文档内容
专题 07 难点探究专题：全等三角形中的动态问题
考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）
考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题
考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题
考点四 利用全等三角形中的动点综合问题
考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）
例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图， ，垂足为点A，射线 ，垂足为点B，
， ．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着
E点运动而运动，始终保持 ．若点E的运动时间为 ，则当 ________ 个秒时， 与
全等．
【答案】2或6或8
【解析】
【分析】
分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即
可．
【详解】
解：①当E在线段AB上，AC=BE时，
AC=6，
BE=6，
AE=12-6=6，点 E 的运动时间为 (秒)．
②当E在BN上，AC=BE时，
AC=6，
BE=6，
AE=12+6=18．
点 E 的运动时间为
18÷3=6
(秒)．
③当E在BN上，AB=BE时，
AE=12+12=24.
点E的运动时间为
24÷3=8
(秒)
④当E在线段AB上，AB=BE时， 这时E在A点未动，因此时间为 秒不符合题意．
故答案为：2或6或8．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等
时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形 中， 延长 到
点 ，使 ，连接 ，动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 向终点 运
动，设点 的运动时间为 秒，当 的值为_______时， 和 全等．
【答案】2或11
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．
【详解】
解：∵ 为直角三角形，
且AB=DC，
∴当 ≌ 时，有BF=2t=CE=4，
解得：t=2；
当 ≌ 时，
有AF=CE=4，
此时 =4，
解得： ，
故答案为：2或11．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，注意到 为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两
种情况．
考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题
例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，
BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE，若AC=CE ,则DE
的长为______.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据全等得出对应边相等，即可得出答案.
【详解】
解：∵∠B=90°，AB∥DF，
∴∠D=∠B=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠CED；
∴在△ABC和△CDE中∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB=CD=3cm，
∴DE=BC=8cm-3cm=5cm
故答案为5.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式训练】（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图， ABC中，点D在边BC上，
DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直△线AC上一动点，满足DG＝DF，
若AE=4cm，则AG= _____cm．
【答案】2或6.
【解析】
【详解】
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴∠AED=∠AHE=90°.
在 ADE和 ADH中，
∵△AD=AD,D△E=DH, ∴△ADE≌△ADH(HL),
∴AH=AE=4cm.
∵F为AE的中点，∴AF=EF=2cm.
在 FDE和 GDH中，
∵△DF=DG,D△E=DH, ∴△FDE≌△GDH(HL),
∴GH=EF=2cm.
当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;
当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm;
故AG的长为2或6.考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题
例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD
平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动△点，则CE+EF的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，
且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【详解】
解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
又AE=AE，
∴△AEF≌△AE F′（SAS），
∴FE=E F′，∵S ABC= AB•CH= AC•BC，
△
∴CH= ，
∵EF+CE=EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C、
E、F′共线，且点F′与点H重合时，CE+EF的值最小．
【变式训练】（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）△ABC是边长为2的等边三角形，点
P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为
____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
根据题意连接EC，作CH⊥AB于H，首先证明CE∥AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵∠PAE=∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠EAC，
∵PA=EQ，BA=CA，
∴△PAB≌△EAC(SAS)，
∴∠ABP=∠ACE，
∵∠ABP=180°﹣60°=120°，
∴∠ACE=120°，
∴∠BCE=120°﹣60°=60°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE∥AB，
∴点E的运动轨迹是直线CE(CE∥AB)，
