专题23难点探究专题：线段上的动点与几何图形动角问题之六大类型（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题 23 难点探究专题：线段上的动点与几何图形动角问题之六大类 型 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【类型一 线段和与差问题】....................................................................................................................................1 【类型二 线段上动点定值问题】............................................................................................................................6 【类型三 线段上动点求时间问题】......................................................................................................................11 【类型四 几何图形中动角定值问题】..................................................................................................................18 【类型五 几何图形中动角数量关系问题】..........................................................................................................23 【类型六 几何图形中动角求运动时间问题】......................................................................................................30 【典型例题】 【类型一 线段和与差问题】 例题：（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）如图， ，点C在线段 上，点D，E分别在线段 、 上． (1)若C是 中点， ，求 ； (2)若C是 上任意一点，且 ， ，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点的含义先求解 ，再利用 ，从而可得答案；（2）由 可得答案． 【详解】（1）解：∵ ，C是 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）∵C是 上任意一点，且 ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查的是线段的和差运算，线段中点的含义，熟练的利用线段的和差关系进行计算是解本题 的关键． 【变式训练】 1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考开学考试）已知A，B，C，D四点在同一直线上， 点D在线段 上． (1)如图，若线段 ，点C是线段 的中点， ，求线段 的长度； (2)若线段 ，点C是直线 上一点，且满足 ， ，求线段 的长度（用含 a的式子表示）． 【答案】(1) (2)线段 的长为 或 【分析】（1）根据线段中点的定义求出 ，根据 ，求出 ， 即可得出答案； （2）分两种情况，点C在线段 上，点C在线段 延长线上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵线段 ，点C是线段 的中点， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵点D在线段 上， ， ∴ ， ， 当点C在线段 上时，如图所示： ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ； 当点C在线段 延长线上时，如图所示： ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； 综上分析可知，线段 的长为 或 ． 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，解题的关键是熟练掌握线段间的数量关系， 数形结合，注意分类讨论． 2．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图1，已知点A、B在直线l上，且线段 ． (1)如图2，当点C在线段 上，且 ，点M是线段 的中点，求线段 的长； (2)若点C在直线AB上，且 ．①线段 ________； ②若点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，则线段 ________，线段 ________． 【答案】(1) (2)①5或13；②2.5或6.5，4.5 【分析】（1）求出 ，根据中点可以求出 ； （2）①根据点 的位置求出 ；②根据 的长和中点的定义可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵点M是线段AC的中点， ∴ ； （2）解：①当点 在点 的左边时， ， ， ， 当点 在点 的右边时， ， ， ． 故答案为：5或13； ②由①可知： 当点 在点 的左边时， 点 为线段 的中点，点 是线段 的中点， ， ； 当点 在点 的右边时， 点 为线段 的中点，点 是线段 的中点， ， ； 故答案为：2.5或6.5，4.5． 【点睛】本题考查了两点之间的距离的应用，能求出 和 的长度是解此题的关键，求解过程类似． 3．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点 在线段 上， ， 分别是 ， 的中点．若 ， ，求 的长．(1)根据题意，小明求得 ______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开 始深入探究． 设 ， 是线段 上任意一点（不与点 ， 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解 答． ①如图1， ， 分别是 ， 的中点，则 ______． ②如图2， ， 分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长． ③若 ， 分别是 ， 的 等分点，即 ， ，则 ______． 【答案】(1)3 (2)① ；② ；③ 【分析】（1）由 ， ，得 ，根据 ， 分别是 ， 的中点，即得 ， ，故 ； （2）①由 ， 分别是 ， 的中点，知 ， ，即得 ，故 ； ②由 ， ，知 ， ，即得 ，故 ； ③由 ， ，知 ， ，即得 ，故 ．【详解】（1）解： ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， ， ， ； 故答案为： ； （2）解：① ， 分别是 ， 的中点， ， ， ， ， ； 故答案为： ； ② ， ， ， ， ， ， ； ③ ， ， ， ， ， ， ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 【类型二 线段上动点定值问题】 例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点． (1)若 ，求线段 的长度． (2)当线段 在线段 上从左向右或从右向左运动时，试判断线段 的长度是否发生变化，如果不变， 请求出线段 的长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变，还是 ，理由见解析 【分析】（1）由题意可得， ，结合中点的含义可得 ； （2）由已知可得 ， ，再由 ，结合中点的性质即可解． 