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专题 02 数轴上动点问题的三种考法
【知识点梳理】
1.数轴上两点间的距离
数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
2.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后
到达点表示的数为a－b.
类型一、求值（速度、时间、距离）
例1．数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度
的速度沿数轴运动，a，b满足 ．
(1)请直接写出 ______， ______；
(2)如图1，点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原
点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段 的中点．若 ，求t的值；
(3)如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，
N，O，A为端点的所有线段的长度和为109时，求出此时点M对应的数．
【答案】(1)5，6
(2) 或
(3)点M对应的数为15
【分析】（1）根据非负数的性质解答；
（2）分三种情况解答：①点 未到达 时 时）， ， ，
； ②点 到达 返回时当 时）， ， ；③
点 到达 返回时，即 时，不成立；
（3）根据两点间的距离公式列出方程并解答．
【详解】（1） ．
，
，
故答案为：5，6．（2）①点 未到达 时 时），
， ， ，
即 ，解得 ；
②点 到达 返回时 时），
， ，
即 ，解得 ；
③当点 到达 返回，且到 右侧时，即 时，不成立；
（3）①依题意，当M在 之间时，
，
解得 ，不符合题意，舍去；
②当M在A右侧时，
，
解得 ，点M对应的数为15
答：此时点M对应的数为15．
【点睛】本题考查学生对数轴相关知识的掌握情况及利用一元一次解决实际问题的能力．
本题涉及数轴即路程为题，清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键．另外要注意路
程相等的几种情况．
例2．如图，点O为数轴原点，点A、B、C都在数轴上， ．已知点A表示的数为
．
(1)直接写出点B表示的数；
(2)一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；另一动点Q同
时从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，已知P、Q两点恰好在
点C相遇，求点C表示的数．
(3)在（2）的条件下，当点P分别到A、B、C三点的距离之和为68个单位长度时，求点P
的运动时间．
【答案】(1)15；(2) ；(3) 秒
【分析】（1）根据 以及点A表示的数可得 ，继而得解；
（2）用路程和除以速度和可得运动时间，结合点A表示的数和点P的运动速度可得结果；
（3）设点P运动时间为t，分点P在 之间，点P在 之间和点P在点B右侧三种情况，
分别求解．【详解】（1）解：∵点A表示的数为 ， ，
∴ ，
∴点B表示的数为15；
（2） ，
∴相遇时运动了5秒，
∴点C表示的数为 ；
（3）设点P运动时间为t，当点P在 之间时，
，解得： ，不符合；
当点P在 之间时， ，
，解得： ，符合；
当点P在点B右侧时， ，
，解得： ，而 ，故不符合；
综上：点P的运动时间为 秒．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了两点间的距离，一元一次方程，关键是注
意分情况进行讨论．
例3．如图1，点 在射线 上， ， ，点 从点 出发，沿
方向以 的速度向右匀速运动，点 从点 出发，在线段 上向左匀速运动，两点
同时出发．
(1)若点 运动速度为 ，当点 和点 都运动到线段 上，且点 恰好为线段 的
中点时，求点 运动的时间；
(2)如图2，若点 也为射线 上一点，且 ，当 时，点 运动到线段
上且恰好满足 ，求点 的运动速度．【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）设运动时间为t秒，表示出 和 ，根据 列出方程，解之即可；
（2）设点 的运动速度为 ，运动时间为t秒，分P在线段 上和P在射线 上
两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
由题意可得：
， ，
则 ， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
即点 运动的时间为 ；
（2）设点 的运动速度为 ，运动时间为t秒，
当P在线段 上时，
，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
当P在射线 上时，
，解得： ，
∵ ，∴ ，解得： ；
综上：点 的运动速度为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程，数轴上两点之间的距离，解题的
关键是能用未知数表示出相应线段的长度．
例4．如图将一条数轴在原点 ，点 ，点 ，点 处各折一下，得到一条“折线数
轴”．图中点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，我们称点 和点 在数轴上相距 个长度单位．动点 从点 出发，以 单位/秒的
速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点 从点 出发，以 单位/秒的速
度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初
始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点 运动至点 时则两点停止运动，设
运动的时间为 秒．问：
(1)动点 从点 运动至 点需要 秒，此时点 对应的点是 ．
