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专题 09 线段上的动点问题的四种考法全梳理
目录
【考法一、线段定值问题】...........................................................................................................1
【考法二、求点的运动时间】.....................................................................................................10
【考法三、线段之间数量关系】.................................................................................................16
【考法四、求线段】.....................................................................................................................21
【课后练习】................................................................................................................................28
【考法一、线段定值问题】
例1．如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上一点，且 ．动点P从点
A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．
(1)写出数轴上点 B 表示的数________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时
出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
(3)若 M为 的中点，N为 的中点：点P在运动的过程中，线段 的长度是否发生变
化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长．
【答案】(1)
(2)6秒
(3)不变，6
【分析】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，
解答本题的关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
（1）根据 ，点 表示的数为8，即可得出 表示的数；再根据动点 从点 出发，
以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点 表示的数；
（2）点 运动 秒时，在点 处追上点 ，则 ， ，根据 ，
列出方程求解即可；
（3）分①当点 在点 、 两点之间运动时，②当点 运动到点 的左侧时，利用中点的
定义和线段的和差求出 的长即可．
【详解】（1）解： 点 表示的数为8， 在 点左边， ，
点 表示的数是 ，
动点 从点 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
点 表示的数是 ．
故答案为： ， ；
（2）设点 运动 秒时，在点 处追上点 ，
则 ， ，
，
，
解得： ，
点 运动6秒时追上点 ；
（3）线段 的长度不发生变化，都等于6；理由如下：
①当点 在点 、 两点之间运动时：
；
②当点 运动到点 的左侧时：
，
线段 的长度不发生变化，其值为6．
例2．如图，点 是定长线段 上一点， 、 两点分别从点 、 出发以1厘米/秒，2
厘米/秒的速度沿直线 向左运动（点 在线段 上，点 在线段 上）．
（1）若点 、 运动到任一时刻时，总有 ，请说明点 在线段 上的位置；
（2）在（1）的条件下，点 是直线 上一点，且 ，求 的值；
（3）在（1）的条件下，若点 、 运动5秒后，恰好有 ，此时点 停止运动，
点 继续运动（点 在线段 上），点 、 分别是 、 的中点，下列结论：①
的值不变；② 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确
的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB的 处；（2） 或 ；（3）结论② 的值不变正确，
.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据
，可知点 在线段 上的位置；
（2）由 可知 ，当点Q在线段AB上时，等量代换可得
，再结合 可得 的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得
，易得 的值.
（3）点 停止运动时， ，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以
含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知 的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则 ，
由 得 ，即
， ， ，即
所以点P在线段AB的 处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由 可知 ，
， ，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
， ， ，
综合上述， 的值为 或 ；
（3）② 的值不变.
由点 、 运动5秒可得 ，如图，当点M、N在点P同侧时，
点 停止运动时， ，
点 、 分别是 、 的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以 ；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点 停止运动时， ，
点 、 分别是 、 的中点，
，
，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以 ；
所以② 的值不变正确， .
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
变式1．【感悟体验】如图 ， 三点在同一直线上，点 在线段 的延长线上，
且 ，请仅用一把圆规在图中确定 点的位置．
【认识概念】在同一直线上依次有 四点，且 ，那么称 与 互为
“对称线段”，其中 为 的“对称线段”， 亦为 的“对称线段”．
如图 ，下列情形中 与 互为“对称线段”的是 （直接填序号）．
； ； ．
【运用概念】如图 ， 与 互为“对称线段”，点 为 的中点，点 为 的中
点，且 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的长；
【拓展提升】如图 ，在同一直线上依次有 四点， 且 （ 为常
数），点 为 的中点，点 在 上且 ．是否存在 的值使得 的长为
定值？若存在，请求出 的值以及这个定值（用含 的代数式表示）；若不存在，请说明
理由．
【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】 ；【运用概念】（1） ，
（2） ，【拓展提升】当 时, 为定值 ．
【分析】【感悟体验】 ：以点 为圆心以 长度为半径交直线 于点 即可求解；
【认识概念】 ，故①不符合题意； ，
，故 不符合题意； 设 ，则 ，同理
可得 ，即可求解；
【运用概念】
设点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，则点 ， 对应的数为 ， ，
则点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，即可求解；
【拓展提升】设点 对应的数为： ，点 对应的数为： ，则点 、 对应的数分别为：
， ，求出 ，即
可求解；本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是
解题的关键.
