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知识点 44：板块模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决板块问题的方法：
（1）动力学分析：分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；
从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由t＝＝，可求出共同速度v和所用时间t，
然后由位移公式可分别求出二者的位移．滑块、木板两者发生相对滑动的条件是摩擦力为
滑动摩擦力，二者加速度不相等。
（2）共速后板块的运动分析，假设两物体间无相对滑动，先用整体法求出一起运动的加速
度，再用隔离法求出滑块“所需要”的摩擦力 F，比较F 与最大静摩擦力F 的关系，若
f f fm
F>F ，则发生相对滑动。
f fm
（3）功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．如图
所示，要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x ；
滑
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x ；
板
③求摩擦生热时用Q＝Fl ，l 为相对滑动的板块间相对滑动路径的总长度．
f 相对 相对
（4）位移关系
滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移
大小和木板的位移大小之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位
移大小和木板的位移大小之和等于木板的长度。
考点一：板块模型在水平面运动的力与能量问题
题型一：板块在光滑水平面运动模型
类型一：无外力模型
【典例1a基础题】质量为M的长木板放在光滑的水平面上，如图所示，一质量为 m的滑
块以某一速度沿木板表面从A点滑到B点，在木板上前进的距离为L，而长木板前进的距
离为l，若滑块与木板间动摩擦因数为 ，则（ ）
A．摩擦力对滑块所做的功为
B．摩擦力对木板所做的功为
C．滑块损失的动能为
D．滑块和木板系统损失的动能为
1
学科网（北京）股份有限公司【典例1a基础题】【答案】D
【解析】摩擦力对滑块所做的功为 ，故A错误；摩擦力对木板所做的功
为 ，故B错误；根据动能定理可知，滑块损失的动能等于滑块克服摩擦力所做
的功，即 ，故C错误；根据能量守恒定律可知滑块和木板系统损
失的动能等于系统产生的摩擦热，即 ，故D正确。故选D。
【典例1a基础题对应练习】(多选)第一次将一长木板静止放在光滑水平面上，如图甲所示，
一小铅块(可视为质点)以水平初速度v由木板左端向右滑动，到达右端时恰能与木板保持
0
相对静止．第二次将长木板分成A、B两块，使B的长度和质量均为A 的2倍，并紧挨着
放在原水平面上，让小铅块仍以初速度v由A的左端开始向右滑动，如图乙所示．若小铅
0
块相对滑动过程中所受的摩擦力始终不变，则下列说法正确的( )
A．小铅块将从B的右端飞离木板
B．小铅块滑到B的右端前已与B保持相对静止
C．第一次和第二次过程中产生的热量相等
D．第一次过程中产生的热量大于第二次过程中产生的热量
【典例1a基础题对应练习】【答案】BD
【解析】在第一次小铅块运动过程中，小铅块与木板之间的摩擦力使整个木板一直加速，
第二次小铅块先使整个木板加速，当小铅块运动到 B上后A停止加速，只有B加速，加速
度大于第一次的对应过程，故第二次小铅块与B将更早共速，所以小铅块还没有运动到B
的右端，二者就已共速，A错误，B正确；由于第一次的相对路程大于第二次的相对路程，