(2) ， 两点在点 处相遇，求出相遇点 所对应的数是多少？
(3)求当 为何值时， ， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴上相距的长
度相等．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据时间等于路程除以速度，分成三部分进行求解即可；
（2）先求出点 到达点 时， 的位置，再求出两者还需要经过多长时间相遇，以及这段
时间点 的的路程，即可得出结论；
（3）分点 分别在 段时，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：点 上坡时速度为 单位/秒，下坡时速度为 单位/秒，
点 上坡时速度为 单位/秒，下坡时速度为 单位/秒， ， ，
， ， ，
∴点 从点 运动至 点需要 （秒）；
点 从点 运动到点 需要 （秒），从点 运动到点 需要： （秒）
∴当点 从点 运动至 点时，点 运动到点 ；
故答案为： ；
（2）由（ ）可知， ， 两点在 处相遇时，点 在 段，
点 由 到 点用时为 秒，
点 从 到 用时为 秒， 从 又运动了： 秒，当点 到达点 时，点 距离 点 单位长度，
再经过 秒， 相遇，
点经过的的路程为： 单位长度，
点 为 ，故点 对应数为 ．
（3）当点 在 段时，点 在 段，此时 大于 ， 小于 ；
当点 在 段时，点 在 段，
若 ，则 ， ，
，解得： 秒；
当点 在 段时，点 在 段， ， ，
，解得： 秒；
当点 在 段或 段时， 大于 ， 小于 ．
综上所述，当 或 秒时， ， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数
轴上相距的长度相等．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握时间等于路程除以速度，正确
的列出方程．
【变式训练1】已知多项式 的常数项是a，次数是b，若a、b两数在数轴上所
对应的点为A、B，点A位于点B的左边．
(1)数轴上A点表示的数为______，B点表示的数为______．
(2)数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为13，求点C在数轴上所对应
的数．
(3)若P、Q两点分别从A、B出发，同时沿数轴正方向运动，O为数轴原点，P点的速度是
Q点速度的2倍，且3秒后， ，求点Q运动的速度．
【答案】(1) ，3；(2)6；(3) 或
【分析】（1）根据多项式的常数和次数，即可得出a，b的值，从而得到结果；
（2）根据两点间的距离得到关于 的方程，从而可以得到点 在数轴上所对应的数；
（3）设点Q运动的速度为x，分别表示出点P和点Q对应的数，再列出绝对值方程，解之
即可．【详解】（1）解： 的常数项是 ，次数是 ，
∴ ， ，
∴A点表示的数为 ，B点表示的数为3；
（2）由题意可得： ，
解得： ，
即点C在数轴上所对应的数为6；
（3）设点Q运动的速度为x，则P点的速度为 ，
∴3秒后，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
即点Q运动的速度为 或 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴、多项式，解答本题的关键是明确题意，求
出 、 的值，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
【变式训练2】 ， 分别是数轴上两个不同点A， 所表示的有理数，且 ， ，
A， 两点在数轴上的位置始图所示：
(1)直接写出数 ， 的值；
(2)A， 两点相距多少个单位长度？
(3)若 点在数轴上， 点到 点的距离是 点到A点距离的 ，求 点考示的数；
(4)点 从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3
个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2022次后，求 点表示的数．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
(4)
【分析】（1）根据绝对值的定义结合由数轴得出 、 的符号即可得；
（2）根据数轴上两点间的距离公式即可得 ；
（3）设 点表示的数为 ，分以下两种情况：点 在 、 之间、点 在点 左侧，利用
两点间距离公式列方程求解；（4）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解： ， ，
或 ， 或 ，
由数轴可知， ，
， ；
（2）解：表示 、 两点之间的距离为 ，
（3）解：设 点表示的数为 ，
当点 在 、 之间时，根据题意有： ，
解得：
当点 在点 左侧时，根据题意有： ，
解得： （舍弃）；
当点 在点 的右侧时， ，
解得 ，
点表示的数为 或 ．
（4）解：由题意得：
，
点表示的数是 ．
【点睛】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用
是解题的关键．
【变式训练3】已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足
．
(1)求a、b的值；
(2)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t秒钟，
P、A、B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t值；
(3)数轴上还有一点C对应的数为40，若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向C
点运动，同时，点Q从B点出发，以每秒 个单位长度的速度向正方向运动，点P运动到
C点后立即返回再沿数轴向左运动．当 时，求点P运动的时间．【答案】(1) ，
(2)点 的运动时间为3秒或12秒
(3)当 时，点 运动的时间为： 秒或 秒或 秒或 秒