【详解】【感悟体验】：以点 为圆心以 长度为半径交直线 于点
则点 为所求点，如下图：
【认识概念】 ，故 不符合题意；
，故 不符合题意；
设 ，则 ，
同理可得： ，故 符合题意，
故答案为： ；
【运用概念】设点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，则点 ， 对应的数为 ，
，
则点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，
（ ）当 ，即 ，则 ，
则 ，
（ ）当 ，即 ，
则 ，
【拓展提升】存在，理由：
设点 对应的数为： ，点 对应的数为： ，
则点 、 对应的数分别为： ， ，
则点 对应的数为 ，
而 ，
则点 对应的数为： ，
则 ，
当 时， 为定值 ．
变式2．已知 ， ， 和 分别为线段 ， 的中点．
（1）若 重合， 在线段 上，如图1，求 的长度；（2）①如果将图1的线段 沿着 向右平移 个单位，求 的长度与 的数量关系；
②当 为多少的时， 的长度为9；
（3）如果 保持长度和位置不变，点 保持图1的位置不变，改变 的长度，将点
沿着直线 向右移动 个单位，其余条件不变，① ② ，请问以上两
个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？
【答案】（1）2.5，（2）2.5+n，6.5，（3） 一定为定值，定值是2.5．
【分析】（1）根据中点求出BM和BN长，相减即可；
（2）①根据题意可知，AD=BC=n，根据中点表示出BN长，BM-BN即可；②列出关于n的
方程求解；
（3）根据题意可知，CD长为8+m，求出两个式子的值，判断即可．
【详解】解：（1）∵ ，M是线段AB的中点，
∴BM=6.5，
∵ 重合，
∴BD=CD=8，N是线段CD的中点，
∴CN=BN=4，
MN=BM-BN=6.5-4=2.5；
（2）①由（1）得，BM=6.5，CN=4，根据平移可知，BC=n，
BN=CN-CB=4-n，
MN=BM-BN=6.5-（4-n）=2.5+n；
②根据题意得，2.5+n=9，
解得，n=6.5，
∴当 =6.5时， 的长度为9；
（3）根据题意，CD的长为8+m，BC=m，BM=6.5，
∵N是线段CD的中点，
∴ ，
当N点在B点左侧时，BN=CN-CB= ，
MN=BM-BN= ，
，为定值；
，为定值；当N点在B点右侧时，BN=CB-CN= ，
MN=BM+BN= ，
，为定值；
，不为定值；
综上所述， 一定为定值，定值是2.5．
【点睛】本题考查了线段的和差和线段中点的意义以及一元一次方程，体现了分类讨论思
想，能够根据中点的意义，利用字母表示线段长是解决问题的关键．
变式3．已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求 的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
① 是定值；
② 是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E
在BC之间，F在E右侧；
【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴ ＝2；
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴ ＝2；
③D在A点左侧时：
BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
∴ ＝2；故 ＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①
EF＝FC﹣EC＝ BC﹣AC+AE＝ （AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣ AB＝ AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
∴ ＝2．
②
EF＝ BC+CE＝ BC+AE﹣AC＝ （AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣ AB﹣ AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴ ＝2．
③
EF＝CE﹣CF＝CE﹣ BC＝AC﹣AE﹣ BC＝AC﹣AE﹣ （AC﹣AB）＝ AC﹣AE+
AB，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴ ＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
【考法二、求点的运动时间】
例．定义：若线段上的一个点把这条线段分成 的两条线段，则称这个点是这条线段的
三等分点，如图1，点C在线段 上，且 ，则点C是线段 的一个三等分点，
显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个．
(1)已知：如图2， ，点P是 的三等分点，直接写出 _________ ；
(2)已知，线段 ，如图3，点P从点A出发以每秒 的速度在射线 上向点B
方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同
向而行且速度始终为每秒 ，设运动时间为t秒．
①若点P、点Q同时出发，且当 时，求t的值；
②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段 的四等分点时，直接写出t的值为______．
【答案】(1)30或15
(2)①4秒或14秒；② 秒或 秒或135秒
【分析】本题考查了线段n等分点的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的
关键．
（1）分 、 两种情况求解即可；
（2）①分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可；
