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专题 06 特殊平行四边形的两种考法全攻略
类型一、最值问题
例1．（将军饮马）如图，在菱形 中， ，E是 边的中点，P是 边上一动点，
的最小值是 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．0.5
例2．（中点模型）如图，矩形 ，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点
A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为（ ）
A． B．2 C． D．
例3．（截补模型）如图，在 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点．且 ，连接 、 ，则 的最小值为______．
例4．（瓜豆模型）如图，平面内三点 ， ， ， ， ，以 为对角线作正方形 ，
连接 ，则 的最大值是______．
【变式训练1】如图，矩形 中， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中
点，连接 ，则 的最小值是___________．
【变式训练2】如图，已知线段 ，点C在线段 上，且 是边长为4的等边三角形，以
为边的右侧作矩形 ，连接 ，点M是 的中点，连接 ，则线段 的最小值为
_______________．【变式训练3】如图，在正方形 中，边长 ，点Q是边 的中点，点P是线段 上的动点，
则 的最小值为 _____．
【变式训练4】如图，在菱形 中， ， ，点 ， 在 上，且 ，连接 ，
，则 的最小值为 ______
【变式训练5】如图，在 中， ，且 ， ，点D是斜边 上的一个动点，
过点D分别作 于点M， 于点N，连接 ，则线段 的最小值为_____．
类型二、动点问题
例1．如图，在正方形 中，E为 的中点，以A为原点， 、 所在直线为x轴、y轴，建立平
面直角坐标系．正方形 的边长是方程 的根．点P从点B出发，沿 向点D运
动，同时点Q从点E出发，沿 向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒， 的面积
为S．
(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数关系式；
(3)当 是以 为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
例2.如图，在长方形 中， ， ，点 为 延长线上一点，且 ，点 从点 出发，
沿 — — — 向终点 运动．同时点 从点 出发，沿 — — — 向终点 运动，它们的速度均
为每秒1个单位长度．设 的面积为 ，点 运动的时间为 秒．
(1)当 时， ；当 时， ．
(2)当 时，用含 的代数式表示 ．直接写出结果并化简．
(3)当点 在 边上，且 为等腰三角形时，直接写出 的取值或者范围．【变式训练1】如图，在 中， 为锐角， ， ， ．动点 从点 出发，
以每秒2个单位的速度沿 运动．同时，动点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿
运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 的运动时间为
秒．
(1)点 在 上运动时， _____________；点 在 上运动时， _____________．（用含 的代
数式表示）
(2)点 在 上， 时，求 的值．
(3)当直线 平分 的面积时，求 的值．
(4)若点 的运动速度改变为每秒 个单位．当 ， 的某两个顶点与 、 所围成的四边形
为菱形时，直接写出 的值．
【变式训练2】如图，长方形 中， ， ， ，动点P从点
B出发，以每秒 的速度沿 的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒 的速度沿
的方向向终点C运动．以 为边向右上方作正方形 ，其中一个动点到达终点时，另一个动
点也随之停止运动，设点 同时出发，运动时间为t秒 ．
(1)当 时， ＝______（用含t的代数式表示）；(2)当点N落在 边上时，求t的值；
(3)当正方形 与长方形 的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形 与长方形 的重叠部分为三角形．
【变式训练3】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点M在AD上，且AM＝4，动点P从点B出发，以
每秒1个单位长度的速度，沿B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，运动时间为t秒．
(1)当点P在BC边上时，BP＝ ，CP＝ ．（用含t的代数式表示）
(2)点P在运动过程中，△ABP是直角三角形时，t的取值范围为 ．
(3)点P在运动过程中，△DMP是等腰三角形时，t的值为 ．
(4)连接CM，当点P在线段CM的垂直平分线上时，t的值为 ．