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据点P运动时间设未知数列方程即可求解；
（3）利用点P和点Q的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解．
【详解】（1） ，
又 ， ，
，
， ；
（2）当点 是线段 的中点，即 ，
此时 点表示的数为： ，
点 的运动时间为： （秒）；
当点 是线段 的中点，即 ，
此时 ，
，
，
点 的运动时间为： （秒），
综上，点 的运动时间为3秒或12秒；
（3）设点 运动 秒时， ，分四种情况讨论如下：
①点 、点 向右运动，点 在点 左侧时，
，解得： ；
②点 、点 向右运动，点 在点 右侧时，
，解得： ，
又点 到达点 的时间为： ，
符合题意；
③点 向左运动，点 在点 右侧时，
，解得： ，又 ， 符合题意；
④点 向左运动，点 在点 左侧时，
，解得： ， ，符合题意；
综上所述，当 时，点 运动的时间为： 秒或 秒或 秒或 秒．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的性质，解决本
题的关键是根据两点间的距离找等量关系．
【变式训练4】已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足 ，请回答问题．
(1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______；
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之
间运动时即（ 时），请化简式子： （请写出化简过程）；
(3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的
速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左
运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的
值，若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，1，5
(2)见解析
(3)存在，t的值是 或1或
【分析】（1）根据b是最小的正整数，以及偶次方和绝对值的非负性进行求解即可；
（2）分 ， 两种情况进行讨论，化简即可；
（3）分A是 的中点，B是 中点，C是 中点三种情况，进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵b是最小的正整数，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ，1，5；
（2）当 时，
；当 时，
；
（3）存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，理由如下：
根据题意，运动后A表示的数是 ，B表示的数是 ，C表示的数是 ，
①A是 的中点时， ，解得 ，
②B是 中点时， ，解得 ，
③C是 中点时， ，解得 ，
综上所述，t的值是 或1或 ．
【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握绝对值的意义，以及数轴
上两点间的距离公式，是解题的关键．
类型二、定值问题
例．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足： ．
(1)求m、n的值；
(2)①情境：有一个玩具火车 如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，
当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为
n．则玩具火车的长为__________个单位长度；
②应用：如图1所示，当火车 匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火
车的速度为__________个单位长度/秒．
(3)在（2）的条件下，当火车 匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每
秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车 运动后对应的位置为
．是否存在常数k使得 的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这
个定值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)7，
(2)①3个单位长度；② 个单位长度/秒
(3)存在， ，【分析】（1）根据 得 ，计算即可．
（2）①设A表示的数为 , B表示的数为 ,小火车的长度为 ,根据题意 ，
， ，建立方程计算即可．
②根据①得 ，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为 单位长度，利用
速度=路程÷时间计算即可．
（3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点 的距离为 个单位长度，此时点
表示的数是 ，继而得到 ，根据题意，得到点 表示的数是
，点 表示的数是 ，继而表示 ，代入 化简，
令t的系数为零计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）①设A表示的数为 , B表示的数为 ，小火车的长度为 ,
根据题意，得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即玩具火车长3个单位长度，
故答案为：3．
②根据①得 ，火车完全经过点M需要2秒，
故点A运动路程为３单位长度，
∴玩具火车的速度为： （单位长度/秒）
故答案为： ．
（3）存在， ， 理由如下：
设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点 的距离为 个单位长度，此时点 表示