②分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可．
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ．
综上所述： 的长为 或 ．
故答案为30或15；（2）①当点P、点Q相遇前，由题意得，
，
解得 ；
当点P、点Q相遇后，由题意得，
，
解得 ．
综上可知，t的值为4秒或14秒；
②当 时， ．
点P、点Q相遇前，
当 时，由题意，得
，
解得 ；
当 时，由题意，得
，
解得 ；
点P、点Q相遇后，
当 时，由题意，得
，
解得 ；
当 时，由题意，得
，
解得 （舍去）；
综上可知，t的值为 秒或 秒或135秒．
故答案为： 秒或 秒或135秒．
变式1．已知线段 ，点 、点 都是线段 上的点．
(1)如图1，若点 为 的中点，点 为 的中点，求线段 的长；(2)若 ，点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，请自己作图并求 的长；
(3)如图3，若 ， ，点 ， 分别从 、 出发向点 运动，运动速度分别为
每秒移动1个单位和每秒移动4个单位，设运动时间为 秒，点 为 的中点，点 为
的中点，若 ，求 的值．
【答案】(1)线段 的长为30；
(2) 的长为25或35；
(3) 或 ．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及线段中点的性质．
（1）由 即可求出答案；
（2）分两种情况讨论，点 在点 的左侧或点 在点 的右侧，结合图形，列式可求出答
案；
（3）可得 ， ，则 或 ，由
可得方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵M为 的中点，N为 的中点，
∴ ， ，
∴
；
（2）解：如图，点 在点 的左侧，
∵点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，
∴ ， ，
∴；
如图，点 在点 的右侧，
∵点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
综上， 的长为25或35；
（3）解：运动t秒后， ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，F为 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
或 ，
由 得： 或 ，
解得： 或 ．
变式2．【新知理解】
如图①，点C在线段 上，图中共有三条线段 、 和 ，若其中有一条线段的长
度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．
（2）若 ，点C是线段 的“巧点”，则 ______ ；
【解决问题】
（3）如图②，已知 ．动点P从点A出发，以 的速度沿AB向点B匀速移
动：点Q从点B出发，以 的速度沿 向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中
一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为 或 或 ，理由见详解
【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解；
（2）由“巧点”的定义，按 的位置进行分类讨论① ，②
，③ ，即可求解；
（3）①当 是 、 的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得 ，列方程即可求解；
(ⅱ) 由“巧点”的定义得 ，
②当 是 、 的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得 ， (ⅱ) 由“巧点”的定
义得 ，即可求解．
【详解】（1）解： C是线段 的中点，
，
C是线段 的“巧点”；
故答案：是；
（2）解：①如图，点C是线段 的“巧点”，
，
；
②如图，点C是线段 的“巧点”，
，
；
③如图，点C是线段 的“巧点”，
，
；故答案： 或 或 ；
（3）解：t为 或 或 ，理由如下：
①当 是 、 的“巧点”，
(ⅰ)如图，
，
， ，
，
，
解得： ，
(ⅱ)如图，
，
， ，
，
，
解得： ；
②当 是 、 的“巧点”，
(ⅰ)如图，
，
， ， ，
，
，
，解得： ；
(ⅱ)如图，
， ，同理可得： ，解得： ；
此种情况不合题意，舍去；
综上所示：当t为 或 或 时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段
的“巧点”．
【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转
化为一元一次方程进行求解是解题关键．
【考法三、线段之间数量关系】
例．如图，在直线 上，线段 ，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在
直线 上运动，M为 的中点，N为 的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段 上运动，当 时， ______；
(2)若点P在射线 上运动，当 时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段 的反向延长线上运动时，线段 有怎样的数量关系？请写
出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)3
(2)当 时，点 的运动时间 的值为 或20
(3)
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题
意，清晰地分类讨论是解本题的关键．
（1）由中点的含义先求解 ，证明 ，再求解 ，
从而可得答案；
（2）当点 在线段 上， ，当点 在线段 的延长线上， ，再建
立方程求解即可；
（3）先证明 ， ，可得 ，
