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专题 10 角的运动压轴题的三种考法
类型一、角度之间数量关系问题
例．如图，点O为直线 上一点，过点O作射线 ．将一直角三角板的直角顶点放在
点O处（ ），一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
(1)当 时，请解决一下问题；
①将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分
．求 的度数．
②将图1中的三角板绕点O以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第
t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为 （直接写出结果）．
③将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使 在 的内部，请探究 与
的数量关系，并说明理由．
(2)图1中射线 在 上方且 ，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度
），试探究 三者之间的数量关系．
【变式训练1】以直线 上一点O为端点，在直线 的上方作射线 ，使 ，
将一个直角三角板 的直角顶点放在O处，即 ，直角三角板 可绕顶点
O转动，在转动的过程中，直角三角板 所有部分始终保持在直线 上或上方．
(1)如图1，若直角三角板 的一边 在射线 上，则 ______；
(2)将直角三角板 绕点O转动后，使其一边 在 的内部，如图2所示，
①若 恰好平分 ，求此时 的度数；
②若 ，求此时 的度数；
(3)直角三角板 在绕点O转动的过程中， 与 之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
【变式训练2】如图，点O在直线 上，在同一平面内，以O为顶点作直角 ．射线
、射线 分别平分 、 ．
(1)如图1，当 时， ________ ， ________ ．
(2)如图1，猜想 与 的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中， 与 的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
【变式训练3】如图， 是直线 上一点， 是 的余角，射线 平分
．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，请在图中画出符合题意的射线 ，探究 与 的数量
关系，并说明理由．类型二、定值问题
例．如图，过点 在 内部作射线 ． ， 分别平分 和 ，
与 互补， ．
(1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°；
(2)如图2，若 平分 ．
①当 时，求 度数；
②试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式训练1】如图， 内部有一射线OC， ， 与 的度数比为
，射线 从 出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线 从 出发
以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线 与射线 重合后，立即以原速逆时针旋
转，当 与 重合后再次改变方向顺时针向 旋转（即 在 与 之间来回摆
动），当 与 重合时， 与 都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
(1) 时， ；
(2)当t为何值时， 恰好是 的平分线；
(3)在旋转的过程中，作 的角平分线 ，是否存在某个时间段，使得 的度数保持不变？如果存在，求出 的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请
说明理由．
【变式训练2】将一副三角尺如图①摆放， ， ，现将 绕点
C以 /秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为 秒．
(1)如图②，当 ______时， 恰好平分 ；
(2)如图③，当 ______时， 恰好平分 ；
(3)如图④，当 ______时， 恰好平分 ；
(4) 绕点C旋转到如图⑤的位置， 平分 ， 平分 ，求 的
度数；
(5)若 旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
【变式训练3】如图，已知 ， ．
(1)求 的度数；
(2)若射线 绕点 以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线 以每秒旋转5°的速度
逆时针旋转，设旋转的时间为 秒 ，试求当 时 的值；
(3)若 绕点 以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时 绕点 以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为 秒 ， 平分 ， 平分 ，在
旋转的过程中， 的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由．
类型三、运动时间问题
例．如图1，将两块直角三角板（一块含有 、 角，另一块含 角）摆放在直线
上，三角板 绕点 以每秒 的速度逆时针旋转．当 第一次与射线 重合时
三角板 停止转动，设旋转时间为 秒．
(1)当 时，求 和 的度数；
(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，当
第一次与射线 重合时三角板 立即停止转动．
①用含 的代数式表示射线 和射线 重合前 和 的度数；
②整个旋转过程中，当满足 时，求出相应的 的值．
【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一
道几何题来体验一下．
(1)【发现规律】如图①，已知 ， ，则 的度数为
___________时， 为 的角平分线．
(2)【探索归纳】如图①， ， ， 为 的角平分线．猜想
的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
(3)【问题解决】如图②，若 ， ， ，射线 ， 同时绕点O旋转， 以每秒 顺时针旋转， 以每秒 逆时针旋转，当 与 重合
时， ， 同时停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，射线 为 ， ，
中任意两条射线夹角的角平分线．
【变式训练2】点O为直线l上一点，射线 均与直线l重合，如图1所示，过点O
作射线 和射线 ，使得 ，作 的平分线 ．
(1)求 与 的度数；
(2)作射线 ，使得 ，请在图2中画出图形，并求出 的度数；
(3)如图3，将射线 从图1位置开始，绕点O以每秒 的速度逆时针旋转一周，作
的平分线 当 时，求旋转的时间．
【变式训练3】已知直线 和 交于点 ， 的度数为 ， 于 点，
平分 ．
(1)当 ，求 与 的度数．
(2)当 ，射线 、 分别以 ， 的速度同时绕点 顺时针转动，求当射线与射线 重合时至少需要多少时间？
(3)当 ，射线 以 的速度绕点 顺时针转动，同时射线 也以 的速度绕
点 逆时针转动，当射线 转动一周时射线 也停止转动．射线 在转动一周的过程
中当 时，求射线 转动的时间．
课后训练
1．如图，已知 ， 在 内部， 在 的内部， ．
(1)若 ，则 ______；若 ，则 _______（用含 的代
数式表示）；
(2)若 ，求 的度数；
(3)将 以OC为折痕进行翻折， 落在 处，将 以 为折痕进行翻折，
落在 处， 的度数变化时， 的度数是否发生变化？若变化，请说明理
由：若不变，请求出 的度数．
2．已知 ， ， 平分 ．
(1)如图1， 在 的内部．
①若 ， ____________， ____________；
②若 ， ____________， ____________（都用含 的式子表示）：(2)如图2，将 绕点O顺时针旋转，使射线 在 的内部，射线 在
的外部．设 的度数为 ，当 时，求 的值．
(3)将图1中的 绕点O逆时针旋转，使射线 在 的外部，射线 在
的内部，如图3， 平分 ，请猜想 和 有怎样的数量关系，并
说明理由．
3．将一副直角三角板如图1摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ，
， ， ， ），保持三角板 不动，将
三角板 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转直至 边第一次重合在直线 上，整
个过程时间记为t秒．
(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了 秒；
(2)如图2，旋转三角板 ，使得 、 在直线 的异侧，请直接写出 与
数量关系；如图3，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧，
请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若在三角板 旋转的同时，另一个三角板 也绕点O以每秒 的速度顺时针旋
转，当 边第一次重合在直线 上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示 与 ；
②在旋转的过程中，当t为何值时 平分 ．
4．如图， ．(1)若 平分 ，求 的度数；
(2)渃 ，求 的度数；
(3)若射线 从射线 的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒 的速度旋转，同时射
线 从射线 的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒 的速度旋转，射线 旋转的
时间为 （单位：秒），且 ，求当 时 的值．
5．如图①，已知线段 ，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD
的中点．
(1)已知 ，求EF的长．
(2)若 ，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？
(3)类比应用
①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在 内部转动，OE、OF
分别平分 和 ，若∠ ，直接写出 的度数．
②由此，你猜想 与 、 会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即
可）
