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专题 10 角的运动压轴题的三种考法
类型一、角度之间数量关系问题
例．如图，点O为直线 上一点，过点O作射线 ．将一直角三角板的直角顶点放在
点O处（ ），一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
(1)当 时，请解决一下问题；
①将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分
．求 的度数．
②将图1中的三角板绕点O以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第
t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为 （直接写出结果）．
③将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使 在 的内部，请探究 与
的数量关系，并说明理由．
(2)图1中射线 在 上方且 ，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度
），试探究 三者之间的数量关系．
【答案】(1) ； 或 ； ，理由见解析
(2)当旋转角 时， ；
当 旋转角 时， ；
当 旋转角 时， ．
【分析】（1） 平分 ，可求得 ，再由互余关系即可求得结果；
分两种情况：射线 平分 ，可计算出 旋转的角度，则可计算出旋转的时间；
射线 平分 ，可计算出 旋转的角度，则也可计算出旋转的时间；两种情况综
合即可；
由 ，且 ，即可得出两角的关系；
（2）分四种情况考虑：旋转角 ； 旋转角 ； 旋转角
；当 旋转角 时；利用和差关系即可得到关系；
【详解】（1）解：（1） 平分 ，
， ；，
当射线 平分 时，如图2所示， ，
旋转的角度为 ，直线 旋转的时间为 （秒）；当射线
平分 时，如图4所示， ，
旋转的角度为 ，直线 旋转的时间为 （秒）；
综上知，则 的值为； 或 ；故答案为： 或 ；
，且 ，
， ，
即 与 的数量关系为： ；
（2）解：当旋转角 时，射线 在 的内部时，如图5；
则 ， ，
；
；当 旋转角 时，此时射线 在 的内部，如图6所示；
，
；
当 旋转角 时，此时射线 在 的内部，如图7所示，
，
，
，
，
；
当 旋转角 时，此时射线 在 的内部，如图8所示，
；
，
；
综上，当旋转角 时， ；
当 旋转角 时， ；
当 旋转角 时， ．
【点睛】本题考查了角的和差运算，角平分线的性质，分类讨论，关键是结合图形，用所
求的角表示未知的角．
【变式训练1】以直线 上一点O为端点，在直线 的上方作射线 ，使 ，
将一个直角三角板 的直角顶点放在O处，即 ，直角三角板 可绕顶点
O转动，在转动的过程中，直角三角板 所有部分始终保持在直线 上或上方．
(1)如图1，若直角三角板 的一边 在射线 上，则 ______；
(2)将直角三角板 绕点O转动后，使其一边 在 的内部，如图2所示，
①若 恰好平分 ，求此时 的度数；
②若 ，求此时 的度数；
(3)直角三角板 在绕点O转动的过程中， 与 之间存在一定的数量关系，
请直接写出来，不必说明理由．
【答案】(1)40°；(2)① ，② ；(3)【分析】（1）根据两个角互为余角，求出 的度数；
（2）①根据平角定义先求出 ，根据角平分线的定义得 ，
进而求出 ；
②如图，先求出 ， ，然后代入计算即可．
（3）根据题意，分成两种情况进行分析：当 在 内部时；当 在 外部
时，分别求出答案即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：40°；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∵ 恰好平分 ，
∴ ，
∴ ；
②如图，当 在 的内部时，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 在 内部时，如图所示，∵ ， ，
∴ ．
当 在 外部时，如图所示，
∵ ， ，
∴ ；
综合上述，则 ；
【点睛】本题考查了作图——复杂作图、余角和补角，几何图形中的角度计算，角平分线
的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．．
【变式训练2】如图，点O在直线 上，在同一平面内，以O为顶点作直角 ．射线
、射线 分别平分 、 ．
(1)如图1，当 时， ________ ， ________ ．
(2)如图1，猜想 与 的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中， 与 的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
【答案】(1) ，
(2) ，理由见详解
(3) ，
【分析】（1）根据角平分的定义即可求解；
（2）根据（1），可得 ，问题得解；（3）图2，先表示出 ， ，再根据角平分线可得
，问题随之得解；图3，由 ，可得
，根据 ， ，可得
，问题随之得解．
【详解】（1）∵射线 、射线 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2） ，理由如下：
在（1）中有： ， ， ，
∴ ；