的数是 ，∴ ，
根据题意，得到点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
∴ ，
∴ ，
∵常数k使得 的值与它们的运动时间无关，
∴ ，
解得 ，
故 ，
故当 时，常数k使得 的值与它们的运动时间无关，此时值为 ．
【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的
无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键．
【变式训练1】如图，数轴上有三个点 ， ， ，表示的数分别是 ， ， ．
(1)若使 、 两点的距离是 、 两点的距离的3倍，则需将点 向右移动________个单
位：
(2)点 、 、 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，
点 和点 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为 秒：
①点 、 、 表示的数分别是_______、_______、_______（用含 、 的代数式表示）：
②若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，当 为何值时，
的值不会随着时间 的变化而改变．
【答案】(1)1
(2)① ， ， ；②
【分析】（1）由 ，结合数轴即可得出点 向左移动的距离；
（2）①结合路程 时间 速度写出答案；
②先求出 的值，进一步根据题意即可求出结果．
【详解】（1）解：由数轴可知： 、 两点的距离为 ， 点、 点表示的数分别为： ，
，
所以当 、 两点的距离是 、 两点的距离的 倍时，即 、 两点的距离是 ，
则点 表示的数为 或 ，
∵ ，
∴需将点 向右移动 的单位；
故答案是：1．
（2）①∵点 以每秒 个单位的速度向左运动，点 与点 分别以每秒1个单位长度和3
个单位长度的速度向右运动，
∴点 表示的数是 ；点 表示的数是 ；点 所表示的数是 ．
故答案是： ， ， ；
②∵点 与点 之间的距离表示为 ，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ；
∴ ；
∵点 与点 之间的距离表示为 ，点 表示的数是 ，点 所表示的数是 ；
∴ ；
∴ ，
故当 时， ，此时 的值不会随着时间 的变化而改变．
故当 时， 的值不会随着时间 的变化而改变．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，整式的加减运算等，解题
的关键是根据点的运动方向和速度求得动点表示的数．
【变式训练2】如图，在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，且
(1)填空， _______________， _______________；
(2)若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，已知点 为数
轴上一动点，且满足 ，求出点 表示的数；
(3)若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度向右
运动，动点 从原点开始以每秒 个单位长度运动，运动时间为 秒，运动过程中，点
始终在 、 两点之间上，且 的值始终是一个定值，求 点运动的方向及 的
值，
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)从原点向左运动， 的值为
【分析】（1）利用非负数的意义即可求得结论；（2）分两种情况讨论解答：①点 在点 的左侧，②点 在点 的右侧解答即可；
（3）分点 向左运动和向右运动两种情形解答，依据题意列出 的值的式子，整
理后使得 的系数为 即可求得结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：设点 在数轴上表示的数为 ，
①点 在点 的左侧时，
∵ ， ， ，
∴ ．
解得： ；
②点 在点 的右侧时，
∵ ， ， ，
∴ ．
解得： ．
综上，点 表示的数为 或 ；
所以 表示的数是 或 ；
（3）解：①当点 从原点向左运动时，
因为 的值始终是一个定值．
所以
则 ．
所以 点运动的方向为从原点向左运动， 的值为 ．
当点 从原点向右运动时．
）
，
因为 的值始终是一个定值．
所以所以 ．
因为
所以此种情形不存在．
综上， 点运动的方向为从原点向左运动， 的值为 ．
【点睛】本题主要考查了数轴、列代数式，求代数式的值，非负数的意义，整式的加减，
利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
【变式训练3】如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ，点A与点B之间
的距离表示为 ，点B与点C之间的距离表示为 ，点A与点C之间的距离表示为 ．
(1) 、 、 ；
(2)若点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒3个单位长度的速度从点C
出发，P、Q同时同向而行，运动时间为t秒，经过多少秒后，点P、Q两点相距2个单位
长度？
(3)若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发，以每秒2
个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，设
点D、E、F同时出发，运动时间为t秒，问 的值是否随着时间t的变化而变化？
请说明理由．
【答案】(1)3、5、8；
(2)3秒或5秒；
(3)不变，理由见解析．
【分析】（1）由数轴上两点的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数，计算即可．
（2）由点P、Q同时同向而行，分类为同时向左或同时向右进行分析，再根据起点和运动