则第一次过程中产生的热量大于第二次过程中产生的热量，C错误，D正确．
类型二：外力拉滑块模型
【典例1b基础题】(多选)如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑的水平面上．
质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端．现用一水平恒力F作用在小物块上，
使小物块从静止开始做匀加速直线运动．小物块和小车之间的摩擦力大小为 F，小物块滑
f
到小车的最右端时，小车运动的距离为x，在这个过程中，以下结论正确的是( )
2
学科网（北京）股份有限公司A．小物块到达小车最右端时具有的动能为F(L＋x)
B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Fx
f
C．摩擦力对小物块所做的功为F(L＋x)
f
D．小物块在小车上滑行过程中，系统产生的内能为FL
f
【典例1b基础题】【答案】BCD
【解析】对物块分析，物块对地的位移为L＋x，根据动能定理得(F－F)(L＋x)＝E －0，
f k物
则物块到达小车最右端时具有的动能E ＝(F－F)(L＋x)，故A错误；对小车分析，小车
k物 f
对地的位移为x，根据动能定理得Fx＝E －0，则物块到达小车最右端时，小车具有的动
f k车
能E ＝Fx，故B正确；摩擦力对小物块所做的功为F(L＋x)，故C正确；系统产生的内
k车 f f
能等于系统克服摩擦力做的功，即物块与小车增加的内能Q＝Fx ＝FL，故D正确．
f 相对 f
类型三：外力拉长木板模型
【典例1c基础题】如图所示，一足够长的木板在光滑的水平面上以速度v向右匀速运动，
现将质量为m的物体轻轻地放置在木板上的右端，已知物体和木板之间的动摩擦因数为
μ，为保持木板的速度不变，从物体放到木板上到物体相对木板静止的过程中，须对木板施
一水平向右的作用力F，则力F对木板所做的功为( )
A． B．
C．mv2 D．2mv2
【典例1c基础题】【答案】C
【解析】由能量转化和守恒定律可知，力F对木板所做的功W一部分转化为物体的动能，
一部分转化为系统内能，故W＝mv2＋μmgx ，x ＝vt－t，a＝μg，v＝at，联立以上各式
相 相
可得W＝mv2，故选项C正确．
【典例1c基础题对应练习】(多选)如图所示，质量m＝2 kg的物块A叠放在质量M＝4 kg
足够长的木板B上，木板B的右端通过细绳与电动机连接，t＝0时在电动机带动下A、B
一起由静止向右做加速度为1 m/s2的匀加速运动，经2 s绳突然断裂，不考虑绳断对物体
速度影响，已知A、B间的动摩擦因数为μ＝0.2，木板B与地面间的动摩擦因数为μ＝
1 2
0.4.则下列说法正确的是( )
3
学科网（北京）股份有限公司A. t＝1 s时电动机输出功率为30 W
B. 绳断后木板B减速过程中的加速度大小为7 m/s2
C. 为使物块A不从木板上落下，开始运动时物块A距木板右端距离最小值为0.6 m
D. 该过程中绳的拉力做的总功为15 J
【典例1c基础题对应练习】【答案】AC
【解析】对A、B运动的前2 s，由牛顿第二定律得F－μ(M＋m)g＝(M＋m)a，解得F＝30
2
N，1 s末A、B的速度v＝at＝1 m/s，则运动1 s时电动机输出功率为P＝Fv ＝30 W，A
1 1 1
正确；2 s后，对物块A分析，由牛顿第二定律得a＝μg＝2 m/s2，对木板B分析，μ(M＋
1 1 2
m)g－μmg＝Ma，解得a＝5 m/s2，B错误；2 s末绳断时A、B速度v＝at＝2 m/s，之后
1 2 2
A、B运动的总位移分别为x ＝ ＝1 m，x ＝ ＝0.4 m，所以Δx＝x －x ＝0.6 m，C正
A B A B
确；该过程中绳的拉力做的总功W＝F· at2＝60 J，D错误．
题型二：板块在粗糙水平面运动模型