从而可得结论．
【详解】（1）解：∵ 为 的中点， 为 的中点， ，
∴ ，
∴ ，∵线段 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
（2）当点 在线段 上， ，如图，
为 的中点，
∴ ，
解得 ，
当点 在线段 的延长线上， ，如图，
同理：
解得 ，
综上所述，当 时，点 的运动时间 的值为 或20；
（3）当点 在线段 的反向延长线上时， ，理由如下：
如图，
为 的中点， 为 的中点，
变式1．如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且
．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运
动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运
动时间为t秒．(1)解决问题：
①当 时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索
线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．
【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析
【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；
②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或
AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；
（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论．
【详解】（1）解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，
∴点B表示的数是8-12=-4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8-3×1=5．
②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，
则AP=3x，BQ=2x，
∵AP+BQ=AB-3，
∴3x+2x=9，
解得：x=1.8，
∵AP+BQ=AB+3，
∴3x+2x=15
解得：x=3．
∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：
P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ
= AQ+ BP-PQ
= （AQ+BP-PQ）- PQ= AB- PQ
= （12-PQ），
即2MN+PQ=12．
同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，
关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
变式2．如图， 是数轴上一条动线段，满足 ，“点 在数轴上对应的数为24”
表示为 ．
(1)若线段 在线段 上，且满足 ．
① ______；
②点E是线段 上一点，满足 ， ______；
(2)如图，设 （ 且 ），P是数轴上一点，若 ，猜想 与 的关
系，并说明理由；
(3)若点C是 的中点，点D是 的中点，以 、 、 分别为直径的圆的周长为
a、b、c，请直接写出的a、b、c关系．
【答案】(1)①22；②18
(2) ，理由见解析
(3)当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【分析】（1）①先求解 ，结合 ，从而可得答案；②
设 ，则 ，而 ，再利用 建立方程即可；
（2）分别表示 ， ，从而可得答案；
（3）①当 时，如图，可得 ， ， ，可得 ，②
当 时，如图，可得： ， ， ，可得 ，
， ，可得 ；③当 时，如图，可得： ，
， ，可得 ， ， ，则有 ．
【详解】（1）解：①∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：22；
②设 ，
则 ，而 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：18；
（2）解：猜想： ，理由如下：
如图，
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵
∴
∴ ；
（3）解：设 ，
①当 时，如图，∵ ， ，
∵点C是 的中点，点D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
②当 时，如图，
同理可得： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ；
③当 时，如图，
同理可得： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，
整式的加减运算的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【考法四、求线段】
例．（1）如图1，点 ， ， ， 为直线 上从左到右顺次的四个点．
①直线 上以 ， ， ， 为端点的射线共有______条；
②若 ， ， ，点 为直线 上一点，则 的最大值为______；
（2）从图1的位置开始，点 在直线 上向左运动，点 ， 在直线 上向右与 点同时
开始运动，运动过程中 的长度保持不变， ， 分别为 ， 的中点（如图2）．
在此过程中，请指出三条线段 ， ， 之间的数量关系（用一个等式表示）并说明
理由；
（3）如图3，点 ， ， 为数轴上从左到右顺次的三个点，点 ， 表示的数分别为 ，
， 为 中点．若 ，且 ， ，求线段 的长．【答案】（1）①8；②9；（2） ；（3）5
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线