速度分别用含t的式子表示点P、Q所表示的数，最后由 列出方程求解出t的值；
（3）分别根据起点和运动速度分别用含t的式子表示点D、E、F所表示的数，再根据左右
关系分别计算 、 的值，用含t的式子表示，最后直接计算 的值，计算得
为定值，判断出 的值不随着时间t的变化而变化．
【详解】（1） ，
，
;
（2） P、Q同时同向而行，运动时间为t秒，
若同时向右运动，点P在点Q后面运动，且速度更慢，则间距拉大，
，不存在 ，舍去；
P、Q同时向左运动，
则点 表示的数为 ，
点 表示的数为 ，
或 ，
得到 或 秒；
（3）点 表示的数为 ；
点 表示的数为 ；
点 表示的数为 ；
点D、E、F的左右位置不变，
， ，
为定值，
的值不随着时间t的变化而变化， 为定值．
【点睛】本题考查数轴上动点间的长度问题，基本公式是两点间距离为两个点表示的数差
的绝对值，运动过程中注意运动方向和点的左右位置，能够根据起点和运动速度用运动时
间 表示动点所表示的数是解题的关键．
【变式训练4】如图所示，数轴上有 ， ， ， 四个点，点 表示的数是 ，点 表
示的数是 ，且满足 ．已知 （单位长度）， （单位长
度）．
(1)求点 和点 分别表示的数；
(2)若线段 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的
速度向左匀速运动，设运动时间为 秒，当 （单位长度）时，求 的值；
(3)若动点 从表示数 的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足
的值不随 点运动时间 的变化而改变，求 的值．
【答案】(1)点 表示的数是 ，点 表示的数是
(2) 或4
(3)
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性得出 的值，然后根据 （单位长度），
（单位长度）
进而得出答案；
（2）根据题意可得点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，从而得出
，求解即可；（3）根据题意点 表示的数是 ，则 ，
整理化
解，然后根据 的值不随 点运动时间 的变化而改变可求得 的值．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点 表示的数是 ，点 表示的数是18，
∵ （单位长度）， （单位长度），
∴点 表示的数是 ，点 表示的数是 ；
（2）由题意得，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
∴ ，
解得 或4；
（3）由题意得，点 表示的数是 ，
∴
，
∵ 的值不随 点运动时间 的变化而改变，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了绝对值的偶次方的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问
题，运用方程的思想解题是本题的关键．
类型三、数量关系问题
例．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且 ．若
有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点
Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个
动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)【解决问题】：
①当 秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；
②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)【探索问题】：
若 为 的中点， 为 的中点，直接写出线段 与线段 的数量关系．
【答案】(1)①点P表示的数为5；点Q所表示的数为 ；②点P运动 秒或3秒时与点
Q相距3个单位长度；(2) 或 ．
【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为 ；根据点的运动方式即可得出点P、Q
表示的数t；
②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则 ， ，根据
，或 ，列出方程求解即可；
（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故 ，由此可得出结论．
【详解】（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边， ，
∴点B表示的数是 ，
∵动点P从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点 表示的数是 ．
动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，
点P表示的数为5；点Q所表示的数为 ．
②设点P运动x秒时，则 ， ，
当Q在P左侧时，与Q相距3个单位长度，如图：
∵ ，
∴ ，
解得： ，
当Q在P右侧时，与Q相距3个单位长度，如图：
∵ ，
∴
解得： ．
∴点P运动 秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
（2） 或 ；理由如下：
P在Q右侧时，如图，
有：，
∴
即： ．
同理 在 左侧时有： ．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，
关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
【变式训练1】已知数轴上A，B两点对应的数分别是a，b，其中a，b分别为单项式
的系数和次数，点P为数轴上的一动点．
(1)A，B两点的距离 __________；
(2)在数轴上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，请说
