 的频率为 ，故B错误；因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
所以 的单调递增区间为 ，而选项C只是其中一个单调递增区间，故C错误；
由 ，解得 ，
所以函数 在 上只有一个零点.
故选：AD
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数
的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键.
7．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）（多选题）函数 ( ， )的部分图
像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把函数 的图像向左平移 个单位，则所得图像对应的函数是奇函数
C．若把 的图像上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到图像对应的函数在 上是
增函数D． ，若 成立，则 的最小值为
【答案】AB
【分析】
由五点法求解析式可判断A；利用三角函数的平移变换原则即可判断B；利用三角函数的平移伸缩变换可判
断C；利用三角函数的单调性以及最值即可判断D.
【详解】
解析：由题图，知 ，
∴ ，∴ .∵ ，即 ，
∴ ( )，即 ( )，
∵ ，∴ ，∴ ，故A正确；
把 的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数解析式为 ，是奇
函数，故B正确：
把 的图像上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
得到图像对应的函数解析式为 ，∵ ，
∴ 在 上不是增函数，故C错误；
，令
， ，
所以 ，所以 的最小值为 ，故D错误.
故选：AB.8．（2021·全国高三其他模拟）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，
则 在区间 上的单调递减区间是 ___________.
【答案】
【分析】
先求出函数 的解析式，再求函数 在区间 上的单调递减区间．
【详解】
由题得 ,
因为 ，
因为 在 上单调递减，故由 ，得
所以 在区间 上的单调递减区间是
故答案为：
9．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知函数 （ ， ）的最小
正周期为 ，将 的图象向左平移 （ ）个单位长度，所得函数 为偶函数时，则 的
最小值是______．
【答案】
【分析】
由题意利用正弦函数的周期性求得 ，再利用函数 的图象变换规律求得 的解析式，
再利用三角函数的奇偶性，求得 的最小值．
【详解】
∵函数 （ ， ）的最小正周期为 ，∴ ， ．
将 的图象向左平移 （ ）个单位长度，所得函数 的图象，
由于得到的函数为偶函数，
∴ ， ，则 的最小值是 ，
故答案为： ．
10．（2021·山东高一期末）如图，一块边长为1的正方形区城 ，在 处有一个可转动的探照灯，
其照射角 始终为 ，记探照灯照射在正方形 内部区域（阴影部分）的面积为 ．若设
， ，则 的最大值为______．
【答案】
【分析】
利用 ，推出探照灯照射在正方形 内部区域的面积 ，利用基本不等式即可
求出面积的最大值．
【详解】
解：因为 ，所以 ，令 ，则 ，而 ，所以 ，
，当且仅当 时取等号，
所以S的最大值为 .
故答案为： .
11．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））将函数 图象上所有点向
右平移 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 的图象.
（1）求函数 的解析式及单调递增区间；
（2）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，
，且 ，求 的面积.
【答案】（1） ，单调递增区间 ；（2） .
【分析】
（1）化简 ，按照三角函数平移变换法则进行变换即可. （2）由
，可解出 的值，从而求出角 ，再由余弦定理求出 边，
三角形面积公式即可求出面积.
【详解】（1） ，
图象向右平移 个单位长度得到 的图象，
横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)得到 图象，所以 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为：
（2）由（1）知， ，
因为 ，
所以 ，且 ，
当 时， ， ，(舍去)
当 时， ， ，
此时由余弦定理可知， ，解得 ，
所以 .
12．（2021·浙江高三三模）已知函数 的图象与y轴的交点坐标为(0，1)
（1）求 的值；
（2）将 图象向左平移 个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，求函数 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意，得到 ，即可求解；
（2）由（1）知 ，根据三角函数的图象变换，求得 ，进而化简函
数 ，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 ，
可得 ，即 ，因为 ，所以 .
（2）由（1）可知，函数 ，
将 图象向左平移 个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标不变，可得 ，
所以
，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 .1．（2020·天津高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】
对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】
因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故选：B.
【点晴】
本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易
题.
2．（2019·天津高考真题（文））已知函数 是奇函数，将
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若
的最小正周期为 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
只需根据函数性质逐步得出 值即可．
【详解】
因为 为奇函数，∴ ；
又
， ，又
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 ．
3．（2018·天津高考真题（文））将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应
的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
【答案】A
【详解】
分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
详解：由函数 图象平移变换的性质可知：
将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足： ，即 ，
令 可得函数的一个单调递增区间为 ，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足： ，
即 ，
令 可得函数的一个单调递减区间为 ，选项C，D错误；
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算
求解能力.
4．（2017·全国高考真题（理））已知曲线C：y=cos x，C：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
1 2
A．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2
B．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2
C．把C上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2
D．把C上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2
【答案】D
【详解】
把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移
1
个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C，
2
故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以
也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇
函数 ；函数 是偶函数 ；函数
是奇函数 ；函数 是偶函数
.
5．（2016·全国高考真题（理））若将函数y=2sin2x的图像向左平移 个单位长度，则平移后图像的对
称轴为
A．x= （k∈Z）
B．x= （k∈Z）
C．x= （k∈Z）
D．x= （k∈Z）
【答案】B
【详解】
试题分析：由题意得，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，由
，得 ，即平移后的函数的对称轴方程为 ，故选B．
考点：三角函数的图象与性质．
【方法点晴】
本题主要考查了三角函数 的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数
的对称轴方程的求解，通过将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数的解析式
，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算
能力．6．（2019·北京高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点， 是
锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【分析】
由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.
【详解】
观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为 +S + S =4β+
△POB △POA
.
故选B.
【点睛】
本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难
度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.
7.（2015·湖南高考真题（理））将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数的图像，若对满足 的 ， ，有 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：向右平移 个单位后，得到 ，又∵ ，∴不妨
， ，∴ ，又∵ ，
∴ ，故选D.
考点：三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以
为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对
三
角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.
8．（2008·上海高考真题（理））某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含
边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h、h，且
1 2
两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），
在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ、θ，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
1 2
【答案】
【分析】先根据题意分别表示出 和 ,只要令 小于或等于椭圆的长轴即可.
【详解】
依题意， .
故答案为 .
本题主要考查了椭圆的应用.考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力
9．（2007·四川高考真题）下面有5个命题：
①函数 的最小正周期是 ．
②终边在 轴上的角的集合是 ．
③在同一坐标系中，函数 的图象和函数 的图象有3个公共点．
④把函数 的图象向右平移 得到 的图象．
⑤函数 在 上是减函数．
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
【答案】①④
【详解】
① ，正确；②错误；③ ， 和 在第一象限无
交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
10．（2017·山东高考真题（理））设函数 ，其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平
移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
【答案】(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知 及 可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而 .
根据 得到 ，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为 ，
所以
由题设知 ，
所以 ， .
故 ， ，又 ，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以 .
因为 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取得最小值 .
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公
式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角
的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
