文档内容
专题22 平行线中的动态问题压轴题（原卷版）
类型一 动点问题
1．（2022春•安乡县期末）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝132°，求∠APC的度数．小颖同学的解题思路是：如
图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答；
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠ ．
∠BCP＝∠ ，试判断∠CPD，∠ ，∠ 之间有何数量关系？请说明理由；
α
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜
β α β
想∠CPD，∠ ，∠ 之间的数量关系，并画出相应的图形说明理由．
α β
❑ ❑
2．（2022 春•房山区期末）如图，由线段 AB，AM，CM，CD 组成的图形像∑ ，称为“∑ 形
❑ ❑
BAMCD”．
❑
（1）如图1，∑ 形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝ °；
❑
❑
（2）如图2，连接∑ 形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝ ，试猜想∠BAM
❑
与∠MCD的数量关系，并说明理由； α
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出
∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．3．（2022春•武汉期末）已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．
（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．
（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当
∠GFH
∠AEG＝4∠AEH时，求 的值．
∠CFG
（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，
若∠PEN＝ （0°＜ ＜90°），请直接写出∠EMF＝ （结果用含 的式子表示）．
α α α
4．（2020春•马山县期末）如图，已知 AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点 A不重
合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN．
（1）求∠ABN的度数．
（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数．若变化，请写出
变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．类型二 动线问题
5．（2022春•盐都区月考）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例
如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝ ．
（1）如图①，若 ＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
α
（2）如图②，若90°＜ ＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝ ．探索 与 的数量关
α
系，并说明理由．
α β α β
（3）如图③，若 ＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线EF与镜面
AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且
α γ γ
n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出 的度数．（可用含有m的代数
式表示）
γ
6．（2021春•南湖区校级期中）为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图 1所示灯A
射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯
不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行
的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2．
（1）填空：∠BAN＝ ．
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ
于点D，且∠ACD＝126°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不
变，请求出其数量关系，若改变，请说明理由．类型三 三角板（三角形）旋转问题
7．（2022春•义乌市校级月考）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝
30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋
转角∠CAE＝ （0°＜ ≤90°）．
（1）当 为 度时，AD∥BC；
α α
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
α
（3）若旋转角∠CAE＝ 的范围改为0°＜ ＜180°．当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC
的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
α α
8．（2022•苏州模拟）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C按如图方式叠放在一起（其中，
∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°：
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请
直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由．9．（2022春•朝阳区校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过
点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．
（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系： ．
1
（2）若∠BEF= ∠BAK，求∠AHE．
2
（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE
边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出
此时t的值．
类型三 三角板（图形）平移问题
10．（2022春•海淀区校级期中）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝
（0°＜ ＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、
α
CD上，且在点C、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
α
（1）填空；∠PNB+∠PMD ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求 的度数；
②小安将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，点N、M分别在直线AB和直线CD上移
α
动，请直接写出∠MON的度数（用含 的式子表示）．
α
11．（2022•沈丘期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点
E，则∠CEN＝ °．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好
平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 °
时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）
12．（2007•日照）如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，
与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
（Ⅰ）求证：AF＝EC；
（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的
下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．
（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；
（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为
平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？