明理由；
(3)若点P以每秒1个单位的速度从点O（点O对应的数是0）出发向右匀速运动，同时点
A以每秒5个单位的速度向左匀速运动，点B以每秒8个单位的速度向右匀速运动．在运
动的过程中，M，N分别是 ， 的中点，设运动时间为t秒．
①请用含t的代数式表示 ；
②随着时间t的变化， 与 之间有怎样的数量关系？
【答案】(1)8
(2) 或
(3) ，
【分析】（1）根据单项式的系数和次数，求出 ，利用两点间的距离公式进行计算即可
得解；
（2）分 在点 之间和 在点 的右侧，两种情况进行讨论求解；
（3）①分别用含 的式子，表示出 所表示的数，利用两点间的距离公式，表示出
即可；②利用中点公式表示出 所表示的数，利用两点间的距离公式，表示出 ，
即可得到 的数量关系．
【详解】（1）解：单项式 的系数为 ，次数为 ，
∴ ，
∴ ；故答案为：8；
（2）设点 表示的数为 ，
①当 在点 之间时，由题意，得： ，解得： ；
② 在点 的右侧时，由题意，得： ，解得： ；
综上：点 表示的数为 或 ；
（3）解：①由题意，得： 表示的数为 ， 点表示的数为 ，
点表示的数为 ，
∴ ；
②∵M，N分别是 ， 的中点，
∴ 表示的数为 ， 表示的数为 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算．熟练掌
握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
【变式训练2】如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，
且 ．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速
运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的
运动时间为t秒．
(1)解决问题：
①当 时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索
线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析
【解析】(1)解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-
12=-4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8-3×1=5．
②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，
则AP=3x，BQ=2x，
∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，
∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15，解得：x=3．
∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：
P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ= AQ+ BP-PQ= （AQ+BP-PQ）- PQ= AB- PQ=
（12-PQ），
即2MN+PQ=12．
同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．
课后训练
1．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示 ， ，6，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，
C两点同时出发，甲的速度是每秒4个单位，乙的速度是每秒3个单位．
(1) ， ．
(2)若甲、乙相向而行，则甲、乙在多少秒后数轴上相遇？该相遇点在数轴上表示的数是什
么？
(3)若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为23个单位？
(4)在（3）的条件下，当甲到A，B，C三点的距离之和为23个单位时，甲调头返回，则甲、
乙还能在数轴上相遇吗？若能，并求出相遇点在数轴上表示的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)12，21
(2)3秒，(3) 秒或 秒
(4)能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为
【分析】（1）由 ， ， 三点表示的数即可得出答案；
（2）设甲、乙行驶 秒时相遇，根据相遇时甲行驶路程 乙行驶路程 ，依此列出方
程，进而求解即可；
（3）分三种情况：甲在 上；甲在 上；甲在点 右边时；根据甲到 ， ， 的距
离和为23个单位列方程，求解即可．
（4）由（3）的结果分两种情况，根据相遇时甲、乙表示在数轴上为同一点列方程，求解
即可．
【详解】（1）解： ， ．
故答案为： ；
（2）设甲、乙行驶 秒时相遇，
根据题意得： ，
解得： ，
此时相遇点在数轴上表示的数是： ．
答：甲、乙在3秒后在数轴上相遇，该相遇点在数轴上表示数是 ．
（3）设 秒后甲到 ， ， 三点的距离之和为23个单位，
，
点距 ， 两点的距离为 ， 点距 、 两点的距离为 ，
点距 、 的距离为 ，
故甲应位于 或 之间．
①在 之间时： ，
解得： ；
② 之间时： ，
解得： ；
③当甲在点 右边时，甲到A，B，C三点的距离之和 ，
故不合题意舍去；
答： 秒或 秒后甲到 ， ， 三点的距离之和为23个单位．
（4）①甲从A向右运动 秒时返回，设z秒后与乙相遇．此时甲、乙表示在数轴上为同一
点，所表示的数相同．甲表示的数为： ；乙表示的数为： ，
依据题意得： ，
解得： （不合题意舍去）；
②甲从A向右运动 秒时返回，设z秒后与乙相遇．
甲表示的数为： ；乙表示的数为： ，
依据题意得： ，
解得： ，相遇点表示的数为： ，
即甲从A向右运动 秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题在解答后面二问注意分类思想的运
