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专题 04 轴对称问题的三种考法
类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题）
例1．如图1，在平面直角坐标系 中，直线AB与 轴交于点A、与 轴交于点B，且∠ABO＝45°，A
（－6，0），直线BC与直线AB关于 轴对称.
(1)求 ABC的面积；
(2)如△图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角 BDE，求证：
AB⊥AE； △
(3)如图3，点E是 轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是
线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并
加以说明.
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系 中，点 为坐标原点，点 在 轴上，点 ， ，
， ．
（1）如图①，若点 为 的中点，求 的长；
（2）如图②，若点 在 轴上，且 ，求 的度数；
（3）如图③，设 平分 交 轴于点 ，点 是射线 上一动点，点 是射线 上一动点，的最大值为 ，判断是否存在这样点 ， ，使 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点
， ，并直接写出作法和 的最小值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以OB为一边作等边 OAB（点A在x轴正半轴上）．
△
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边 ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD； △
②若 ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）△如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请
在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系 中，点 为坐标原点，点 在 轴上，点 ， ，
， ．
（1）如图①，若点 为 的中点，求 的长；
（2）如图②，若点 在 轴上，且 ，求 的度数；
（3）如图③，设 平分 交 轴于点 ，点 是射线 上一动点，点 是射线 上一动点，
的最大值为 ，判断是否存在这样点 ， ，使 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点， ，并直接写出作法和 的最小值；若不存在，请说明理由．
类型二、几何图形中的最短路径问题
例．已知点 在 内．
（1）如图1，点 关于射线 的对称点是 ，点 关于射线 的对称点是 ，连接 、 、 .
①若 ，则 ______；
②若 ，连接 ，请说明当 为多少度时， ；
（2）如图2，若 ， 、 分别是射线 、 上的任意一点，当 的周长最小时，求
的度数．
【变式训练1】如图，将边长为 的正三角形纸片 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕
（如图①），点 为其交点.
（1）探求 与 的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若 分别为 上的动点.
①当 的长度取得最小值时，求 的长度；
②如图③，若点 在线段 上， ，则 的最小值= .【变式训练2】如图，等边 （三边相等，三个内角都是 的三角形）的边长为 ，动点 和动
点 同时出发，分别以每秒 的速度由 向 和由 向 运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止
运动，设运动时间为 ， ， 和 交于点 ．
（1）在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由；
（2）连接 ，求 为何值时， ；
（3）若 于点 ，点 为 上的点，且使 最短．当 时， 的最小值为多少？
请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【变式训练3】如图1，已知直线 的同侧有两个点 、 ，在直线 上找一点 ，使 点到 、 两点的距
离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 的对称点，对称点与另一点的连
线与直线 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2，在平面直角坐标系内，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，动点 在 轴上，求
的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形 中， ， ， 的角平分线交 于点 ， 、 分别
是 和 上的动点，则 的最小值为______.
（3）如图4， ， ， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点，则
的最小值为__________.
【变式训练4】已知：如图， ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝ ∠ABC，过点
C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
(1)直接写出图中除 ABC外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD＝ PC；
(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当 DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
类型三、最短路径问题的实际应用
例1.如图1，直线 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且
桥与河岸垂直．使村庄 经桥过河到村庄 现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作 ，交 于点 ，点 ．在 处建桥．路径是 ．
小红：作 ，交 于点 ，点 ；把 平移至BE，连AE，交 于 ，作 于 ．在 处
建桥．路径是 ．（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新
桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每
小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千
米处行驶求这两桥之间的距离．
【变式训练1】（1）如图1， ， 是直线 同旁的两个定点，请在直线 上确定一点P，使得 最
小；
（2）如图2，已知 ，P是 内一点， ．请在 上找一点 ， 上找一点 ，使
得 的周长最小，画出图形并求出这个最小值．
【变式训练2】阅读下列材料，解决提出的问题：
最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C
到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B
的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都
保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′
+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任务：
数学思考：（1）材料中划线部分的依据是 ．（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想
迁移应用
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若
AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．
