专题22思想方法专题：线段与角计算中的思想方法之四大类型（原卷版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题 22 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法之四大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【类型一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】................................................................................................1 【类型二 分类讨论思想在角的计算中的应用】....................................................................................................4 【类型三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】........................................................................7 【类型四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】..........................................................................12 【过关检测】...........................................................................................................................................17 【典型例题】 【类型一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】 例题：（2023春·云南玉溪·七年级统考期末）点 是线段 的中点，点 是直线 上的一点，点 是线 段 的中点，若 ，则线段 的长为 ． 【变式训练】 1.（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）已知直线上有 三点，且线段 ， ，那 么 两点之间的距离为（ ） A． B． C． 或 D． 2．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）已知线段 ，点 为线段 的中点，点 是直线 上 的一点，且 ，则线段 的长是（ ） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm 3．（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有 、 两根木条，长度分别为24 cm、18 cm，将它们的一 端重合且放在同一条直线上，此时 、 两根木条中点之间的距离为 cm．【类型二 分类讨论思想在角的计算中的应用】 例题：（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知 ， 为 的角平分 线，过点O作射线 ，若 ，则 的角度是（ ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 【变式训练】 1．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角， 分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线． 若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ） A． B． C． 或 D． 或 2．（2023秋·七年级课时练习）已知 ， ， 平分 ，则 等于 ． 3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知 ， 平分 ，射线 与 所形成 的角度是 ，那么 的度数是 【类型三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 例题：（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段AB，点C是线段AB上一点，点M、N 分别是线段AC，BC的中点． ①若AC BC4，则线段MN的长度是_________； ②若AC a，BC b，求线段MN的长度(结果用含a、b的代数式表示)； （2）在（1）中，把点C是线段AB上一点改为：点C是直线AB上一点，AC a，BC b．其它条件不 变，则线段MN的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示） 【变式训练】 1．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，点B在线段AC上，点M 、N 分别是AC、BC的中点．2 BC  AC (1)若线段 ， ，则线段 的长为 AC 15 5 MN (2)若B为线段AC上任一点，满足ACBC m，其它条件不变，求MN的长； ab (3)若原题中改为点B在直线 AC 上，满足 AC a ， BC b ， ，其它条件不变，求 MN 的长． 2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）（1）如图1，点C在线段AB上，M， N分别是AC，BC的中点,若AB12，AC8，求MN的长． （2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合）． ①如图2，当M，N分别是AC，BC的中点时，MN的长是___________； 1 1 ②如图3，若M，N分别是 ， 的三等分点，即AM  AC，BN  BC，请直接写出线段 的长． AC BC 3 3 MN 【类型四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图， 在 的内部， 平分BOC 平分 ． (1)当AOC90，BOC60时，MON ___________； (2)当AOC80，BOC60时，MON ___________； (3)当AOC80，BOC50时，MON ___________； (4)猜想：不论AOC和BOC的度数是多少，MON 的度数总等于________的度数的一半． 【变式训练】 1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）已知O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放 在点O处．射线OC平分MOB． (1)如图1，若AOM 40，求CON 的度数； (2)在图1中，若AOM ，直接写出CON 的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，当AOC 3BON时，求AOM 的 度数． 2．（2023春·山东济南·六年级统考期末）解答下列问题如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB，AOC和BOC，若其中有一个角的度数 是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的“巧分线”． (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）． MPN 60 PQ MPN MPQ (2)如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探 索新知）． MPN  PQ MPN MPQ (3)如图3，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有 可能的结果）． 【过关检测】 一、单选题 1．（22·23上·龙岩·期末）已知 ， ，则 的度数为（ ）． A． B． C． 或 D．无法确定 2．（22·23下·贵州·阶段练习）已知直线上 两点相距 ，点 是线段 的中点，点 与点 相距 ，则 的长度是（ ） A． B． C． D． 或3．（22·23上·大同·期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角，分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线．若 ， 射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ） A． B． C． 或 D． 或 二、填空题 4．（23·24上·聊城·阶段练习） 三点在同一条直线上， 分别是 的中点，且 ， ，则 ． 5．（23·24上·大庆·开学考试）如图，长方形纸片 ，点P在边 上，点M，N在边 上，连接 ， ．将 对折，点D落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，点A落在直线 上的点 处，得折痕 ．若 ，则 ． 6．（23·24上·南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为 ．若原点 为 的四等分点，则 点代表的数 为 ． 三、问答题 7．（23·24上·恩施·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b， 与 互 为相反数．线段 在数轴上从A点左侧（D最开始与A重合）沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左 侧），点M，N分别为 、 的中点． (1)求 的长； (2)当 等于2时，判断 的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是请说明理由；(3)设 ，线段 运动的速度为2.5个单位长度每秒，则在运动过程中，线段 从开始运动到完全 通过线段 的时间为 （用含m的式子表示）． 8．（22·23下·福州·开学考试）如图1，已知 绕点 在 的内部转 动， 平分 ， 平分 ． (1)如图2，当 与 重合时，求 的度数； (2)请判断 的大小是否随 的位置的变化发生改变？并说明理由；： (3)当 时，求 的度数． 9．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，点C在线段 上，点M、N分别是 、 的中点． (1)若 ， ，求线段 的长； (2)若C为线段 上任点，满足 ，其它条件不变，你能猜想 的长度吗？写出你的结论并说 明理由； (3)若C为直线 上线段 之外的任一点，且 ， ，则线段 的长为_____．10．（23·24上·全国·课堂例题）已知：如图， ． (1)操作发现：在同一平面内，以点 为顶点， 为始边画出 ，使 ，观察图形后请直 接写出 的度数为________________． (2)探究延伸：在（1）的条件下画出 的平分线 的平分线 ，观察图形后请直接写出 的度数为________________． (3)探究拓展：在（1）（2）的条件下，若将“ ”改为“ ”，其他条 件不变，你能求出 的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 11．（22·23下·烟台·期中）学习材料： 如图1，点 在线段 上，图中有三条线段，分别为线段 ， 和 ，若其中一条线段的长度是另 外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“巧点”. 解决问题： (1)线段的中点 这条线段的“巧点”，线段的三等分点 这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”) ； (2)若线段 ，点 为线段 的“巧点”，则 ； (3)如图 ，已知 ，动点 从点A出发，以 的速度沿 向点 运动，点 从点 出发，以 的速度沿 向点A运动，点 、 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为秒,当 为何值时，点 为线段 的“巧点”？并说明理由． 12．（23·24上·全国·课时练习）如图，已知 内部有三条射线 ， 平分 平分 ． （1）若 ，则 _______________； （2）若 ，则 _______________； （3）若 ，你能猜想出 与 的关系吗？请说明理由． 【拓展提问1】若射线 在 的外部如图所示位置，且 平分 平分 ， 则上述（3）中的结论还成立吗？请说明理由． 方法指导如图，当射线 在 的内部或外部， 平分 平分 时，总有 ．【拓展提问2】若射线 在 的外部如图所示位置， 平分 平分 ，则 与 的数量关系是_______________．