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考点 01 集合（核心考点讲与练）
1、集合的概念：
（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
（2） 集合的分类：
① 按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，
以y轴为对称轴的抛物线；
（3） 集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；②描述法。
+
2、两类关系：
（1） 元素与集合的关系，用∈或∉表示；
⊂≠¿¿ ⊂≠¿¿
（2）集合与集合的关系，用⊆， ，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A B时，称A是B的真
子集。
3、集合运算
（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CA=｛x|x∈U，且x∉
U
A｝，集合U表示全集；
（2） 运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C（A∩B）=（CA）∪（CB），
U U U
C（A∪B）=（CA）∩（CB）等。
U U U
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
venn图法解决集合运算问题
一、单选题1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集 ，集合 ，集合 ，则图中的
阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.
【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是 ，而全集 ， ， ，
所以 .
故选：D
2．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集 ，集合 ， ，
则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合 ，分析可知阴影部分所表示的集合为 ，利用交集的定义可求得结果.
【详解】因为 或 ，则 ，
由题意可知，阴影部分所表示的集合为 .
故选：B.
3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.
【详解】解：因为全集 ，集合 ， ，
所以 ，所以 .
故选：A
二、填空题
4．（2020·江苏南通·三模）已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，则集合A B＝ _______ .
【答案】{﹣1，0，2}
【解析】直接根据并集运算的定义求解即可．
【详解】解：∵A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，
∴A B＝{﹣1，0，2}，
故答案为：{﹣1，0，2}．
【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．
分类讨论方法解决元素与集合关系问题
1 ． （ 2022· 北 京 石 景 山 · 一 模 ） 已 知 非 空 集 合 A，B满 足 ： ， ， 函 数
对于下列结论：
①不存在非空集合对 ，使得 为偶函数；
②存在唯一非空集合对 ，使得 为奇函数；
③存在无穷多非空集合对 ，使得方程 无解．
其中正确结论的序号为_________．【答案】①③
【分析】通过求解 可以得到在集合A，B含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能
取到相同函数值的不同元素，所以即使当 与 都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，
之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程 判断③是否
正确
【详解】①若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
综上不存在非空集合对 ，使得 为偶函数
②若 ，则 或 ，当 ， 时， 满足当 时 ，所以
可统一为 ，此时 为奇函数
当 ， 时， 满足当 时 ，所以 可统一为 ，
此时 为奇函数
所以存在非空集合对 ，使得 为奇函数，且不唯一
③ 解的 ， 解的 ，当非空集合对 满足 且 ，则方程无解，又因为
， ，所以存在无穷多非空集合对 ，使得方程 无解
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理
①通过对 所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对 使得函数 为偶函数
②观察可以发现 为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式 归并到 当中，使得成为奇函数
③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案
2（2020·北京·模拟预测）对给定的正整数 ，令 ， ， ， ， ， ，2，
3， ， ．对任意的 ， ， ， ， ， ， ， ，定义 与 的距离
．设 是 的含有至少两个元素的子集，集合 ，
， 中的最小值称为 的特征，记作 （A）．
（Ⅰ）当 时，直接写出下述集合的特征： ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1，
， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ．
（Ⅱ）当 时，设 且 （A） ，求 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）当 时，设 且 （A） ，求证： 中的元素个数小于 ．
【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）2 ；（Ⅲ）证明详见解析.
【解析】（Ⅰ）根据 与 的距离 的定义，直接求出 的最小值即可；
（Ⅱ）一方面先证明 中元素个数至多有2 个元素，另一方面证明存在集合 中元素个数为2 个
满足题意，进而得出 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）设 ， ， ，定义 的邻域 ，先证明对任意的 ，
中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明 ，于是得到
中共有 个元素，但 中共有 个元素，所以 ，进而证明结论．
【详解】
（Ⅰ） （A） ， （B） ， （C） ；
（Ⅱ）（a） 一方面：对任意的 ， ， ， ， ， ，
令 （a） ， ， ， ， ， ，则 ， （a） ，故 （a） ，
令集合 （a） ，则 ，
且 和 的元素个数相同，
但 中共有 个元素，其中至多一半属于 ，
故 中至多有2 个元素．
（b）另一方面：设 ， ， ， 是偶数 ，
则 中的元素个数为 对任意的
， ， ， ， ， ， ， ， ，
易得 与
奇偶性相同，
故 为偶数，由 ，得 ，故 ，
注意到 ，0，0，0， ，0， ， ，1，0，0， ， 且它们的距离为2，
故此时 满足题意，
综上， 中元素个数的最大值为2 ．
（Ⅲ）当 时，设 且 （A） ，
设 ， ， ，
任意的 ，定义 的邻域 ，
（a） 对任意的 ， 中恰有 2021 个元素，事实上
①若 ，则 ，恰有一种可能；，
②若 ，则 与 ，恰有一个分量不同，共2020种可能；
综上， 中恰有2021个元素，（b） 对任意的 ， ，
事实上，若 ，
不妨设 ， ， ， ， ，
则
，
这与 （A） ，矛盾，由 （a） 和 （b），
中共有 个元素，
但 中共有 个元素，
所以 ，
注意到 是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到，
所以，集合 中的元素个数 小于 ．
【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，
考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．
根据集合包含关系求参数值或范围
一、单选题
1．（2021·全国·模拟预测）已知集合 ， ．若 ，则
实数k的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 ，再根据 ，知 ，列出不等式，解之即可得出答案.
