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专题22 平行线中的动态问题压轴题（解析版）
类型一 动点问题
1．（2022春•安乡县期末）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝132°，求∠APC的度数．小颖同学的解题思路是：如
图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答；
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠ ．
∠BCP＝∠ ，试判断∠CPD，∠ ，∠ 之间有何数量关系？请说明理由； α
（3）在（2β）的条件下，如果点Pα在A、β B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜
想∠CPD，∠ ，∠ 之间的数量关系，并画出相应的图形说明理由．
α β
思路引领：（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝100°．
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠ ＝∠DPE，∠ ＝
∠CPE，即可得出答案； α β
（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的
性质得出∠ ＝∠DPE，∠ ＝∠CPE，即可得出答案．
解：（1）过αP作PE∥AB，β如图2：
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣128°＝52°，∠CPE＝180°﹣∠PCD＝180°﹣132°＝48°，
∴∠APC＝52°+48°＝100°；
（2）∠CPD＝∠ +∠ ，理由如下：
α β如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ ＝∠DPE，∠ ＝∠CPE，
∴∠αCPD＝∠DPE+∠β CPE＝∠ +∠ ；
（3）当P在BA延长线时，∠CαPD＝β∠ ﹣∠ ；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于βE， α
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ ＝∠DPE，∠ ＝∠CPE，
∴∠αCPD＝∠CPE﹣β∠DPE＝∠ ﹣∠ ；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α．
理由：如图5，过P作PE∥AD交α CDβ于E，∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ ＝∠DPE，∠ ＝∠CPE，
∴∠αCPD＝∠DPE﹣β∠CPE＝∠ ﹣∠ ．
综上所述，∠CPD，∠ ，∠ 之α间的数β 量关系为：∠CPD＝∠ ﹣∠ 或∠CPD＝∠ ﹣∠ ．
总结提升：本题考查了α平行线β的性质和判定的应用，主要考查学β生的α推理能力，解决α问题的β关键是作辅
助线构造内错角以及同旁内角．
❑ ❑
2．（2022 春•房山区期末）如图，由线段 AB，AM，CM，CD 组成的图形像∑ ，称为“∑ 形
❑ ❑
BAMCD”．
❑
（1）如图1，∑ 形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝ 6 0 °；
❑
❑
（2）如图2，连接∑ 形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝ ，试猜想∠BAM
❑
α
与∠MCD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出
∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．
思路引领：（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；
（2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，结合（1）的结论可求解；
（3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形
外角的性质可分别计算求解．
解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°，
故答案为：60°；
（2）∠BAM+∠MCD＝ +20°．
理由：过A点作AP∥CDα交BD于点P，
∴∠APB＝∠D，
∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°，
∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°，
由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD，
∵∠AMC＝ ，
∴∠PAM+∠αMCD＝ ，
∴∠BAM+∠MCD＝α+20°；
（3）如图，当D，Cα位于AM两侧时，∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，
∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，
∵∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝ ，
∴ ＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠αBAM﹣∠MCD﹣20°，
即α∠BAM﹣∠MCD＝ +20°；
当D，C位于AM同侧α时，
∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，
∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，
∵∠AMO＝∠B+∠BAM，∠CMO＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝ ，
∴ ＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠αMCD﹣∠BAM+20°，
即α∠MCD﹣∠BAM＝ ﹣20°．
综上，∠BAM﹣∠MCαD＝ +20°或∠MCD﹣∠BAM＝ ﹣20°．
总结提升：本题主要考查平α行线的性质，三角形外角的α 性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质
是解题的关键．
3．（2022春•武汉期末）已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．
（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当
∠GFH
∠AEG＝4∠AEH时，求 的值．
∠CFG
（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，
若∠PEN＝ （0°＜ ＜90°），请直接写出∠EMF＝ 2 或 18 0 ﹣ 2 （结果用含 的式子表示）．
α α α α α
思路引领：（1）过点P作GH∥AB，根据AB∥CD，可得GH∥CD．所以∠EPF＝∠AEP+∠CFP，然
后根据EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，可得∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，进而可以解决问
题；
（2）过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，然后根据平行线的性质即可解决问题；
（3）由题意可得EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，所以∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，然后利用
三角形内角和定理即可解决问题．
解：（1）如图1，过点P作GH∥AB，
∴∠EPH＝∠AEP．
∵AB∥CD，
∴GH∥CD．
∴∠FPH＝∠CFP．
∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP．即：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，
∵EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，
∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，
∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，
∴∠AEG+∠CFG＝90°，
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝90°；
（2）如图2，过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，
∵AB∥CD，
∴GK∥CD，HL∥CD，
∴∠AEH＝∠EHL．∠CFH＝∠LHF．∠AEG＝∠EGK．∠CFG＝∠FGK．
∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°，
∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF），
∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC），
∵∠AEG＝4∠AEH，
∴∠CFG＝4∠HFC，
∠GFH 3
∴ = ；
∠CFG 4
（3）如图3，