的条数问题：
（1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在
点D右侧三种情况讨论求解即可；
（2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到 ， ，
根据 ，推出 ，则 ；
如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到 ， ，根据
．推出 则 ；
（3）由中点的定义得到， ，求出 ，则
，再由 ，推出 ，则 ．
【详解】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线
，共8条射线，
故答案为：8；
②∵ ， ， ，
∴ ，
如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），
如图所示，当点P在A、D之间时， ，
如图所示，当点P在点D右侧时（包括B）， ；
综上所述， 的最大值为9；
故答案为：9；（2） ，理由如下：
如图所示，当点B在点C左边时，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∴
，
，
∴ ；
如图所示，当点B在点C右侧时，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∴
，
，
∴ ；
综上所述， ；
（3）∵ 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
变式1．点 在线段 上， ．
(1) 如图1， ， 两点同时从 ， 出发，分别以 ， 的速度沿直线 向左运
动；
①在 还未到达 点时， 的值为 ；
②当 在 右侧时(点 与 不重合)，取 中点 ， 的中点是 ，求 的值；
(2) 若 是直线 上一点，且 ．则 的值为 ．
【答案】（1）① ；② ;（2） 或 或 或
【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；
（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②
当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可．
【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，
∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴
②设运动 秒
，
分两种情况
A: 在 右侧，
， 分别是 ， 的中点
， ，∴
B: 在 左侧，
， 分别是 ， 的中点
， ，
∴
（2）∵BC=2AC．
设AC=x，则BC=2x，
∴AB=3x，
①当D在A点左侧时，
|AD-BD|=BD-AD=AB= CD，
∴CD=6x，
∴ ；
②当D在AC之间时，
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x+CD-x+CD= CD，
x=- CD（不成立），
③当D在BC之间时，
|AD-BD|=AD-BD= CD，
∴x+CD-2x+CD= CD，
CD= x，
∴ ；|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x-CD-x-CD= CD，
CD=
∴
；
④当D在B的右侧时，
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x-CD-x-CD= CD，
CD=6x，
∴ ．
综上所述， 的值为 或 或 或
【点睛】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨
论是解决本题的关键．
变式2．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n ，点C在B的右侧，
．
(1)如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水
平滑动（不与A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，线段
的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
(3)若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；②若 ，试求线段 的长．
【答案】(1) ，
(2)不变化，理由见解析
(3)① ；②
【分析】（1）由题可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；
（2）设点E表示的数为x，则 ， ， ， ，再由中
点的定义，得 ， ，由 ，得出MN的定值；
（3）①根据两点间距离公式以及中点公式进行推导即可；
②由题意， ，依次表示出AD，BD的长，代入求解即可.
【详解】（1）解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴ ，
故答案为： ，
（2）解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ， ，
∵点M是 的中点，N是 的中点
∴ ，
即
（3）解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧
∴AB=n-m
∵
∴AC= n-m+2
∵点D是 的中点
∴AD= AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为∴ ，
∴ ，
∵
即
当 时．
∵
∴ 不符合题意，舍去
当 时．
综上所述，线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及两点间距离公式和中点公式的考查，利
用数形结合思想表示出线段长是解决问题的关键.