类型一：无外力模型
【典例2a基础题】（多选）如图甲所示，一长木板静止在水平地面上，在t＝0时刻，一
小物块以一定速度从左端滑上长木板，之后长木板运动的v－t图像如图乙所示，已知小物
块与长木板的质量均为m＝1 kg，已知木板足够长，g取10 m/s2，则( )
A．小物块与长木板间动摩擦因数μ＝0.5
B．在整个运动过程中，物块与木板构成的系统所产生的热量70 J
C．小物块的初速度为v＝12 m/s
0
D．0～2 s与2～3 s物块和木板构成的系统机械能减少量之比为17∶1
【典例2a基础题】【答案】ACD
【解析】由题图乙可知，木板先做匀加速运动，再做匀减速运动，故可知地面对木板有摩
擦力，在0～2 s内，木板受物块向右的摩擦力和地面向左的摩擦力而做匀加速运动，加速
度为a＝＝ m/s2＝1 m/s2.对木板，根据牛顿第二定律，有F －F ＝ma ，F ＝μmg，在2～
1 f1 f2 1 f1
3 s内，木板与物块相对静止，受地面摩擦力做匀减速运动，加速度为a ＝＝ m/s2＝－2
2
m/s2，即加速度大小为2 m/s2，方向向左，对整体，根据牛顿第二定律，有F ＝2ma ＝4
f2 2
4
学科网（北京）股份有限公司N，联立以上各式，解得μ＝0.5，故A正确；对物块，在0～2 s内，受木板的摩擦力作用
而做匀减速运动，由牛顿第二定律，有μmg＝ma，解得a＝5 m/s2，由v＝v －at可得v ＝v
0 0
＋at＝2 m/s＋5×2 m/s＝12 m/s，故C正确；最后木板与物块均静止，故在整个运动过程中，
物块与木板构成的系统所产生的热量等于物块的初动能，即Q＝mv 2＝×1×122 J＝72 J,2 s～
0
3 s物块和木板一起减速，系统的机械能减少Q＝·2mv2＝4 J，故0～2 s系统机械能减少72
J－4 J＝68 J，则0～2 s与2～3 s系统机械能减少量之比为17∶1，故B错误，D正确．
类型二：外力拉板模型
【典例2b基础题】如图所示,木板静止于水平地面上,在其最右端放一可视为质点的木块.
已知木块的质量m=1 kg,木板的质量M=4 kg,长L=2.5 m,上表面光滑,下表面与地面之间的动
摩擦因数μ=0.2.现用水平恒力F=20 N拉木板,重力加速度g取10 m/s2.
(1)求木板的加速度大小.
(2)要使木块能滑离木板,求水平恒力F作用的最短时间.
(3)如果其他条件不变,假设木板的上表面也粗糙,其上表面与木块间的动摩擦因数为
μ=0.3,欲使木板能从木块的下方抽出,对木板施加的恒力F应满足什么条件?
1
(4)接(3)问,若木板的长度、木块质量、木板的上表面与木块间的动摩擦因数、木板与地面
间的动摩擦因数都不变,只将水平恒力F增大为30 N,则木块滑离木板需要多长时间?
【典例2b基础题】【答案】(1)2.5 m/s2 (2)1 s (3)F>25 N (4)2 s
【解析】(1)木板受到的摩擦力F=μ(M+m)g=10 N，木板的加速度大小a==2.5 m/s2.
f
(2)设拉力F作用时间t后撤去,F撤去后,木板的加速度为a'=-=-2.5 m/s2,所以|a'|=a木
板先做匀加速运动,后做匀减速运动,且时间相等,故at2=L，解得t=1 s,即F作用的最短时间
为1 s.
(3)设木块的最大加速度为a ,木板的最大加速度为a ,则由牛顿第二定律有μmg=ma ，
木块 木板 1 木块
解得a =μ g=3 m/s2，对木板,由牛顿第二定律有F-μmg-μ(M+m)g=Ma ，木板能从木块
木块 1 1 木板
的下方抽出的条件为a >a ，解得F>25 N.
木板 木块
(4)木块的加速度大小a' =μ g=3 m/s2，木板的加速度大小a' ==4.25 m/s2，木块滑离木板
木块 1 木板
时,两者的位移关系为x -x =L,即a' t'2-a' t'2=L，解得t'=2 s.