（3）图2中， ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵射线 、射线 分别平分 、 ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
图3中， ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵射线 、射线 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为 ，以及角度的计算，理清图中各个
角直角的数量关系是解答本题的关键．
【变式训练3】如图， 是直线 上一点， 是 的余角，射线 平分
．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，请在图中画出符合题意的射线 ，探究 与 的数量
关系，并说明理由．
【答案】(1)(2) 或 ，理由见解析
【分析】（1）根据互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义解答；
（2）分情况画图分析，设 ，利用互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，
角平分线的定义，把 和 的度数分别用含有 的式子表示，即可表示出两个角
的关系．
【详解】（1）解： 是 的余角， ，
，
，
平分 ，
；
（2）解： 或 ，理由如下：
设 ，
是 的余角，
， ，
，
平分 ，
，
，
．
当射线 在 内部时，如图：
，
，
；
当射线 在 内部时，如图：，
，
，
综上可知， 或 ．
【点睛】本题考查余角、补角、角平分线、角的和差关系等知识点，解第一问的关键是掌
握互为余角的两个角的和是90度，解第二问的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
类型二、定值问题
例．如图，过点 在 内部作射线 ． ， 分别平分 和 ，
与 互补， ．
(1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°；
(2)如图2，若 平分 ．
①当 时，求 度数；
②试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1) ， ， ；(2)① ，②是定值，
【分析】（1）根据互补的定义可得 ，然后求得 ，再根据角平分线的定义可
得 和 ,再根据角的和差可得 ；
（2）①由互补的定义可得 ，再根据角平分线的定义可得
，进而得到 ，
然后根据 得到关于a的方程求解即可；②由①可得
，然后分别表示出 和 ，最后做
商即可解答．
【详解】（1）解：∵ ,
∴
∴
∵ ， 分别平分 和
∴ ,
∴
故答案为 ， ， ．
（2）解：①∵ ， 与 互补，
∴
又∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ，
∴
∴ ，解得：∴ .
②由①得：
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了补角的定义、角平分线的应用、角的和差等知识点，灵活运用角
平分线的定义是解答本题的关键．
【变式训练1】如图， 内部有一射线OC， ， 与 的度数比为
，射线 从 出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线 从 出发
以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线 与射线 重合后，立即以原速逆时针旋
转，当 与 重合后再次改变方向顺时针向 旋转（即 在 与 之间来回摆
动），当 与 重合时， 与 都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
(1) 时， ；
(2)当t为何值时， 恰好是 的平分线；
(3)在旋转的过程中，作 的角平分线 ，是否存在某个时间段，使得 的度数
保持不变？如果存在，求出 的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请
说明理由．
【答案】(1)100
(2)3或7
(3)存在， 时， 的度数保持不变， ； 时， 的度数
保持不变，
【分析】（1）当 时， ， ，故 ，
即得 ；
（2） ， 与 的度数比为 ，知 ， ，故
从 旋转到 （或从 旋转到 需要 （秒）， 从 旋转到
需要 （秒），当 时， ；当 时，
；当 时， ，解方程可得答案；
（3）当 时， ；当 时，；当 时，
，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）当 时， ， ，
，
；
故答案为：100；
（2） ， 与 的度数比为 ，
， ，
从 旋转到 或从 旋转到 需要 （秒）， 从 旋转到
需要 （秒），
当 时， ， ，
恰好是 的平分线，
，
解得 ；
当 时， ， ，
恰好是 的平分线，
，
解得 （舍去）；
当 时， ， ，
恰好是 的平分线，
，
解得 ；
综上所述，当 为3或7时， 恰好是 的平分线；
（3）存在某个时间段，使得 的度数保持不变，理由如下：
当 时， ， ，
平分 ，
，
，
时， 的度数保持不变， ；
当 时， ， ，
平分 ，
，
，
时， 的度数随 的改变而改变；当 时， ， ，