【详解】（1）解∶ ， ， ， 点 是 的中点，点 是 的中点， ， ； （2）线段 的长度不发生变化． 点 是 的中点，点 是 的中点， ，． 【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是 关键． 【变式训练】 1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段 上，点M、N分别是 的中点． (1)若 ，求线段 的长； (2)若C为线段 上任一点，满足 ，其他条件不变，你能猜想 的长度吗？请直接写出你 的答案． (3)若C在线段 的延长线上，且满足 ，M 、N分别为 的中点，你能猜想MN的长 度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，图及理由见解析 【分析】（1）根据M、N分别是 的中点，可得 ，从而得到 ，即可求解； （2）根据M、N分别是 的中点，可得 ，从而得到，即可求解； （3）根据M、N分别是 的中点，可得 ，从而得到 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵M、N分别是 的中点， ∴ ， ∴ ∴线段 的长为 ． （2）解∶ ∵M、N分别是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）解∶ ，理由如下∶ 如图: ∵M、N分别是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键． 2．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段 ，点 为线段 上的一个 动点，点 、 分别是 和 的中点．(1)若 ，求 的长； (2)若 为 的中点，则 与 的数量关系是______； (3)试着说明，不论点 在线段 上如何运动，只要不与点 和 重合，那么 的长不变． 【答案】(1) (2) (3)说明见解析 【分析】（1）首先根据线段的和差关系求出 ，然后根据线段中点的概念求出 ， ，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）因为 ， 所以 ． 因为点 是 的中点． 所以 ， 因为点 是 的中点． 所以 ， 所以 ； （2）∵ 为 的中点， ∴ ∵点 是 的中点 ∴ ； （3）因为点 是 的中点． 所以 因为点 是 的中点．所以 ， 所以 ， 所以， 的长不变． 【点睛】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段 ，点 为 上的一个动 点，点 、 分别是 和 的中点． (1)若点 恰好是 中点，则 ____________ ； (2)若 ，求 的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，设 “ ” ，请说明不论 取何值（ 不超过 ）， 的长 不变． 【答案】(1)6 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质得出 ， ，结合图形即可求解； （2）根据（1）的方法即可求解； （3）根据（1）的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 点为 的中点， ． 点 、 分别是 和 的中点， ， ． 故答案为：6； （2）解： ， ， ． 点 、 分别是 和 的中点， ， ， ；（3）解：设 ，则 ， 点 、 分别是 和 的中点， ∴ ， ， 不论 取何值（不超过 ）， 的长不变； 【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 【类型三 线段上动点求时间问题】 例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段 上一点， ， ，点P 从A出发，以 的速度沿 向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以 的速度沿 向左 运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 s (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求 出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)满足条件的 值为4或7或 【分析】（1）根据相遇时间=路程和 速度和，列出方程计算即可求解； （2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案； 【详解】（1）由题意可得： ， ， ∴当P、Q重合时， ，解得： ； （2）由题意可得： ， ∴①当点C是线段 的中点时， ， 解得： ；②当点P是线段 的中点时， ， 解得： ③当点Q是线段 的中点时， ， 解得： ； 综上所述，满足条件的 值为4或7或 ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防 遗漏 【变式训练】 1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点 、点 是直线上的两点， 厘米，点 在线段 上，且 厘米．点 、点 是直线 上的两个动点，点 的速度为1厘米/秒，点 的 速度为2厘米/秒．点 、 分别从点 、点 同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段 的长为6 厘米． 【答案】3或9或1 【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q 向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段 的长为6厘米即可． 【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时， （秒）； （2）点P、Q都向左运动时， （秒）； （3）点P向左运动，点Q向右运动时，（秒）； （4）点P向右运动，点Q向左运动时， （秒）． ∴经过3或9或1秒时线段 的长为6厘米． 故答案为：3或9或1． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握． 2．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为 ，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动 时间为t秒（ ）． (1)当 时， 的长为______，点P表示的有理数为______； (2)若点P为 的中点，则点P对应的有理数为______； (3)当 时，求t的值． 