【课后练习】
1．如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8．点P从点A出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向
左匀速运动，设运动时间为t秒（ ）．
（1）填空：①A、B两点间的距离 ________，线段AB的中点表示的数为________；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________；
（2）求当t为何值时， ；
（3）当点P运动到点B的右侧时，线段PA的中点为M，N为线段PB的三等分点且靠近于
P点，求 的值．【答案】（1）①10；3；②点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；（2）1或3；
（3）5
【分析】（1）①根据点A表示的数为-2，点B表示的数为8，即可得到A、B两点间的距离
以及线段AB的中点表示的数；
②依据点P，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；
（2）由t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，于是得到|PQ|=|（-2+3t）-
（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到结论；
（3）依据PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，运用线段的和差关系进行计
算，即可得到 的值．
【详解】解：（1）① 8-（-2）=10，-2+ ×10=3，
故答案为：10，3；
②由题可得，点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；
故答案为：-2+3t，8-2t；
（2）∵t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，
∴|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，
又 = ×10=5，
∴|5t-10|=5，
解得：t=1或3，
∴当t=1或3时， ；
（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴|MP|= |AP|= ×3t= t，
|BN|= |BP|= （|AP|-|AB|）= ×（3t-10）=2t- ，
∴ = t- （2t- ）=5．
【点睛】本题考查了实数和数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握点的移动与
点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程求解．
2．如图1所示，已知线段 ，点 为线段 上一点（不与 、 重合）， ，
两点分别从 、 同时出发沿射线 向右运动，点 的运动速度为 /秒，点 运
动速度为 /秒，设运动时间为 秒 ．
（1）若 ，① 时，则 的长为______；
②点 、 在移动过程中，线段 、 之间是否存在某种确定的的数量关系，判断并
说明理由；
（2）如图2所示，点 、 在射线 上移动，若 ， ，直接写出 的值．
【答案】（1）① ；② ，理由见解析；（2） ， ， ，
【分析】（1）①根据题意画出图形，分别求出 时，AM，PN的长，进而求出AN，即
可求解；
②分 和 两种情况，分别表示出AM，PN，BM，MN的长，即可求解；
（2）分 和 两种情况，每种情况再分点N在点M左边，点N在点M右边，分
别表示出AM，PN，AP，PB的长，即可求解．
【详解】解：（1）①如图：
时，AM= ，PN= ，
∴ ，
∴ = ；
②∵ ， ，
∴
当 时点 、 同时到达点
∴当 时 ，如图：∴
∴
∵
∴ ；
当 时 ， ，如图：
∴
∴
∵
∴ ；
（2） ，点N在点M左边时，如图：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
，点N在点M右边时，如图：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；，点N在点M左边时，如图：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
，点N在点M右边时，如图：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ 的值为 ， ， ， ．
【点睛】本题考查两点之间距离，线段和差的计算，一元一次方程，行程问题中的路程=速
度×时间．解题时注意分类讨论的运用．
3．如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且 .
(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长.
(2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段
CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有 ，求t的值.
(3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C
之间有一点P(不与点B重合)，且有 ，此时线段BP为定值吗？若是请求出
这个定值，若不是请说明理由.
【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1为定值，理由见解析.【分析】（1）根据 ，AB=10，求出CD长，再由B为线段AC的中点，求出AC
长，即可求出AD；
（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再写出AC和BD长，代入
中解出t即可；
（3）由 ，在点A和C之间有一点P，得到 ，
，化简即可证明BP为定值.
【详解】解：（1）∵ ，AB=10，
∴ ，
∵B为线段AC的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
①当0≤t＜10时， ，解得： ，0≤6＜10，成立；
②当10≤t＜21时， ，方程无解；
③当21≤t时， ，解得： ，21≤25，成立；
t=6或25；
（3）∵ ，在点A和C之间有一点P ，
∴ ， ，
∴
∴BP=1，为定值.
【点睛】本题是对线段动点问题的考查，熟练掌握直线动点知识点及解一元一次方程是解
决本题的关键，属于压轴题.