平分 ，
，
，
时， 的度数保持不变， ；
综上所述， 时， 的度数保持不变， ； 时， 的度
数保持不变， ．
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读
懂题意，能应用分类讨论思想解决问题．
【变式训练2】将一副三角尺如图①摆放， ， ，现将 绕点
C以 /秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为 秒．
(1)如图②，当 ______时， 恰好平分 ；
(2)如图③，当 ______时， 恰好平分 ；
(3)如图④，当 ______时， 恰好平分 ；
(4) 绕点C旋转到如图⑤的位置， 平分 ， 平分 ，求 的
度数；
(5)若 旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)4；(2)7；(3)10；(4) ；(5)不变， ，理由见解析；
【分析】（1）如图，由题意可得： ，而 ，
，
再证明 ，而 ，再建立方程求解即可；
（2）如图，证明 ， ，再建立方程求解即可；（3）如图，证明 ， ，同理： ，而
，可得 ，从而可得答案；
（4）先表示 ，可得 ，同理可得
，而 ，
再利用角的和差可得答案；
（5）先表示 ，可得 ，同理可得
，而 ，
再利用角的和差可得答案．
【详解】（1）解：如图，由题意可得： ，而 ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，而 ，
∴ ，解得： ；
（2）如图，∵ ， 平分 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ；
（3）如图，∵ ， 恰好平分 ，
∴ ， ，
同理： ，而 ，
∴ ，
解得： ；
（4）如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，而 ，
∴ ．
（5）如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的
应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键．
【变式训练3】如图，已知 ， ．(1)求 的度数；
(2)若射线 绕点 以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线 以每秒旋转5°的速度
逆时针旋转，设旋转的时间为 秒 ，试求当 时 的值；
(3)若 绕点 以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时 绕点 以每秒旋转10°的
速度逆时针旋转，设旋转的时间为 秒 ， 平分 ， 平分 ，在
旋转的过程中， 的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由．
【答案】(1)
(2)3或5
(3)不发生改变，其值为
【分析】（1）设 ，从而可得 ，再根据角的和差可得
，然后根据 建立方程，解方程即可得；
（2）先分别求出射线 与射线 重合时、射线 旋转至射线 的初始位置时、射线
旋转至射线 的初始位置时 的值，再分三种情况讨论，分别建立方程，解方程即可
得；
（3）先判断出在旋转的过程中， 一定在 的后面，再求出旋转 秒后，
的度数，然后根据角平分线的定义求出 的度数，最后根
据 即可得出结论．
【详解】（1）解：设 ，
， ， ，
又 ， ，解得 ，则
．
（2）解：当射线 与射线 重合时，则 ，解得 ，
当射线 旋转至射线 的初始位置时， ，当射线 旋转至射线 的初始位置时， ，
因此，分以下三种情况：
①当 时，则 ，解得 ，符合题设；
②当 时， ，解得 ，符合题设；
③当 时， ，解得 ，不符题设，舍去；
综上，当 时 的值为3或5．
（3）解：当 与 重合时，
则 ，解得 ，
当 时，在旋转的过程中， 一定在 的后面，
旋转 秒后， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即在旋转的过程中， 的度数不发生改变，其值为 ．
【点睛】本题综合考查了角的和差倍分问题、角平分线、一元一次方程的几何应用等知识
点，正确分情况讨论，并建立方程是解题关键．
类型三、运动时间问题
例．如图1，将两块直角三角板（一块含有 、 角，另一块含 角）摆放在直线
上，三角板 绕点 以每秒 的速度逆时针旋转．当 第一次与射线 重合时
三角板 停止转动，设旋转时间为 秒．
(1)当 时，求 和 的度数；
(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，当
第一次与射线 重合时三角板 立即停止转动．
①用含 的代数式表示射线 和射线 重合前 和 的度数；
②整个旋转过程中，当满足 时，求出相应的 的值．【答案】(1) ，
(2) ， ；② 或 或 或
【分析】（1）根据补角的定义以及旋转的性质计算即可；
（2）①首先求出t的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；②分
， ， ， ，根据已知等式 ，列
方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
当 时，三角板 绕点 逆时针旋转， 与 减小的度数相同为：
，
故 ，
；