∵CB=CA=AB=2，CH⊥AB，
∴BH=AH=1，
∴CH ，
根据垂线段最短，可知OE的最小值=CH ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是
学会用转化的思想思考问题．
考点四 利用全等三角形中的动点综合问题
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在 中， ．点D是直线 上一
动点（点D不与点B，C重合）， ，连接 ．(1)如图1，当点D在线段 上时，直接写出 与 之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边 的延长线上时，请探究线段 与 之间存在怎样的数量关系？并说明理
由；
(3)如图3，若点D在边 的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若 ，
直接写出 的长度．
【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析
(2)CE=BC+CD，证明见解析
(3)CE=4
【解析】
【分析】
（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD
和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到
CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．
(1)
解：如图1，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD，
(2)线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．
(3)
如图3，
由（1）同理可得， ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， 即∠BAD=∠EAC，
同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵CD=10，BC=6，
∴DB=DC-BC=4，
∴CE=4．【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三
角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别
以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请你写出正确结论再给予证明．
【答案】(1)①AE＝BD；②60°
(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；
（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知
∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．
(1)
解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∵∠DOP=∠COA，
∴∠APD=∠ACD=60°，
故答案是：AE=BD，60°；
(2)
上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，
∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中， ，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，
∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本
题的关键．一、选择题
1．（2022·福建漳州·八年级期末）已知点A为线段BC上方的一动点，且满足AC-AB=3，BC=8，若AD平
分∠BAC，且CD⊥AD于点D，则S 的最大值为（ ）
BDC
△
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
延长AB、CD，交于点E，根据“ASA”可得 ADE≌△ADC，再根据S BDC=S BDE= S BEC可得答案．
△ △ △ △
【详解】
解：如图，延长AB、CD，交于点E，
∵AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，
∴∠EAD=∠CAD，∠ADC=∠ADE=90°，
在 ADE和 ADC中，
△ △
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC=AE，CD=DE，
∴S BDC=S BDE= S BEC，
△ △ △
∴当BE⊥BC时，S BEC最大，则S BDC最大．
∵AC-AB=3， △ △∴BE=3，
∴S BDC最大= ×8×3× =6．
△
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，根据题意正确作出辅助线是解题关键．
2．（2020·山东·鲁村中学八年级阶段练习）如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中
点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到△P′，连CP′的最小值为（ ）
A．1.6 B．2.4 C．2 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先过P'作P'E⊥AC于E，根据 DAP≌△P'ED，可得P'E=AD=2，再根据当AP=DE=2时，DE=DC，即点E
与点C重合，即可得出线段C△P′的最小值为2．
【详解】
如图，过点P′作P′E⊥AC于点E，
则∠A＝∠P′ED＝90°，
由旋转可知：
DP＝DP′，∠PDP′＝90°，
∴∠ADP＝∠EP′D，
∴△DAP≌△P′ED（AAS）
∴P′E＝AD＝2，∴当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，
此时CP′＝EP′＝2
∴线段CP′的最小值为2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等
三角形，依据垂线段最短进行求解．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 中， ， ， ， 平分
交 于D点，E，F分别是 ， 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
【详解】
在AB上取一点G，使AG＝AF．
∵在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5△，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝GE，
∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，
故当C、E、G三点共线时，符合要求，
此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，
此时， ，∴CH= = ，
即：CE+EF的最小值为 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．