4．已知数轴上两点 所表示的数分别为 和 ，且满足 ， 为原点．
（1）试求 和 的值；
（2）点 从 点出发向右运动，经过3秒后点 到 点的距离是点 到 点距离的3倍，
求点 的运动速度？
（3）点 以一个单位每秒的速度从点 向右运动，同时点 从点 出发以5个单位每秒的速度向左运动，点 从点 出发，以20个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，
分别为 的中点，问 的值是否发生变化，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）2个单位/秒或5个单位/秒；（3） 的值不发生
变化，其值为2，理由见解析．
【分析】（1）利用非负数的性质求解；
（2）设点 运动的速度为v个单位/秒，则3s后点 表示的数为3v，AC=3v+3，再分点C
在点B的左侧或右侧两种情况，列方程即可求解；
（3）设运动的时间为 ，根据题意用t表示出PQ，OD，MN的长，进而求出答案．
【详解】解：（1）∵|a+3|+（b-9）2020=0，
∴a+3=0且b-9=0，
∴a=-3，b=9；
（2）设点 运动的速度为v个单位/秒，则3s后点 表示的数为3v，
又由（1）知，点A表示的数为-3，点B表示的数为9，
∴ ，
当点C在点B左侧时，BC=9-3v，则 ，解得v=2;
当点C在点B右侧时，BC=3v-9，则 ，解得v=5，
故点C的运动速度为2个单位/秒或5个单位/秒；
（3） 的值不发生变化，理由如下：
设运动的时间为 ，则 表示的数为 ， 表示的数为 ， 表示的数为 ，
又 、 分别为 、 的中点，
∴ 表示的数为 ， 表示的数为 ，
∴ ．
即 的值不发生变化，其值为2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离的求法，一元一次方
程的应用以及代数式的化简等知识，根据题意用代数式表示出数轴上两点间的距离是解题
关键．
5．如图，点C是线段 上的一点，线段 ， ，点D为线段 的中点．(1)直接写出线段 和 的长；
(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线 向右运动，动点Q从点B出发，
以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线 向右
运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，点 P与点Q 重合？
②当t为何值时，点P与点Q之间的距离 ．
【答案】(1) ；
(2)① 或 ；② 或 或 或 ．
【分析】本题考查了线段中点相关的计算，列一元一次方程解几何动点问题，恰当分类并
建立方程是解题的关键．
（1）利用 ，结合已知条件计算线段 的长度，根据中点的定义计算线段
的长度，再利用 计算线段 的长；
（2）①点 与点 重合有两种情况：点 从 到 向左运动时、点 到达点 后掉头向
右运动时，分别列方程求解即可；
②分四种情况：动点 相遇前，动点 第一次相遇后反向运动，动点 第一次相遇
后同向运动，动点 第二次相遇后同向运动，分别根据 列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵点D为线段 的中点，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①由题意可知， ，点 与点 重合有两种情况：点 从 到 向左运动时、
点 到达点 后掉头向右运动时，
当点 向左运动时， ．解得 ．
当点 向右运动时， ．解得 ．
答：当 或 时，点 与点 重合．②当动点 没有相遇时，两点相距4时，有 ，解得 ；
当动点 第一次相遇后， 向右运动， 向左运动，两点相距4时，有 ，
解得 ；
当动点 第一次相遇后， 向右运动， 向右运动两点相距4时，有
，解得 ；
当动点 第二次相遇后， 向右运动， 向右运动两点相距4时，有 ，
解得 ．
综上所述，满足条件的 有： 或 或 或 ．
6．已知 ， ，点 为线段 的三等分点（ ），点 在点 左侧，
点 在点 左侧．
(1)若线段 在线段 上运动．
如图 ，当点 为线段 的中点时， ；（直接写出结果）
为线段 上一点，且 ， ，求线段 的长；
(2)若线段 在射线 上运动，且 ，求线段 的长．
【答案】(1) ； 线段 的长为 或 ；
(2)线段 的长为 或 ．
【分析】（ ） 利用三等分点的定义求出 ，利用中点定义求出 ，再根据线段
的和差关系即可求出 ； 分当点 在点 的右侧和点 在点 的右侧，点 在点
的左侧两种情况，画出图形解答即可求解；
（ ）分当线段 在线段 上、点 在 的延长线上，点 在线段 上和线段 在
线段 的延长线上三种情况画出图形解答即可求解；
本题考查了中点定义，三等分点定义，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意，画
出图形，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键．
【详解】（1）解： 如图 ，∵点 为线段 的三等分点（ ），
∴ ， ，
∵点 为线段 的中点，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
如图，当点 在点 的右侧时，
设 ，则 ， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
如图，当点 在点 的右侧，点 在点 的左侧时，
设 ，则 ， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
∴线段 的长为 或 ；
（2）解：如图，当线段 在线段 上时，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，∴ ；
如图，当点 在 的延长线上，点 在线段 上时，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，不合，舍去；
如图，当线段 在线段 的延长线上时，
设 ，则 ， ， ，
∵ ，∴ ，解得 ，
∴；综上，线段的长为或．