（2）①由题意， ， ，
令 ，解得 ．
令 ，解得 ，
射线 与射线 重合之前 ，射线 与射线 重合之前 ，
．
当 时， ；
当 时， ，
即 ；
②由题意知， 运动时间为 ， 运动时间为 ．
当 时， ， ，
此时， ，不符合题意；
当 时， ， ，
令 ，
解得 或 ；当 ， ，
或 ，
此时 ，不符合题意；
当 时， 停止运动．
如图1，当 未过 延长线时，
，
，
，
此时 ，不符合题意．
如图2，当 已过 延长线时，
，
， ．
令 ，
解得 或 ．
综上， 或 或 或 ，
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差，在运动的条件下，用方程的思想解
决角的变化问题，重点要抓住角的变化过程中出现的每一种情况．
【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一
道几何题来体验一下．
(1)【发现规律】如图①，已知 ， ，则 的度数为
___________时， 为 的角平分线．
(2)【探索归纳】如图①， ， ， 为 的角平分线．猜想
的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
(3)【问题解决】如图②，若 ， ， ，射线 ， 同时绕点O旋转， 以每秒 顺时针旋转， 以每秒 逆时针旋转，当 与 重合
时， ， 同时停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，射线 为 ， ，
中任意两条射线夹角的角平分线．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3) 或 或
【分析】（1）先根据角的和差关系计算出 ，再根据
求解；
（2）根据角的和差关系、角平分线的定义即可求解；
（3）按照 平分 ， 平分 ， 平分 三种情况分别讨论，列出等
式，即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
当 时， 为 的角平分线，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
， ，
，
为 的角平分线，
；
（3）解：由题意知， 旋转了 ， 旋转了 ，
， ，
，
，即 与 旋转 秒后重合．
， ，
，
，即 旋转 秒后与 重合．
①当 为 ， 夹角的角平分线，即 平分 时，
旋转后的 ， ，
，解得 ；
②当 为 ， 夹角的角平分线，即 平分 时，
旋转后的 ，
，
解得 ；
③当 为 ， 夹角的角平分线，即 平分 时，
旋转后的 ， ，
，解得 ，
综上可知，t的值为 或 或 ．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，一元一次方程的实际应用，涉及射线的旋转问题，
有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解．
【变式训练2】点O为直线l上一点，射线 均与直线l重合，如图1所示，过点O
作射线 和射线 ，使得 ，作 的平分线 ．
(1)求 与 的度数；
(2)作射线 ，使得 ，请在图2中画出图形，并求出 的度数；
(3)如图3，将射线 从图1位置开始，绕点O以每秒 的速度逆时针旋转一周，作
的平分线 当 时，求旋转的时间．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)8秒或 秒
【分析】（1）根据 ， ，即可得出 的度数，根据角平分
线的定义得出 ，然后根据 得出 的度数；（2）根据题意得出 的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线 在 内部
时；②当射线 在 外部时；分别进行计算即可；
（3）根据 平分 得出 ，根据题意画出图形，计算 的角度，然
后计算时间即可．
【详解】（1）解：由题意可知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）知， ，
∴ ，
①当射线 在 内部时，如图2（1），
；
②当射线 在 外部时，如图2（2），
，
综上所述， 的度数为 或 ；
（3）∵ 平分 ，
∴ ，
①如图3，，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转的时间 （秒）；
②如图3（1），
此时， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转的时间 （秒）；
综上所述，旋转的时间为8秒或 秒．
【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨
论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线 旋转的过程中， 和 的相对位置在
不断的变化，以此进行分类画图．
【变式训练3】已知直线 和 交于点 ， 的度数为 ， 于 点，
平分 ．(1)当 ，求 与 的度数．
(2)当 ，射线 、 分别以 ， 的速度同时绕点 顺时针转动，求当射线
与射线 重合时至少需要多少时间？
(3)当 ，射线 以 的速度绕点 顺时针转动，同时射线 也以 的速度绕
点 逆时针转动，当射线 转动一周时射线 也停止转动．射线 在转动一周的过程
中当 时，求射线 转动的时间．
