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考向 21 三角恒等变换
1．（2021·浙江高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，
大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不可能均大
于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】
思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三
角变换的公式特征选择放缩的方向.
2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，
现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C
点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面
的高度差 约为（ ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案．【详解】
过 作 ，过 作 ，
故 ，
由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ．
所以 ．
因为 ，所以
在 中，由正弦定理得：
，
而 ，
所以
所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题关键点在于如何正确将 的长度通过作辅助线的方式转化为 ．
1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊
角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊
角的三角函数，从而得解.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是 ，则选正、余弦皆可；若角的
范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为 ，则选正弦较好.
4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋
φ)＋t的形式．
（2）利用公式 求周期．
（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求
最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单
调区间．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1） ：（2） ：
（3） ：
（4） ：
（5） ：
（6） ：
2．二倍角公式
（1） ：
（2） ：
（3） ：
3．公式的常用变形
（1） ；
（2）降幂公式： ； ；
（3）升幂公式： ； ； ；
（4）辅助角公式： ，其中 ，
【知识拓展】
1.三角函数式的化简口诀：（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角（4）降幂或升幂．
2.角的关系：
（1）已知角表示未知角
例如： ， ，
， ，
， .
（2）互余与互补关系
例如： ， .
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.
1．（2021·全国（理））若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）（多选题）为了得到函数 的图象，
可以将函数 的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向右平移
个单位3．（2021·全国高三其他模拟（文））若 是区间 上的单调函数，则正数 的最大
值是___________.
4．（2021·陕西西安中学高三其他模拟（理））在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已
知 ，则 的最小值为_______．
1．（2021·河南高二其他模拟（理））已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2021·全国高三其他模拟（文）） （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代
称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八
角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个
八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 ，它
的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2021·全国高三其他模拟（文））函数 ，若不等式 对
恒成立，则 的最小正值为（ ）A． B． C． D．
6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））若 ，则 ___________.
7．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）已知 ，则
__________________．
8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知 ， 为锐角，且 ，则
的最大值是___________.
9．（2021·上海高三其他模拟）设函数 和函数 的图象的公共点的横坐
标从小到大依次为 ， ，…， ，若 ，则 ___________.
10．（2021·浙江高三其他模拟）已知 = ，且 ，则 __________；
__________．
11．（2021·全国高三其他模拟）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并求 的值及 的面积．
问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，
______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
12．（2021·全国高三其他模拟）在① 是函数 图象的一条对称轴，② 是函数 的一个零
点，③函数 在 上单调递增，且 的最大值为 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数 ，__________，求 在 上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1．（2017·山东高考真题（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2016·山东高考真题（理））函数 的最小正周期是（ ）
A． B．π C． D．2π
3．（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
4．（2020·全国高考真题（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2019·全国高考真题（文））已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
6．（2021·全国高考真题）（多选题
）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（
）A． B．
C． D．
7．（2020·北京高考真题）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．
8．（2020·江苏高考真题）已知 = ，则 的值是____.
9．（2020·浙江高考真题）已知 ，则 ________； ______．
10．（2013·湖南高考真题（理））已知函数 ．
（I）若 是第一象限角，且 ．求 的值；
（II）求使 成立的x的取值集合．
1．【答案】C
【分析】
根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果.
【详解】
由 知， ，或 ，
则 ，
由 知， ，或 ，
则 ，，
则
故选：C
2．【答案】BC
【分析】
由函数解析式应用辅助角公式化简，结合左加右减的原则，即可判断平移变换的过程.
【详解】
，
，
∴ 向左平移 个单位或向右平移 个单位得到 .
故选：BC
3．【答案】
【分析】
先由辅助角公式可得 ，根据题意可得 ，由 的单调性，所
以只要 即可得解.
【详解】
，
由 且 ，
所以 ，
因为 在 上为增函数，
所以 ，可得 ，所以正数 的最大值是 .
故答案为： .
4．【答案】
【分析】
化简已知得 ，所以 ，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：由题意可知， ，
化简得 ，
所以 ．
根据正弦定理： ，可得 ①．
，由①可得 ，
所以 ，
当 时，等号成立．所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
方法点睛：最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本
不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
1．【答案】A
【分析】根据二倍角公式可得 ，求出 ，再根据同角三角函数的平方关系可求出答
案．
【详解】
解：由题可知 ，即 ，
，
，
，
，
故选：A．
2．【答案】C
【分析】
利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】
解：因为 ，所以
故选：C
3．【答案】A
【分析】
由和的正切公式即可求出.
【详解】
.故选：A.