用．
2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研
究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B
两点之间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为8，点P从点A出发，以
每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长
度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 ．
【综合运用】
(1)填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇；
(3)求当t为何值时， ；
(4)若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生
变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长．
【答案】(1) ，
(2)
(3)1或3(4)5
【分析】（1）根据题意直接可得 秒后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ；
（2）根据题意得 ，即可解得 ，故当 为2秒时， 、 两点相遇；
（3）由 得 ，即可解得 或 ；
（4）由点 为 的中点，点 为 的中点，可知 表示的数是 ， 表示的数是
，即得 ，故线段 的长度为5，不发生变化．
【详解】（1）解：根据题意， 秒后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
故答案为： ， ；
（2）根据题意得： ，
解得 ，
当 为2时， 、 两点相遇；
（3） 点 表示的数为 ，点 表示的数为8，
，
，
，
解得 或 ，
为1或3时， ；
（4）线段 的长度不发生变化，理由如下：
点 为 的中点，点 为 的中点，
表示的数是 ， 表示的数是 ，
，
线段 的长度为5，不发生变化．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，一次方程的应用，解题的关键是用含 的代数式表
示点运动后表示的数．
3．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为 和20、点P从点 出发，以每秒1个
单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的
速度沿数轴正方向匀速运动．设运动时间为 秒．(1)当 时，线段 的长度是___________；当 时，线段 的长度是___________．
(2)当 时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数．
(3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负
方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，直接写出所有使得线
段 的t值．
【答案】(1)8，2
(2) 的值为5或15，此时点 所对应的数为0或20
(3)2或
【分析】（1）找出运动时间为 秒时，点 、 对应的数，由此可用含 的代数式表示出
的长度，分别代入 、 即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合 可得出关于 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可
得出 值，再将 值代入点 表示的数中即可得出结论；
（3）找出运动时间为 秒时，点 、 对应的数，分 和 两种情况找出关
于 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为 秒时，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，
．
当 时， ；
当 时， ．
答：当 时，线段 的长度为8；当 时，线段 的长度为2．
（2）根据题意得： ，
解得： 或 ，
当 时，点 对应的数为 ；
当 时，点 对应的数为 ．
答：当 时， 的值为5或15，此时点 所对应的数为0或20．
（3）当运动时间为 秒时，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ．
当 时， ， ，
解得： ， （舍去）；
当 时， ， ，
解得： ， （舍去）．
综上所述：在点 的整个运动过程中，存在合适的 值，使得 ，此时 的值为2或．
【点睛】本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）
用含 的代数式表示出 的长度；（2）由（1）的结论结合 找出关于 的含绝对值
符号的一元一次方程；（3）分 和 两种情况找出关于 的含绝对值符号的
一元一次方程．
5．已知数轴上的 、 两点分别对应的数字为 、 ，且 、 满足 ．
(1)直接写出： ______， ______；
(2) 从 出发，以每秒 个长度的速度沿数轴正方向运动，何时 ， ， 三点中其中一
个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间 ；
(3)数轴上还有一点 对应的数为 ，若点 从 出发，以每秒 个单位的速度向 点运动，
同时， 从 点出发，以每秒 个长度的速度向正方向运动，点 运动到 点立即返回再沿
数轴向左运动．当 时，求 运动的时间．
【答案】(1) ，
(2) 或 或 或 ；
(3) 或 或
【分析】（1）根据绝对值的非负性，平方的非负性，即可求解；
（2）设时间为 秒， 从 出发，以每秒 个长度的速度沿数轴正方向运动，则 ，
点 表示的数为 ，分三种情况讨论，①当 时，② 时，
③当 时，分别列出方程，解方程即可求解；
（3）分四种情况讨论：①点 、点 向右运动，点 在点 左侧，②点 、点 向右运动，