【答案】(1) ， ；(2) ；(3) 或 或
【分析】（1）根据角平分线的性质和邻补角的性质，结合图象做线段的和差计算即可；
（2）看作是 和 的追及问题，利用追及路程=速度差×时间的公式即可解决；
（3）注意分类讨论，① 和 重合前，② 和 重合后第一次夹角为 ，③ 即
将停止前和 夹角为 ．
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ．
（2）当 时， ，∴ ，∴ ，
∴当 和 重合时，时间 ．
（3）设转动的时间为t，当 时， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
由题意得， 转动一圈需要360÷15=24秒，
① ，解得 ；
② ，解得 ；
③ ，解得 ．则 转动的时间为 或 或 ．
【点睛】本题考查射线的转动，要结合图象找角度的等量关系，第三问的分类讨论有三种
情况，还要考虑 停止的时间．
课后训练
1．如图，已知 ， 在 内部， 在 的内部， ．(1)若 ，则 ______；若 ，则 _______（用含 的代
数式表示）；
(2)若 ，求 的度数；
(3)将 以OC为折痕进行翻折， 落在 处，将 以 为折痕进行翻折，
落在 处， 的度数变化时， 的度数是否发生变化？若变化，请说明理
由：若不变，请求出 的度数．
【答案】(1) ；
(2)
(3)不变，
【分析】（1）根据角度的和差，结合图形即可求解；
（2）根据图形分别得出 ，
，根据 ，建立方程，解方程即可求
解；
（3）根据题意得出 ， ，进而根据
即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ；
若 ，则 ；
故答案为： ； ．
（2）∵ ， ，
∵ ，
∵
∴
解得：
∴；
（3）解：不变， ，理由如下，如图，
设 ，由（1）可得 ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数不发生变化．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
2．已知 ， ， 平分 ．
(1)如图1， 在 的内部．
①若 ， ____________， ____________；
②若 ， ____________， ____________（都用含 的式子表示）：
(2)如图2，将 绕点O顺时针旋转，使射线 在 的内部，射线 在
的外部．设 的度数为 ，当 时，求 的值．
(3)将图1中的 绕点O逆时针旋转，使射线 在 的外部，射线 在的内部，如图3， 平分 ，请猜想 和 有怎样的数量关系，并
说明理由．
【答案】(1)① ， ；② ，
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义及角的和差关系求解；
（2）由角的和差关系可知 ，由角平分线的定义可知
，进而求出 ，再根据
列一元一次方程，即可求出 的值；
（3）设 ，则 ，进而求出 ，
，由角平分线的定义可知 ，进而求出
，再根据 ，可得
．
【详解】（1）解：①因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
②若 ，
则 ，
，
故答案为：① ， ；② ， ；
（2）解：因为 ， ， ，
所以 ．
因为 平分 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（3）解： ，
理由如下：
设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【点睛】本题考查角平分线的定义、角度计算问题、解一元一次方程等知识点，解题的关
键是看懂图形，能够运用角的和差关系进行推理．
3．将一副直角三角板如图1摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ，
， ， ， ），保持三角板 不动，将
三角板 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转直至 边第一次重合在直线 上，整
个过程时间记为t秒．
(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了 秒；
(2)如图2，旋转三角板 ，使得 、 在直线 的异侧，请直接写出 与数量关系；如图3，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧，
请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若在三角板 旋转的同时，另一个三角板 也绕点O以每秒 的速度顺时针旋
转，当 边第一次重合在直线 上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示 与 ；
②在旋转的过程中，当t为何值时 平分 ．
【答案】(1)9；(2) ；成立，证明见解析
(3)① ， ；②
【分析】（1）根据 即可解决问题；
（2）①结论： ；由 ， ，
可得 ；
②如图3中，结论仍然成立．证明方法类似；
（3）① ， ；
②由 平分 ，可得 ，由此列出方程 ，即可
解决问题；
【详解】（1）解：如图1中，
∵ ，∴ ．故答案为9．
（2）①结论： ；理由：如图2中，
∵ ， ，∴ ；
②如图3中，结论仍然成立．