【答案】(1)6，4 (2)3 (3)当 时，t的值为4或6 【分析】（1）根据路程 速度 时间进行求解即可； （2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可； （3）先求出 ，再由 ，得到 ，然后分点P在点B左侧和右侧两种情况，利用线段 的和差关系求出 的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴点P表示的数为 ， 故答案为：6，4；（2）解：∵点P为 的中点，点A对应的有理数为 ，点B对应的有理数为8， ∴点P对应的有理数为 ， 故答案为：3； （3）解：∵ ， ∴当 时，则 ， ①当点P在点B左边时， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②当点P在点B右边时， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 综上所述，当 时，t的值为4或6． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点 在线段 上， ， ，动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终点 匀速运动；同时，动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终点 匀速运动．当点 到达终点时，点 也随之停止运动． 设点 的运动时间为 秒． (1)线段 的长为______． (2)当点 与点 相遇时，求 的值． (3)当点 与点 之间的距离为 个单位长度时，求 的值． (4)当 时，直接写出 的值． 【答案】(1)(2) (3)当 或 时，点 与点 之间的距离为 个单位长度 (4) 【分析】（1）根据 即可求解； （2）依题意， ，根据点 与点 相遇时 ，解方程即可求解； （3）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （4）分点 在线段 上和线段 上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点 在线段 上， ， ， ∴ ， 故答案为： ． （2）解：依题意， ， 当点 与点 相遇时 ， 解得： ； （3）解：相遇前点 与点 之间的距离为 个单位长度时， ， 解得： ， 相遇前点 与点 之间的距离为 个单位长度时，则 ， 解得： ， 综上所述，当 或 时，点 与点 之间的距离为 个单位长度； （4）∵ ， 当 在线段 上时， ，此时 ， ∵ ， ∴ ，解得： （舍去） 当 在线段 上时， ，此时 ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ 【点睛】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 4．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图， 是线段 上一动点，沿 以 的速度往 返运动 次， 是线段 的中点， ，设点 的运动时间为 秒（ ）． (1)当 时， ① ； ②求线段 的长度； (2)用含 的代数式表示运动过程中 的长； (3)当 时，求 的值； (4)在运动过程中，若 的中点为 ，则 的长是否变化？若不变，求出 的长；若发生变化，请说明 理由． 【答案】(1)① ；② (2)当 时， ；当 时， (3) 或 (4)不变， 【分析】（1）①根据 即可得出结论； ②先求出 的长，再根据 是线段 的中点即可得出 的长； （2）分两种情况进行讨论即可； （3）根据时间＝路程÷速度计算即可； （4）根据中点定义即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵ 是线段 上一动点，沿 以 的速度往返运动， ∴当 时， ．故答案为： ； ②∵ ， ， ∴ ， ∵ 是线段 的中点， ∴ ． ∴线段 的长度为 ． （2）∵ 是线段 上一动点，沿 以 的速度往返运动， 当点 从点 出发到点 时， ， ∴当点 沿点 运动时， 这时： ， ； 当点 沿点 运动时， 这时： ， ； （3）当点 沿点 运动时， （ ）， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得： ， 当点 沿点 运动时， （ ）， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得： ， 综上所述，当 时，求 的值为 或 ； （4）不变． ∵ 的中点为 ， 是线段 的中点， ， ∴ ， ， ∴， 即： 的长为 ． 【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和与差，中点的定义，一元一次方程的应用，本题运用了分类讨 论的方法．利用线段中点的定义及线段的和差得出相应的等量关系是解题关键． 【类型四 几何图形中动角定值问题】 例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图 是 的平分线， 是 的平分线， ， (1)求 的度数. (2)当射线 在 的内部线绕点 转动时，射线 、 的位置是否发生变化？说明理由. (3)在（2）的条件下， 的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围. 【答案】(1) (2)发生变化，理由见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ，进而根据 即可求解； （2）根据 ，则 转动时 同样在动，同理 也在动；（3）根据（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵ 是 的平分线， 是 的平分线， ， ∴ ， ∴ （2）解：∵ ， ∴ 转动时 同样在动， 同理 同样转动； （3） 不变同样35°； 解：当射线 在 的内部线绕点 转动时， ∵ 是 的平分线， 是 的平分线， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知 ， ， 平分 ， 平分 . （1）如图，当 、 重合时，求 的值； （2）若 从上图所示位置绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒（ ），在旋转过程中 的值是否会因 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 【答案】（1）35°；（2）是定值，35° 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解； （2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°），∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°），最后根据 ∠AOE-∠BOF求解可得． 【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE= ∠AOB= ×110°=55°，∠BOF= ∠COD= ×40°=20°， ∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°； （2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2， 由题意∠BOC=3t°， 则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°），∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°）， ∴∠AOE-∠BOF= （110°+3t°）- （40°+3t°）=35°， ∴∠AOE-∠BOF的值是定值． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． 2．