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2025 年贵州省中考数学真题
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷．
2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分．
3．不能使用计算器．
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项
正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
.
1 如果向前运动 记作 ，那么向后运动 ，记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正负数的实际应用，根据正负数表示一对相反意义的量，向前为正，则向后为负，进行
判断即可．
【详解】解：向前运动 记作 ，那么向后运动 ，记作 ；
故选：C．
2. 下列图中能说明 一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等，故 ，符合题意；
B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得： ，不符合题意；
C、平角的定义得到 ，直角大于锐角，故 ，不符合题意；
D、由图可知， ，不符合题意；
故选A
3. 贵州省的“花江峡谷大桥”因跨越花江大峡谷而得名，其中主桥跨径1420m，桥面至水面高度625m．
建成后，会成为新的世界第一高桥和世界第一的山区跨径桥梁．1420这个数用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的形式为 ，其中 ， 为整数，根据科学记数
法的表示方法，进行表示即可．
【详解】解： ；
故选：C．
的
4. 如图，小红想将一张矩形纸片沿 剪下后得到一个 ，若 ，则 度数是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
5. 如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法， 轴下方， 轴右侧的区域为第四象限，进
行判断即可．
【详解】解：由图可知，点 在第四象限；
故选D．
6. 已知 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可．
【详解】解：∵ 是关于 的方程 的解，
∴
∴
故选C．
7. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理
如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的
频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐
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学科网（北京）股份有限公司渐稳定在 附近，即可得出答案．
【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（ 、 等），当次数增加到
500次及以上时，频率稳定在 ，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 ．
故选：B．
8. 若分式 的值为0，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： 且 ，
解得： ；
故选A．
9. 如图，已知 ，若 ，则 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选C．
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学科网（北京）股份有限公司10. 如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，
容器内水面升高的速度（ ）
A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果．
【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽，
∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快；
故选B．
11. 如图，在 中， ，以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点
，则 的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到 ，进而推出 为等边三角形，
得到 ，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：根据作图可知： ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
故选D．
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学科网（北京）股份有限公司12. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，过反比例函数图象上点
作 轴垂线，垂足为点 ，交 的图象于点 ，点 的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；
②点 的坐标为 ；
③当 时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出 点的坐标进而求出 的长，判断①，联
立两个函数解析式，求出 点坐标，判断②，图象法判断③即可．
【详解】解：∵点 的横坐标为1，
∴ ，
∴ ，
∵过反比例函数图象上点 作 轴垂线，垂足为点 ，交 的图象于点 ，
∴ ；
∴ ；故①正确；
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学科网（北京）股份有限公司联立 ，解得： 或 （舍去）；
∴点 的坐标为 ，故②正确；
由图象可知，当 ，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；
故选C．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球
的概率是_______________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现
种可能，那么事件 的概率 ．
由红球的个数及球的总数，根据概率的计算公式即可．
【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ，
故答案为： ．
14. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 与 的大小关系是 _____________b．（填“ ”
“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解
题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．
【详解】解：由数轴得： ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 一元二次方程 的根是___________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解．
【详解】解：
， ，
故答案为： ， ．
16. 如图，在矩形 中，点E，F，M分别在 ， ， 边上， 分别交对角线
、线段 于点G，H，且 是 的中点．若 ，则 的长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 ，交 于 ，过 作 于 ，求解 ，证明 是 的
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学科网（北京）股份有限公司中位线，可得 ， ， ，证明四边形 是平行四边形，可得
，而 ， ，求解 ，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，连接 ，交 于 ，过 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，而 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的
应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算： ；
（2）先化简： ，再从 中选取一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】（1） ；（2） ，当 时，原式 ；当 时，原式 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算绝对值和乘法，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先把两个分式通分，再约分化简，接着根据分式有意义的条件确定a的值，最后代值计算即可得到答
案．
【详解】解：（1）
；
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学科网（北京）股份有限公司（2）
，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
∴当 时，原式 ；当 时，原式 ．
18. 小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔 的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于