理由：∵ ， ，
∴ ．
（3）① ， ；
②∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，解得： ，
∴当t为 时， 平分 ．
【点睛】本题考查三角形综合题、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．如图， ．
(1)若 平分 ，求 的度数；
(2)渃 ，求 的度数；
(3)若射线 从射线 的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒 的速度旋转，同时射
线 从射线 的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒 的速度旋转，射线 旋转的
时间为 （单位：秒），且 ，求当 时 的值．
【答案】(1)(2)
(3)3或5
【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；
（2）设 ，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出 和
的度数，依据 列出方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的度数为 ．
（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∵
∴ ，解得： ；
当射线 与射线 相遇后且均在 内部时，如图，
由题意得： ， ，
∴ ，
，
∵
∴
解得： ；
综上所述，当 时 或5．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论的思想方法的应用，本题
是新定义型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
5．如图①，已知线段 ，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD
的中点．
(1)已知 ，求EF的长．
(2)若 ，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？
(3)类比应用
①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在 内部转动，OE、OF
分别平分 和 ，若∠ ，直接写出 的度数．
②由此，你猜想 与 、 会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即可）
【答案】(1)10
(2)10；EF= （AB+CD）
(3)①80°；②∠EOF= ∠AOB+ ∠COD．
【分析】（1）欲求EF，需求EC+DC+DF．已知CD，需求EC+DF．由E，F分别是AC，
BD的中点，得EC= AC，DF= DB，那么EC+DF= AC+ DB= （AC+DB），进而解决
此题．
（2）按照（1）的思路进行解答即可．
（3）①欲求∠EOF，需求∠EOC+∠DOF+∠COD．已知∠COD，需求∠EOC+∠DOF．由
OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，得∠EOC= ∠AOC，∠DOF= ∠DOB，进而解决此
题．
②按照①的方法求解即可．
【详解】（1）∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC= AC，DF= DB．
∴EC+DF= AC+ DB＝ (AC+DB)．
又∵AB=18，CD=2，
∴AC+DB=AB-CD=18-2=16．
∴EC+DF= (AC+DB)=8．
∴EF=EC+DF+CD=8+2=10．
故答案为：10．
（2）∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC= AC，DF= DB．
∴EF=EC+CD+DF= AC+ DB+CD= （AC+DB）+CD= （AB-CD）+CD= （AB+CD）．
又∵AB=18，CD=2，
∴EF= （AB+CD）= ．
（3）①∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠EOC=∠AOC，∠DOF= ∠DOB．
∴∠EOC+∠DOF= ∠AOC+ ∠DOB= （∠AOC+∠DOB）．
又∵∠AOB=140°，∠COD=20°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=120°．
∴∠EOC+∠DOF=60°．
∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=60°+20°=80°．
②由（1）得：∠EOC+∠DOF= （∠AOC+∠DOB）．
∵∠AOC+∠DOB=∠AOB-∠COD，
∴∠EOC+∠DOF= （∠AOB-∠COD）．
∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD= （∠AOB-∠COD）+∠COD= ∠AOB+ ∠COD，
故答案为：∠EOF= ∠AOB+ ∠COD．
【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的
定义是解决本题的关键．