【详解】解：解不等式 ，得 ，即 ，
或 ，
由 ，知 ，
所以 或 ，解得 或 .
故选：D．
2．（2021·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合 ，然后由题意得 ，从而建立不等式组求得 的范围.
【详解】解不等式 ，得 ，所以 .
由 ，得 ，
∴ ，解得 ﹒
故选：B
数轴法解决集合运算问题
一、单选题
1．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集 ，已知集合 ， ，
则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】化简集合 ，先求出 ，再求出其补集即可得解.
【详解】 或 ， ，
所以 ，
所以 ，即 .
故选：D
2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A．R B． C． D．
【答案】D
【分析】求函数定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.
【详解】由 得 ，则 ，由 解得 ，即 ，
所以 .
故选：D
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出集合M，N，然后进行并集的运算即可.
【详解】∵ ， ，
∴ .
故选：C.
二、填空题
4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）设集合 ，则 ________.【答案】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】解不等式 ，得 ，解得 ，
即 ， ；
故答案为： .
5．（2020·上海·模拟预测）已知集合 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.
【 详 解 】 因 为 ，
，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.
6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合 ， ，则 ______.
【答案】
【分析】利用集合的交运算即可求解.
【详解】由集合 ， ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合 ，集合 ，则
________．
【答案】
【详解】 ， ，
所以 ．
【点睛】本题考查了交集运算，此题属于简单题.
8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U＝R，A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则
＝_____．
【答案】 或
【分析】先化简集合 ,再求 ，最后求 得解.
【详解】解：A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，
B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
则 ＝{x|x≥3或x≤﹣1}，
则 ＝ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和
补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
一、单选题
1．（2021·新高考全国11卷）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
2．（2021·新高考全国1卷）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求 .
【详解】由题设有 ，
故选：B .
3．（2021·全国·高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求 .
【详解】由题设有 ，
故选：B .
4．（2021·全国·高考真题（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.5．（ 2021·全国 ·高考真题（ 理）） 设集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为 ，所以 ,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
6 ． （ 2021· 全 国 · 高 考 真 题 ） 设 集 合 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题知 ， ，进而根据补集运算与交集运算求解即可.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
所以
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合 ，根据二次根式的意义求出集合 ，
利用并集的定义和运算直接计算即可.
【详解】 .
.
因此 .
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合B，再去求 .
【详解】则
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据定义域求出函数的值域，得集合B，然后根据集合的交集运算法则求得结果.
【详解】当 时， ，则 ，所以 .
故选:B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知全集 ，集合 ， ，则
图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合A、B，由韦恩图分析，求 .
【详解】由 ，得 ，则 ，所以 .\
由 ，得 ，则 ，则图中阴影部分表示的集合为 .
故选:B.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解不含参数的一元二次不等式，进而求出集合 ，然后根据交集的概念即可求出结果.
【详解】解不等式 得 ，又 ，所以 ，所以 ，故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则下列结论一定正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合 ，进而得到结果.
【详解】 ， ，
， ， .
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的性质可化简集合 ，根据对数函数性质得集合 ，然后计算交集．
【详解】由已知 ， ，
∴ ．
故选：C．
9．（2022·全国·高三专题练习）若集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先解不等式求出集合A，再求出集合B，然后求两集合的交集即可
【详解】解不等式 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合 ，集合集合并集的运算，即可求
解.
【详解】由不等式 ，解得 或 ，所以集合 或 ，
又由 ，解得 ，所以集合 ，
所以 .
故选：D.
11．（2022·全国·高三专题练习）设全集 ， ，则 为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全集 求出 的补集即可.
【详解】 ， ， .
故选：A.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：C
13．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合A和集合A的补集，集合B，再求出
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，所以 或 ，
由 得 ，所以 ，
所以
故选：A
14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，图中阴影部分为集合
M，则M中的元素个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由Venn图得到 求解.
【详解】如图所示 ，
， ，解得 且 ，
又 ， ， ，
，所以M中元素的个数为3
故选：C
15．（2022·全国·高三专题练习）已知全集 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的运算法则计算．
【详解】 ， ．
故选：C．
二、多选题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意 ， ，
均有 ，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A． B．C． D．
【答案】ACD
【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.
【详解】设 ， ， ，则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：
A
B
C
D
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程
的意义，
再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.17．（2022·全国·高三专题练习）已知全集 ，集合 ，则关于 的表达方式正确
的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【详解】由题意得， ，
所以 ，
故AB正确，CD错误，
故选：AB.
18．（2022·全国·高三专题练习）设 表示不大于 的最大整数，已知集合 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由对数运算可知 ， ，由 的定义可知AC正误；解不等
式求得集合 ，由交集和并集定义可知BD正误.
【详解】对于A， ， ， ，A正确；
对于C， ， ，C错误；对于BD， ， ，
， ，BD正确.
故选：ABD.
19．（2022·全国·高三专题练习）给定数集M，若对于任意a， ，有 ，且 ，则
称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合 为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合 为闭集合
D．若集合 为闭集合，则 为闭集合
【答案】ABD
【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【详解】选项A：当集合 时， ，而 ，所以集合M不为闭集合，A选
项错误；选项B：设 是任意的两个正整数，则 ，当 时， 是负数，不属于正整数集，
所以正整数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当 时，设 ，
则 ，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设 ，由C可知，集合 为闭集合， ，
而 ，故 不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
三、填空题
20．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则 ___________
【答案】
【分析】利用交集的定义进行求解.
【详解】因为 ， ，所以 .
故答案为： .