桔槔上 点，并可绕 点转动．在横杆 处连接一竹竿，在横杆 处固定 的物体，且 ．若
图中人物竖直向下施加的拉力为 ，当改变点 与点 的距离 时，横杆始终处于水平状态，小星发现
与 有一定的关系，记录了拉力的大小 与 的变化，如下表：
点 与点 的距离
1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
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学科网（北京）股份有限公司（1）表格中 的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画 与 之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，
描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当 的长增大时，拉力 是增大还是减小？请说明理由．
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）当 的长增大时，拉力 减小，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的
关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出 是 的反比例函数．
（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；
（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；
（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【小问1详解】
解：根据表格中的数据发现：
，
因此点 与点 的距离 与拉力F的乘积不变，
∴ ；
【小问2详解】
解： 与 之间的函数图象，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F
随l的增大而减小，所以当 的长增大时，拉力 减小．
19. 贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年
对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10
次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环；
（2）你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员
再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或
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学科网（北京）股份有限公司“中位数”）；
（3）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出
一种即可）
【答案】（1） ，
（2）甲；平均数 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义计算即可得解；
（2）求出甲、乙队员成绩的平均数和方差，比较即可得解，再结合中位数、众数的定义求解即可；
（3）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：甲队员的射击成绩为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，故甲队员成绩的众数为 环；
乙队员的射击成绩为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，乙队员成绩的中位数为 环；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
故 ， ，
∴甲队员射击的整体水平高一些，
如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
，
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学科网（北京）股份有限公司此时平均数为 ，众数为 ，中位数为 ，
故会发生改变的统计量是平均数；
【小问3详解】
解：甲队员的射击成绩为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，故甲队员成绩的中位数为
环，甲队员成绩的众数为 环，
由（2）可得 ，
∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，
∴补全丙队员的成绩如下：
此时丙队员10次成绩的众数为 、中位数为 、平均数均
，均大于甲队员．
20. 如图，在 中， 为对角线 上的中点，连接 ，且 ，垂足为 ．延长 至
，使 ，连接 ， ，且 交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 是菱形；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1） 垂直平分 ，根据线段垂直平分线得到 ，即可证明其为菱形；
（2）先由等腰三角形可设 ，求出 ，由 角直角三角形得到 ，
可得 为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明 ，则 ，由勾股定理得
，最后由 即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ 为对角线 上的中点，且 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 是菱形；
【小问2详解】
解：如图：
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
设
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理， 角直角三角形的性质，
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
21. 贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，
某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶
共 ，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共 ．
（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订
单，要求4个月生产抹茶不少于 ，至少需要安装多少条A型生产线？
【答案】（1）一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶
（2）至少需要安装3条A型生产线
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶 ，根据“同时开启一条A型和
一条B型生产线每月可以生产抹茶共 ，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共
”建立二元一次方程组求解；
（2）设需要安装 条A型生产线，则安装B种生产线 条，根据“4个月生产抹茶不少于 ”
建立一元一次不等式求解即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：设一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶 ，
由题意得： ，
解得： ，
答：一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶 ；
【小问2详解】
解：设需要安装 条A型生产线，则安装B种生产线 条，
由题意得： ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 最小取 ，
答：至少需要安装3条A型生产线．
的
22. 某小区在设计时，计划在如图① 住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知
，该地冬至正午太阳高度角 为 ．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知
条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离 的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需
将活动中心沿 方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据： ．结果保留小数点后一位）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】任务一： ，任务二：该活动中心移动了2米；
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用；
任务一：如图，过 作 于 ，结合题意可得：四边形 为矩形， ，可得
， ，求解 ，进一步可得答案；
任务二：如图，过 作 的平行线，过 作 的平行线，两线交于点 ， 交于点 ，过 作
于 ，可得 ，四边形 为矩形， ，求解
，进一步可得答案.
【详解】解：任务一：如图，过 作 于 ，
结合题意可得：四边形 为矩形， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
任务二：如图，过 作 的平行线，过 作 的平行线，两线交于点 ， 交于点 ，过 作
于 ，
第20页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴该活动中心移动了2米.