点 在点 右侧，③点 向左运动，点 在点 右侧，④点 向左运动，点 在点 左侧，
分别列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
解得： ，
故答案为： ， ．
（2）解：∵数轴上的 、 两点分别对应的数字为 、 ，
∴
设时间为 秒， 从 出发，以每秒 个长度的速度沿数轴正方向运动，则 ，点
表示的数为 ，则
①当 时，
则 ，
解得： ，
② 时，
，
解得： ；
③当 时，
解得： 或
∴ 或 或 或 ；
（3）设 时， ，
分四种情况讨论：
①点 、点 向右运动，点 在点 左侧，
，
解得： ；
②点 、点 向右运动，点 在点 右侧，
，
解得： ，
点 到达点 的时间为 ， ，
不合题意，舍去；
③点 向左运动，点 在点 右侧，
，
解得： ；
④点 向左运动，点 在点 左侧，，解得： ，
综上所述，当 时， 点运动的时间为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，数形结合，
分类讨论是解题的关键．
6．已知式子 是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，
，数轴上A，B、C三点所对应的数分别是a、b和c，点A，B沿数轴同时出发相向
匀速运动，点B的速度为每秒2个单位长度，4秒后两点相遇．
(1)求点A的运动速度；
(2)若点A与点B之间的距离记为 ，原点O与点C之间的距离记为 ，A，B两点运动
秒时有 ，求此时t的值；
(3)当点A运动到点C时，迅速以初始速度的2倍返回，到达点A的起始位置后，再以初始
速度的4倍又折返向C点运动：点B始终保持原来的运动方向和速度不变；求出运动过程
中A，B两点相遇时t的值．
【答案】(1)每秒4个单位长度
(2)2秒或6秒
(3)4秒或10秒或 秒
【分析】（1）根据所给多项式三次项系数为0，二次项系数为b，由出a、b的值，设点A
的运动速度是每秒 个单位长度，根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程即可；
（2）先用含t的代数式表示出运动 秒后 对应的数，再根据 列方程求解；
（3）分 ， ， 三种情况，根据点A和点B对应的数相等，列一
元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解： 是关于x的二次多项式，且二次项系数为
b，
， ，
，
设点A的运动速度是每秒 个单位长度，
则 ，即 ，
解得 ，即点A的运动速度是每秒4个单位长度；
（2）解：运动 秒后， 对应的数分别为 ，
∴ 而 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴当运动时间为2秒或6秒时， ；
（3）解：由（1）知：点A的初始运动速度是每秒4个单位长度，则从点C返回点A的速
度为每秒8个单位长度，再从点A折返的速度为每秒16个单位长度，
∵ ，
∴点A第一次运动到点C时： ，
从点C返回点A时： ，
再从点A折返到点C时： ．
运动 秒后，点 对应的数分别为 ，
当 时，点A对应的数为： ，
第1次相遇时， ，解得 ；
当 时，点A对应的数为： ，
第2次相遇时， ，解得 ；
当 时，点A对应的数为： ，
第3次相遇时， ，解得 ；
∴运动过程中A，B两点相遇时t的值为4秒或10秒或 秒．
【点睛】本题考查的是多项式的次数和系数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，
一元一次方程的应用，准确的理解题意，利用方程思想解决问题是解题的关键．
7．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c
满足 ．(1)填空；a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在
数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
①求经过多长时间， 的长度是 长度的两倍．
②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段 的中点Q进行折叠，点M与点
N刚好重合，所以我们又称线段 的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，
这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
【答案】(1) ， ，
(2)①经过 秒， 的长度是 长度的两倍；
②当 或 时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点．
【分析】（1）由正整数的定义，绝对值及偶次方的非负性可得答案；
（2）①先用t表示A，B，C三点表示的数，即可求得 ， ， ，再根据
列关于t的方程，解方程即可得到答案；
②分三种情况：当点A是 的中点时， ；当B是 的中点时， ；当C
是 的中点时， ，结合实际情况，分别列方程，计算可求解．
【详解】（1）解：因为b是最小的正整数，
所以 ，
因为a，c满足 ，
所以 ， ，
故答案为
（2）解：①点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，
所以 ， ，
由 ，可得 ，
解得 或 （舍），
故经过 秒， 的长度是 长度的两倍；
②
当点A是 的中点时， ，则 ，
解得 ；
当B是 的中点时， ，因为A、B、C，表示的数分别为 ，1，5，
所以在整个运动过程中，点B不可能是 的中点，故该种情况不存在；
当C是 的中点时， ，
则 ，
解得 或 ，
此时点A在点C的右侧，则 ，
即 ，故 舍去， ，
综上，当 或 时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点．
【点睛】本题主要考查数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用等，分类讨论是解决本
题的关键．