由题意可知：EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，
∴∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，
∵∠EPF＝∠FEP+∠EFP＝90°，∠PEN＝
∴∠PEN+∠FEN+∠EFP＝ +∠FEN+∠EFαP＝ +∠MEN+∠CFP＝90°，
∵∠ENM＝∠FEN+∠EFN＝α∠FEN+∠EFP+∠αCFP，
在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN＝180°，∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN＝180°，
∴∠EMN＝180°﹣（∠MEN+∠CFP）﹣（∠FEN+∠EFP），
∴∠EMF＝∠EMN＝180°﹣（90°﹣ ）﹣（90°﹣ ）＝2 ．
当M在F点右侧时，∠EMF＝180﹣α2 ． α α
故答案为：2 或180﹣2 ． α
总结提升：本α题主要考查α了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角或同位角，利用平行
线的性质以及角的和差关系进行推算．
4．（2020春•马山县期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），
BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN．
（1）求∠ABN的度数．
（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数．若变化，请写出
变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
思路引领：（1）根据平行线的性质可直接求解；
（2）利用角平分线的定义可计算求解；
（3）结合平行线的性质易得∠1＝∠4，再利用角平分线的定义可求解．
（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°；
（2）没有变化．
∵CB平分∠ABP，BD平分∠PBN，
1 1
∴∠1= ∠ABP，∠2= ∠PBN，
2 2
∴∠CBD＝∠1+∠2
1
= (∠ABP+∠PBN）
2
1
= ×120°
2＝60°；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠CBN﹣∠CBD＝∠ABD﹣∠CBD，
即∠1＝∠4，
又∵CB平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝120°÷4＝30°，
即∠ABC＝30°．
总结提升：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是
解题的关键．
类型二 动线问题
5．（2022春•盐都区月考）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：
在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝ ．
（1）如图①，若 ＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明α理由．
（2）如图②，若α90°＜ ＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝ ．探索 与 的数量关
系，并说明理由． α β α β
（3）如图③，若 ＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线EF与镜面
AB的夹角∠1＝m（α 0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面γAB开始γ反射，经过n（n为正整数，且
n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出 的度数．（可用含有m的代数
式表示） γ思路引领：（1）在△BEG中，∠2+∠3+ ＝180°， ＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射
光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEαG+∠EGH＝α 180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+ ＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣ ，根据入射光线、反射光线与镜面所夹
的角对应相等可得，∠MEG＝α2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEαG中，∠MEG+∠MGE+ ＝180°，可得
与 的数量关系； β α
（3β）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及
△GCH内角和，可得 ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则 ＝90°，与题意不
符；则只能在CD边反γ射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝ ﹣70°，α由EF∥HK，且由
（1）的结论可得， ＝160°． γ
解：（1）EF∥GH，γ理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+ ＝180°， ＝90°，
∴∠2+∠3＝90°， α α
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2） ＝2 ﹣180°，理由如下：
在△BβEG中α，∠2+∠3+ ＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣ ，α
∵∠1＝∠2，∠1＝α∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+ ＝180°，
∴ ＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）β
＝β180°﹣（2∠2+2∠3）
＝180°﹣2（∠2+∠3）
＝180°﹣2（180°﹣ ）
＝2 ﹣180°； α
（3α）90°+m或160°．
理由如下：①当n＝3时，如图所示：
∵∠BEG＝∠1＝m，
∴∠BGE＝∠CGH＝50°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（50°﹣m），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝100°，
则∠GHC＝40°，
由△GCH内角和，得 ＝90°+m．
②当n＝2时，如果在γBC边反射后与EF平行，则 ＝90°，
与题意不符； α
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图所示：根据三角形外角定义，得
∠G＝ ﹣70°，
由EF∥γHK，且由（1）的结论可得，
∠G＝ ﹣70°＝90°，
则 ＝1γ60°．
综上γ 所述： 的度数为90°+m或160°．
总结提升：γ本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论
思想的利用．
6．（2021春•南湖区校级期中）为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图 1所示灯A
射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯
不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，
即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2．
（1）填空：∠BAN＝ 72 ° ．
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ
于点D，且∠ACD＝126°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系，若改变，请说明理由．
思路引领：（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当 0＜t＜90时，根据2t＝1•
（30+t），可得 t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣108°，∠BCD＝126°﹣∠BCA＝t﹣54°，即可得出
∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，
2
∴∠BAN＝180°× =72°，
5
故答案为：72°；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD，
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°，
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30或110时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC与∠BCD的数量关系不变，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝72°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣108°，
又∵∠ABC＝108°﹣t＝78°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180﹣t，而∠ACD＝126°，