23. 如图，在 中， 是直角， 为 的中点， 为 的切线交 的延长线于点 ．连
接 ， ．
的
（1）点 与 位置关系是 ，线段 与线段 的数量关系是 ；
（2）过 点作 ，与 的延长线交于点 ．根据题意补全图形，判断 的形状，并说明
理由；
（3）在（2）的条件下，若 的半径为 ，求 的长．
【答案】（1） 在线段 上； ；
（2）补图见解析， 为等腰三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案；
第21页/共32页
学科网（北京）股份有限公司（2）补图如下， 连接 ，证明 ， ，结合
，可得 ，进一步可得结论；
（3）如图，过 作 于 ，求解 ， ， ，
，可得 ，从而可得答案.
【小问1详解】
解：∵ 是直角，
∴ 为直径，
∵ 为圆心，
∴ 在线段 上；
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：补图如下， 为等腰三角形，理由如下：
连接 ，
∵ 为 的切线交 的延长线于点 ，
∴ ，
∴ ，
第22页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
【小问3详解】
解：如图，过 作 于 ，
∵ 的半径为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第23页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，
作出合适的辅助线是解本题的关键.
24. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛
物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平
距离 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 ，运动路径近似为抛物线 ，且
，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 ，运动路径近似为抛物线 ，且
．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略
不计）
（1）如图②，当 时，若点 坐标为 ，求抛物线 的表达式；
（2）在（1）的条件下，若 ，在水面上有一个截面宽 ，高 的矩形 的障碍
物，点 的坐标为 ，判断此时石块沿抛物线 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
第24页/共32页
学科网（北京）股份有限公司（3）小星在抛掷石块时，若 的顶点需在一个正方形 区域内（包括边界），且点 在 和
之间（包括这两点），其中 ，求 的取值范围．（在抛掷过程中正方形
与拋物线 在同一平面内）
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到 ，然后求出 ，然后将 代入求
解判断即可；
（3）首先求出 ，然后由 越小开口越大， 越大开口越小，点 在 和 之间（包括
这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点 时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且
经过点 时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
∵当 时，
∵点 坐标为
∴
第25页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴
∴抛物线 的表达式为 ；
【小问2详解】
不能，理由如下：
∵ ，点 坐标为
∴
∴
∵点 的坐标为 ，
∴
∴将 代入
∴此时石块沿抛物线 运动时不能越过障碍物；
【小问3详解】
∵正方形 ，
∴
∴如图所示，
第26页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∵抛物线开口向下
∴
∵ 越小开口越大， 越大开口越小，点 在 和 之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点 时，开口最大，此时a最大
∴设 的表达式为
将 代入得，
解得 ；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点 时，开口最小，此时a最小
∴设 的表达式为
将 代入得，
解得 ；
∴ 的取值范围为 ．
第27页/共32页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是
解题的关键．
25. 如图，在菱形 中， ，点 为线段 上一动点，点 为射线 上的一点（点
与点 不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点 与线段 的中点 重合，则 度，线段 与线段 的位置关系
是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点 运动过程中，点 在线段 上，且 ，探究线段 与线
段 的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点 运动过程中，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，射线 交射线 于点 ，若
，求 的长．
【答案】（1） ， ；（2） ，理由见解析；（3） 的长为 或 .
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质证明 为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案；
（2）如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，证明 为等边三角形，可得
， ，求解 ， ，
第28页/共32页
学科网（北京）股份有限公司，可得 ，进一步可得结论；
（3）如图，当 在线段 上，记 与 交于点 ，证明 ，可得 ，设
，则 ，可得 ，证明 ，再进一步解答即可；如图，当 在
线段 上时，延长 交 于 ，同理可得： ，设 ，而 ，
则 ，可得 ，证明 ，再进一步可得答案.
【详解】解：（1）∵在菱形 中，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵点 与线段 的中点 重合，
∴ ， ；
（2）如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵点 在线段 上，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，当 在线段 上，记 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
如图，当 在线段 上时，延长 交 于 ，
同理可得： ， ，
∴ ，
设 ，而 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ，
综上： 的长为 或 .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，
含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
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