木板 木块 木板 木块
【典例2b基础题对应练习】如图所示，质量为M＝2 kg、左端带有挡板的长木板放在水平
面上，板上贴近挡板处放有一质量为m＝1 kg的物块，现用一水平向右、大小为9 N的拉
力F拉长木板，使物块和长木板一起做匀加速运动，物块与长木板间的动摩擦因数为μ＝
1
5
学科网（北京）股份有限公司0.1，长木板与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.2，运动一段时间后撤去F，最后物块恰好
2
能运动到长木板的右端，木板长L＝4.8 m，物块可看成质点，不计挡板的厚度，设最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，求：
(1)小物块开始运动时的加速度大小；
(2)拉力F作用的时间；
(3)整个过程因摩擦产生的热量．
【典例2b基础题对应练习】【答案】(1)1 m/s2 (2)4 s (3)72 J
【解析】(1)小物块开始运动时的加速度与整体的加速度相同，对整体，由牛顿第二定律有
F－μ(M＋m)g＝(M＋m)a，解得a＝1 m/s2
2 1 1
(2)设拉力F作用的时间为t，撤去拉力时长木板和物块的速度为v＝at，撤去拉力后，如
1 11
果物块和长木板一起做匀减速运动，则匀减速运动的加速度大小为a＝μg＝2 m/s2，物块
2
要维持2 m/s2的加速度需要的外力大小为2 N，而长木板对物块的最大静摩擦力等于F ＝
f1
μmg＝1 N<2 N，因此物块不可能和长木板一起做匀减速运动，物块与长木板发生相对滑
1
动，长木板的加速度满足μ(M＋m)g－μmg＝Ma，可得a＝2.5 m/s2，小物块的加速度a
2 1 2 2 3
＝μg＝1 m/s2， － ＝L，解得t＝4 s
1 1
(3)根据功能关系可知，整个过程因摩擦产生的热量等于拉力F做的功，即Q＝Fx ，x＝
1 1
at2，可得Q＝72 J.
11
类型三：外力拉滑块模型
【典例2c基础题】如图所示，滑块A和足够长的木板B叠放在水平地面上，A和B之间的
动摩擦因数是B和地面之间的动摩擦因数的4倍，A和B的质量均为m。现对A施加一水
平向右逐渐增大的力F，当F增大到F 时A开始运动，之后力F按图乙所示的规律继续增
0
大，图乙中的x为A运动的位移，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。对两物块的运动过
程，以下说法正确的是（ ）
6
学科网（北京）股份有限公司A．当F＞2F ，木块A和木板B开始相对滑动
0
B．当F＞F ，木块A和木板B开始相对滑动
0
C．自x=0至木板x=x 木板B对A做功大小为
0
D．x=x 时，木板B的速度大小为
0
【典例2c基础题】【答案】D
【解析】设A、B之间的最大摩擦力为 ，B与地面之间的最大摩擦力为 ，由于最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，则 ，可知，当F增大到F ，A开
0
始运动时，B也和A一起滑动。则 ，当A、B发生相对滑动时，A、B之间
的摩擦力达到最大静摩擦力，整体隔离法得 ， ，联立解得 ，
故AB错误；木板自x=0至x=x 过程中，A、B没有发生相对滑动，整体动能定理得
0
对A用动能定理，得
联立解得 ， ，故C错误，D正确。
考点二：板块模型在斜面运动的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决板块在斜面运动的方法：
（1）注意判断当滑块与滑板同速时，滑块重力沿斜面方向的分力与滑块受到的最大静摩擦
力的大小关系，从而得出滑块能否与滑板以相同的加速度共同运动。
（2）当过程比较多时可以借助vt图像，从图像中找到时间与空间的关系，是解决问题的
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学科网（北京）股份有限公司有效手段。
（3）使滑块不从木板的末端掉下来的临界条件是滑块到达木板末端时的速度与木板的速度
恰好相同．
（4）无初速度下滑类(如图)
假设法判断是否发生相对滑动
①μ<μ(上面比下面粗糙)，则不会相对滑动．用极限法，μ 无限大或斜面光滑，一起匀加
2 1 1
速运动．
②μ>μ(下面比上面粗糙)，则会相对滑动．
2 1
（5）加外力下滑类(如图)
对m分析，加速度范围gsin θ－μgcos θ