4．【答案】A
【分析】
分别用 和 表示出 的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构特征求出底面内切圆
的半径与边长的关系，即可求出结果．
【详解】
设 为正八棱锥 底面内切圆的圆心，连接 ， ，
取 的中点 ，连接 、 ，则 是底面内切圆半径 ，如图所示：
设侧棱长为 ，底面边长为 ，
由题意知 ， ，则 ，解得 ；
由底面为正八边形，其内切圆半径 是底面中心 到各边的距离，
中， ，所以 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为 ．
故选:A．
5．【答案】D
【分析】
由诱导公式及二倍角公式可得 转化条件为 是函数 的最小值，由正弦函数的性质即可得解.
【详解】
由题意，
不等式 对 恒成立， 是函数 的最小值，
当 时， 的最小正值为 ．
故选：D.
6．【答案】
【分析】
先利用两角差的余弦公式展开 ，可得 ，两边平方即可求出 的值．
【详解】
因为 ，
两边平方，得 ，解得 .
故答案为： ．
7．【答案】
【分析】
由余弦的二倍角公式结合诱导公式即可得解.
【详解】
∵ ，∴ ，∴ ．
故答案为： ．
8．【答案】
【分析】
由 可得 ，两边同除以 ，化
简得 ，所以 ，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
两边同除以 ，得
，
所以 ，
所以，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值是 ，
故答案为：
9．【答案】
【分析】
利用余弦方程，解出 的值，然后得到 ， ，代入 ，利用正切的两角差公式
求出 的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可.
【详解】
因为 ，
则有 或 ， ， ，
解得 或 ， ， ，
又函数 和函数 的图象的公共点的横坐标从小到大依次为 ， ，…， ，
所以 ， ， ， ， ， ，…，
故 ， ，
所以 ，即 ，
则 ，解得 ，
故 .
故答案为： .10．【答案】
【分析】
求出 的范围可得 ，利用 可得
；利用
可得第二空的答案.
【详解】
因为 ，所以 ，由 = ，
所以 ，所以
；
.
故答案为：① ；② .
11．【答案】选择见解析； ； 的面积为 ．
【分析】
利用正弦定理对题中条件变形处理，可得到 ， ，再对角 用余弦定理可推出 ，然后对于
所给的条件①、②、③均可快速求出边 ， ，再利用公式 求 的面积.【详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以
又 ，
所以 ，
所以 ，
(1) 若选择① ，与 及 联立，
解得 ， ，
所以 的面积 ．
(2) 若选择② ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 的面积 ．(3) 若选择③ ，与 联立，
得 ， ，
所以 的面积 ．
12．【答案】选择见解析；单调递减区间为 ， ．
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ，
若选①，利用正弦函数的对称性可得 ， ，得 ， ，又 ，可得
，可求 ；
若选②，由题意可得 ，可得 ， ，又 ，可得 ，可求
；
若选③，可求 ，可得 ，可得 ，
利用正弦函数的单调性，结合 ，即可求解 在 ， 上的单调递减区间．
【详解】
解：
．
①若 是函数 图象的一条对称轴，则 ， ，即 ， ，
得 ， ，
又 ，∴当 时， ， ．
②若 是函数 的一个零点，
则 ，即 ， ，
得 ， ．
又 ，∴当 时， ，所以， ．
③若 在 上单调递增，且 的最大值为 ．
则 ，故 ，所以 ．
由 ， ，
得 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
又 ，
所以 在 上的单调递减区间为 ， ．
1．【答案】D
【分析】
根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.【详解】
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
2．【答案】B
【分析】
因为 ，根据辅助角公式可化简为 ，
根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.
【详解】
,
故最小正周期 ,
故选：B.
【点睛】
本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可
谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好
地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.
3．【答案】D
【分析】
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】
， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
4．【答案】B
【分析】
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】
由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
5．【答案】B
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】
， ．
，又 ， ，又 ， ，
故选B．
【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确
性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切
记不能凭感觉．6．【答案】AC
【分析】
A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用
向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
7．【答案】 （ 均可）
【分析】
根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 ，可得
，即可解出.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .
故答案为： （ 均可）.
【点睛】
本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，
属于基础题.
8．【答案】
【分析】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【答案】
【分析】
利用二倍角余弦公式以及弦化切得 ，根据两角差正切公式得
【详解】
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．【答案】（I） （II）
【解析】
试题分析：该题属于三角函数的综合问题，在解题的过程中，第一问需要先化简函数解析式，在化简的过
程中，应用正余弦的差角公式，化简后利用 ，从而求得 ，根据 是第一象限角，从而
确定出 ，利用倍角公式建立起 所满足的等量关系式，从而求得结果，第二问将相应的函数
解析式代入不等式，化简后得到 ，结合正弦函数的性质，可以求得结果．
试题解析：（1） ，求得
，根据 是第一象限角，所以 ，且 ；
（2）
．
考点：正余弦差角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，倍角公式，三角不等式．