∴∠BCD＝126°﹣∠BCA＝126°﹣（180°﹣t）＝t﹣54°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进
行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
类型三 三角板（三角形）旋转问题
7．（2022春•义乌市校级月考）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝
30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，
记旋转角∠CAE＝ （0°＜ ≤90°）．
（1）当 为 1 5α 度时，αAD∥BC；
（2）在旋α转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）若旋转角∠CAE＝ 的范围改为0°＜ ＜180°．当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC
的某一边平行（不共线）α时，直接写出时间α t的所有值．
思路引领：（1）根据平行线的判定定理即可求解；
（2）分①当0°＜ ≤45°，45°＜ ≤90°、 ＞90°时3种情况，画图计算即可；
（3）分AD∥BC、αDE∥AB、DE∥α BC、AEα∥BC四种情况，分别求解即可．
解：（1）当 ＝15°时，AD∥BC，
α图形如下：
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°．
故答案为15；
（2）设：∠CAD＝ ，∠BAE＝ ，
①如上图，当0°＜γ≤45°时， β
+ ＝90°， + ＝45α°，
α故β﹣ ＝45α°；γ
②β当4γ5°＜ ≤90°时，
同理可得：α+ ＝45°，
（3）①当γADβ∥BC时， ＝15°，t＝3；
②当DE∥AB时， ＝45α°，t＝9；
③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；
④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；
⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30；
综上，t＝3或9或2α1或27或30．
总结提升：解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏．
8．（2022•苏州模拟）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C按如图方式叠放在一起（其中，
∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°：
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 135 ° ；
②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请
直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由．思路引领：（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度
数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（2）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当 CB∥AD 时，当 EB∥AC 时，当 CE∥AD 时，当 EB∥CD 时，当
BE∥AD时，分别求得∠ACE角度．
（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°
∴∠ACE＝45°
∵∠BCE＝90°
∴∠ACB＝90°+45°＝135°
故答案为：135°；
②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°
∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；
（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°
理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE
又∵∠ACB＝∠ACE+90°
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）30°、45°、120°、135°、165°．
理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°；
当EB∥AC时，∠ACE＝45°；
当CE∥AD时，∠ACE＝120°；
当EB∥CD时，∠ACE＝135°；当BE∥AD时，∠ACE＝165°．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，
分类时注意不能重复，也不能遗漏．
9．（2022春•朝阳区校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过
点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．
（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系： ∠ AHE ＝∠ FAH + ∠ KEH ．
1
（2）若∠BEF= ∠BAK，求∠AHE．
2
（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE
边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出
此时t的值．
思路引领：（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；
1
（2）根据∠BEF= ∠BAK，分别表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由
2
AG⊥BE，可得∠BEF的度数，则问题可解；
（3）结合（2），分以下几种情况求解：①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，②当KH∥EG时，
③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，④当KE∥NG时，⑤当HE∥NG时．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠KEH＝∠AFH，
∵∠AHE是△AHF的外角，
∴∠AHE＝∠AFH+∠FAH，∴∠AHE＝∠FAH+∠KEH．
故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠KEH；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAK＝∠MKE，∠ABE＝∠BEC，
1
∵∠BEF= ∠BAK，
2
∴∠BAK＝2∠BEF，
∵∠BEC＝2∠BEF，
∴∠BAK＝∠BEC，
∴∠BAK＝∠ABE，
∴AK平分∠BAG，
∴∠BAK＝∠GAK＝∠ABE，
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴3∠BAK＝90°，
∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK＝30°，
1
∴∠BEF= ∠ABE=15°，
2
∴∠CEF＝45°，
∴∠CEF＝∠AFE＝45°，
∴∠AHE＝∠AFE+∠BAK＝75°．
（3）①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，
∵∠EKH＝∠EPG＝30°，
∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，
∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，
∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝∠PEN＝30°，∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，
30°
∴t= =6秒，
5°
②当KH∥EG时，
∴∠EKH＝∠KEG＝30°，
∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，
∴∠NEK＝60°，
∴∠CEK＝120°，
∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG，
120°
∴t= =24秒，
5°
③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，
∴∠CEK＝150°，
∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，
150°
∴t= =30秒，
5°
∴当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒．
④当KE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．
∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG．
60
∴t= =12（秒）．
5
⑤当HE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，
∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．
∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG．
105
∴t= =21（秒）．
5
当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒．
总结提升：本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和及一元一
次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．
类型三 三角板（图形）平移问题
10．（2022春•海淀区校级期中）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝
（0°＜ ＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、α
CD上，α且在点C、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空；∠PNB+∠PMD ＝ ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求 的度数；
②小安将三角板PMN沿直线ABα左右移动，保持PM∥EF，点N、M分别在直线AB和直线CD上移动，
请直接写出∠MON的度数（用含 的式子表示）．
α思路引领：（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而
可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝
60°，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算
可求解．
解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：＝（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴PO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴ ＝∠NOM＝60°；
②α点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝ ，
∴∠PMD＝ ， α
∴∠NMD＝α60°+ ，
∵AB∥CD， α
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+ ，
∵NO平分∠ANM， α
1 1
∴∠ANO= ∠ANM＝30°+ ，
2 2
α
∵AB∥CD，
1
∴∠MON＝∠ANO＝30°+ ；
2
α
点N在G的左侧时，如图，∵PM∥EF，∠EHD＝ ，
∴∠PMD＝ ， α
∴∠NMD＝α60°+ ，
∵AB∥CD， α
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
1 1
∴∠BNO= [180°﹣（60°+ ）]＝60°− ，
2 2
α α
1
∴∠MON＝60°− ，
2
α
1 1
综上所述，∠MON的度数为30°+ 或60°− ．
2 2
α α
总结提升：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
11．（2022春•沈丘县期末）如图 1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB上，其中∠ONM＝30°，
∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点
E，则∠CEN＝ 10 5 °．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好
平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 7 5 或 25 5°时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）
思路引领：（1）在△CEN中，依据三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线
平行，同旁内角互补求解即可；
（3）当CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得
∠OFD＝∠M＝60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；当CD在AB的下方时，
CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利
用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可．
解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，
∴∠CEN＝105°．
故答案为：105°．
（2）∵OD平分∠MON，
1 1
∴∠DON= ∠MON= ×90°＝45°，
2 2
∴∠DON＝∠D＝45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；．
（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFD＝∠M＝60°，
在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，
＝180°﹣45°﹣60°，
＝75°，
当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO＝∠M＝60°，
在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴旋转角为75°+180°＝255°，
综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．
故答案为：75或255．总结提升：本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
12．（2007•日照）如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，
与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
（Ⅰ）求证：AF＝EC；
（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的
下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．
（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；
（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为
平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？
思路引领：（Ⅰ）由AB＝a，AD＝b，BE＝x，S梯形ABEF ＝S梯形CDFE ，结合梯形的面积公式可证得AF＝
EC；
（Ⅱ）（1）根据题意，画出图形，结合梯形的性质求得x：b的值；
（2）直线EE′经过原矩形的顶点D时，可证明四边形BE′EF是平行四边形，则BE′∥EF；当直线
EE′经过原矩形的顶点A时，BE′与EF不平行．
（Ⅰ）证明：∵AB＝a，AD＝b，BE＝x，S梯形ABEF ＝S梯形CDFE ，
1 1
∴ a（x+AF）= a（EC+b﹣AF），
2 2
∴2AF＝EC+（b﹣x）．
又∵EC＝b﹣x，∴2AF＝2EC．
∴AF＝EC．
（Ⅱ）解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）
∵EC∥E′B′，
EC DC
∴ = ，
E′B′ DB′
由EC＝b﹣x，E′B′＝EB＝x，DB′＝DC+CB′＝2a，
b−x a
得 = ，
x 2a
2
∴x：b= ．
3
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
1
∴CE= （AD+E′B′），
2
1
即b﹣x= （b+x），
2
1
∴x：b= ．
3
（2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，
证明：连接BF，
∵FD∥BE，FD＝BE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴FB∥DE，FB＝DE，
又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴DE＝EE′，
∴FB∥EE′，FB＝EE′，
∴四边形BE′EF是平行四边形，
∴BE′∥EF．
如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M＝a，
1
∵x：b= ，
3
1 1
∴EM= BC= b，
3 3
若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG＝90°，
又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E＝90°，
∴∠GBE＝∠ME′E，
E′M a
= =
在Rt△BME′中，tan∠E′BM＝tan∠GBE BM 2 ，
b
3
1
b
在Rt△EME′中，tan∠ME′E EM 3 ，
= =
E′M a
1
b
a 3
∴ = ．
2 a
b
3
又∵a＞0，b＞0，
a √2
= ，
b 3
a √2
∴当 = 时，BE′与EF垂直．
b 3总结提升：本题是道根据平移的性质、梯形的性质和平行四边形的性质结合求解的综合题，解题复杂，难
度大．考查学生综合运用数学知识的能力．