二、填空题
4．（2022·全国·八年级）如图，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AB=6，BC=8，CD=2，点P为BC边上一动
点，当BP＝________时，形成的Rt ABP与Rt PCD全等．
△ △
【答案】2
【解析】
【分析】
当BP=2时，Rt ABP≌Rt PCD，由BC=8可得CP=6，进而可得AB=CP，BP=CD，再结合AB⊥BC、
DC⊥BC可得∠△B=∠C=90△°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．
【详解】
当BP=2时，Rt ABP≌Rt PCD．理由如下：
∵BC=8，BP=2△， △
∴PC=6，
∴AB=PC．
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°．
在△ABP和△PCD中，∵ ，
∴△ABP≌△PCD(SAS)．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关
键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一
角相等时，角必须是两边的夹角．
5．（2022·河南漯河·八年级期末）如图，在正方形 中， ，延长 到点 ，使 ，
连接 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度沿 向终点 运动．设点 的运动
时间为 秒，当 和 全等时， 的值为 __．
【答案】2或7##7或2
【解析】
【分析】
分点 在 和 上两种情况讨论．当点 在 上时，如图，当 时，有 ，当点
在 上时，当 时，有 ，从而可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD,
∴
是直角三角形，
为直角三角形，
点 只能在 上或者 上，
当点 在 上时，如图，当 时，有 ，，
，
，
当点 在 上时，则当 时，有 ，
，
故答案为：2或7．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质，关键是要考虑到点 的两种情况，牢记三角形全等的性质是解本
题的关键．
6．（2020·浙江宁波·八年级专题练习）如图所示，在等腰 中， ，点D为射线 上的
动点， ，且 与 所在的直线交于点P，若 ，则 _______．
【答案】 或2
【解析】
【分析】
分两种情况：（1）当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，可证， ，可得 ，由等腰三角形的性质可得AC=BC，根据线
段的和差关系可证的结论；（2）当点D位于CB之间时，如图过点E作AP的垂线于点N，可证
， ，可得 ，由等腰三角形的性质可得AC=BC，根据线段
的和差关系可证的结论；
【详解】
（1）当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，
为等腰直角三角形
在 和 中
，在 和 中
， ，
设
（2）当点D位于CB之间时，如图：过点E作AP的垂线于点N，
为等腰直角三角形在 和 中
，
在 和 中
， ，
设
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等和线段的和差得出所求线段之间的
关系，同时运用分类讨论的思想．
三、解答题
7．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图1，E，F为线段 上的两个动点， ，且
交 于点O．(1)现有甲、乙、丙、丁四个结论：
甲：点O是 的中点；
乙：点O是 的中点；
丙：点O是 的中点；
丁： 正确的结论是____________；
请选择一个你认为正确的结论进行证明；
(2)当点E，F移动至如图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中四个结论正确的是__________．
【答案】(1)甲、乙、丙、丁，选择丙，证明见解析
(2)甲、乙、丙、丁
【解析】
【分析】
（1）由 得出， ，证明△ABE≌△DCF，可得 ，即可得出
，证明△AOE≌△DOF可得OE=OF， ， ；
（2）由 得出， ，进而得出 ，方法同（1）证明即可求解．
(1)
正确的结论是：甲、乙、丙、丁，选择丙O是线段EF的中点，
证明： ，
，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF ( )；
，
，在△AOE和△DOF中，
，
∴Rt AOE≌Rt DOF (AAS)，
∴OE△=OF，即O△是线段EF的中点；
∴ ，即O是线段 的中点
， OE=OF，
，
即O是线段 的中点；
故答案为：甲、乙、丙、丁
(2)
当E、F两点移动至如图所示的位置时，其余条件不变，（1）中四个结论正确的是
证明： ，
，
，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF ( )；
，
，
在△AOE和△DOF中，
∴△AOE≌△DOF (AAS)，
∴OE=OF，即O是线段EF的中点；
∴ ，即O是线段 的中点
， OE=OF，，
即O是线段 的中点；
故答案为：甲、乙、丙、丁
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
8．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在Rt ABC中，∠C=90°，AC=8cm，
BC=6cm，点D在AC上，且AD=6cm，过点A作射线AE AC（A△E与BC在AC同侧），若动点P从点A
出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．
(1)如图①，当PD BD时，求证：△PDA DBC；
(2)如图②，当PD AB于点F时，求此时t的△值．
【答案】(1)见解析
(2)8
【解析】
【分析】
(1)由PD BD、∠C=90°可推出∠PDA=∠CBD，即可根据ASA判定△PDA DBC；
(2)由PD AB，AE AC可推出∠APF=∠CAB，即可根据AAS判定△APD △CAB，再由全等三角形的性
质即可得解． △
(1)
证明：如图①
∵PD BD
∴∠PDB=90
∴∠BDC+∠PDA=90
又∵∠C=90
∴∠BDC+∠CBD=90
∴∠PDA=∠CBD又∵AE AC
∴∠PAD=90
∴∠PAD=∠C=90
又∵BC=6cm，AD=6cm
∴AD=BC
在△PAD和△DCB中
∴△PDA DBC(ASA)
(2) △
解：如图②
∵PD AB
∴∠AFD=∠AFP=90
∴∠PAF+∠APF=90
又∵AE AC
∴∠PAF+∠CAB=90
∴∠APF=∠CAB
在△APD和△CAB中
∴△APD CAB(AAS)
∴AP=AC △
∵AC=8cm
∴AP=8cm
∴t=8
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解
题的关键．
9．（2021·贵州·兴义市万峰林民族学校八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s
的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0
