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专题 08 线段上动点问题的三种考法
类型一、求值问题
例.数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n ，点C在B的右侧， ．
(1)如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与
A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，线段 的长度是否发生变化，请
判断并说明理由；
(3)若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若 ，试求线段 的长．
【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出
发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移
动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．
【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s
的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．【变式训练3】如图，数轴上有两点 ，点C从原点O出发，以每秒 的速度在线段 上运动，点
D从点B出发，以每秒 的速度在线段 上运动．在运动过程中满足 ，若点M为直线
上一点，且 ，则 的值为_______．
类型二、证明定值问题
例.如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动（点 在点 的左侧，点 在点 的
左侧），若 ．
（1）求线段 ， 的长；
（2）若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长；
（3）当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点，下列两个结论：
① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且
m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是
线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若
是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式训练2】如图，数轴上点 ， 表示的有理数分别为 ，3，点 是射线 上的一个动点（不与点
， 重合）， 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点．
（1）若点 表示的有理数是0，那么 的长为________；若点 表示的有理数是6，那么 的长为
________；
（2）点 在射线 上运动（不与点 ， 重合）的过程中， 的长是否发生改变？若不改变，请写出
求 的长的过程；若改变，请说明理由．【变式训练3】(1)如图1，在直线 上，点 在 、 两点之间，点 为线段PB的中点，点 为线段
的中点，若 ，且使关于 的方程 无解.
①求线段 的长；
②线段 的长与点 在线段 上的位置有关吗？请说明理由；
(2)如图2，点 为线段 的中点，点 在线段 的延长线上，试说明 的值不变.
类型三、数量关系
例.数轴上 两点对应的数分别是 ，线段 在数轴上运动，点 在点 的左边，且 点
是 的中点．
（1）如图1，当线段 运动到点 均在 之间时，若 ，则 _________，点 对应的数为________， ________；
（2）如图2，当线段 运动到点 在 之间时，画出草图并求 与 的数量关系．
【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝ AB．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出 ＝ _______；
（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运
动．
①当点D在线段AB上运动，求 的值；
②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的
三等分点时，求MN的长．
【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式 ，则 ＝ ．
课后作业
1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负
整数左侧1个单位长度，BC=2AB．
（1）填空：a= ，b= ，c=
（2）点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4
个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问：
①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？
②F在追上E点前，是否存在常数k，使得 的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请
求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．
2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．若 ， ，
线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．
3.已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．
(1)若 ， ，求线段CD的长．
(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．
4.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线
BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
5．如图，在数轴上 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 是最大的负整数，且 ，
满足 ．点 从点 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点 后立刻返回到点，到达点 后再返回到点 并停止．
（1） ________， ________， ________．
（2）点 从点 离开后，在点 第二次到达点 的过程中，经过 秒钟， ，求 的值．
（3）点 从点 出发的同时，数轴上的动点 ， 分别从点 和点 同时出发，相向而行，速度分别为
每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设 秒钟时， 、 、 三点中恰好有一个点是另外两个点的
中点，请直接写出所有满足条件的 的值．
6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.
（1）发现：
如图1，线段 ，点 在线段 上，当点 是线段 和线段 的中点时，线段 的长为
_________；若点 在线段 的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到
的线段 与线段 之间的数量关系为_________.
（2）应用：
如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳 ，其左右两端各有一段（ 和 ）磨损了，磨损后的麻绳
不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳 和一把剪刀（剪刀只用于
剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳 . 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应
用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳 ，请你尝试着“复原”他们的做法：
①在图中标出点 、点 的位置，并简述画图方法；
②请说明①题中所标示 点的理由.7．问题背景
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、
有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．
(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数
为 （直接写出答案）．
(2)当x＝1时，代数式a +bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a +bx+2021的值．
(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求 的值；
②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、
Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时 的值．
8．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的
速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
9．如图，数轴正半轴上的 ， 两点分别表示有理数 ， ， 为原点，若 ，线段 .（1） ______， ______；
（2）若点 从点 出发，以每秒2个单位长度向 轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点 到点 的距
离是点 到点 距离的3倍；
（3）数轴上还有一点 表示的数为32，若点 和点 同时从点 和点 出发，分别以每秒2个单位长度和
每秒1个单位长度的速度向 点运动， 点到达 点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点 ，求点
和点 运动多少秒时， 、 两点之间的距离为4.
10．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，
请说明理由．
(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每
分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.（直
接写出答案）
11．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左
运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求 的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有 ，此时C点停止运动，D点继续运动（D
点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；② 的值不变，
可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