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在 内部作射线 ． ， 分别平 分 和 ， 与 互补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°； (2)如图2，若 平分 ．试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是， 请说明理由．【答案】(1) 、 、 ； (2) 是定值，理由见解析 【分析】（1）根据给出的关系，依次求出 、 、 、 等度数，进而求得结果； （2）根据 ，从而表示出分子，根据 ，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵ 和 互补， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 分别平分 和 ， ∴ ， ， ∴ ， ， 故答案为： 、 、 ； （2） 是定值， 理由如下： ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数 量关系． 3．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的 三角板的顶点重合于一点 ，绕着点 转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点 在射线 上时，直接写出 的度数是____________度； (2)①如图2，当 为 的角平分线时，求出此时 的度数； ②如图3，当 为 的角平分线时，求出此时 的度数； (3)若 只在 内部旋转，作 平分线 交 于点 ，再作 的平分线 交 于点 ， 在转动过程中 的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ；② (3) 的值不会发生变化， ，理由见解析 【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可； （2）①根据角平分线的定义得到 ，再根据 进行求解即可；②根据角 平分线的定义得到 ，再根据 进行求解即可； （3）分别用 表示出 ．再根据角平分线的定义表示出 ， ， 再根据 进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ ， 故答案为： ； （2）解：①由题意得， ，∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ； ②由题意得， ， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解： 的值不会发生变化， ，理由如下： 由题意得， ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键． 【类型五 几何图形中动角数量关系问题】 例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB 上方，OD在OE的左侧，AOC 120，DOE80．(1)如图1，当OD平分AOC时，求EOB的度数； (2)点F 在射线OB上，若射线OF 绕点O逆时针旋转n（0n180且n60），FOA3AOD．当 DOE在AOC内部（图2）和DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，FOE和EOC的数量关系 是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1)40 (2)不改变，EOF 2EOC，理由见解析 【分析】（1）由OD平分AOC，则DOC=60，由DOE=80，得到EOC=20，最后得到 EOB40； （2）分两种情况，DOE在AOC内部时，令AOD x，则DOF 2x， EOF 802x，EOC40x，结论成立；DOE的两边在射线OC的两侧时．令AOD x，则 DOF 2x，DOC 120x，EOF 2x80，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵OD平分AOC， 1 COD AOC 60 ∴ ， 2 ∵DOE80． ∴COEDOECOD20， ∴AOEAOCCOE 12020140， ∴BOE180AOE40； （2）①DOE在AOC内部时． 令AOD x，则DOF 2x，EOF 802x， EOC120x2x802x40x ∴ ， ∴EOF 2EOC； ②DOE的两边在射线OC的两侧时．令AOD x， 则DOF 2x，DOC 120x，EOF 2x80， EOC80120xx40 ∴ ，∴EOF 2EOC． 综上可得，FOE和EOC的数量关系不改变，EOF 2EOC 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计 算． 【变式训练】 1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线AB上，COD在直线AB上方，且 COD60，射线OE在COD内部，AOE2DOE． (1)如图1，若OD是BOC的平分线，求COE的度数； (2)如图2，探究发现：当BOD的大小发生变化时，COE与BOD的数量关系保持不变．请你用等式 表示出COE与BOD的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)BOD3COE，理由见解析 【分析】（1）根据补角的定义可得AOD120，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设COEx，则DOE 60x，再利用AOE2DOE，然后整理可得结论． 【详解】（1）∵OD是BOC的平分线， ∴BODCOD60， ∴AOD180BOD120． ∵AODAOEDOE,AOE2DOE， ∴AOD3DOE， 1 DOE AOD40 ∴ ， 3 ∴COECODDOE20． （2）BOD3COE， 设COEx，则DOE 60x，∵AOE2DOE， ∴AOD3DOE3(60x)1803x， ∴BOD180AOD180(1803x)3x， ∴BOD3COE． 【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，AOB100，COD40，射线OE平分AOC，射 线OF 平分BOD（本题中的角均为大于0且小于180的角）． (1)如图，当OB，OC重合时，求EOF的度数； 0n40 COD AOEBOF (2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是否为定值？若是 定值，求出AOEBOF 的值，若不是，请说明理由． 0n220 COD AOE BOF (3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有怎样的数量关系？ 【答案】(1)70 (2)为定值，理由见解析 (3)当0n80时， AOEBOF 30；当80n140时，AOEBOF 110；当140n220时， BOFAOE30 1 1 【分析】(1)根据角平分线的定义知 EOB AOB 、 BOF  COD ，再根据 2 2 EOF EOBBOF 可得答案； (2)由题意知AOC AOBBOC 100n、BODBOCCODn40，根据角平分线的定义 1 100n 1 n40 得AOE AOC  、BOF  BOD ，代入计算可得答案； 2 2 2 2 (3)分情况计算，利用n表示出AOC，BOD，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解： AOB100，COD40，射线OE平分AOC，射线OF 平分BOD， 1 1 1 1 EOB AOB 10050、BOF  COD 4020， 2 2 2 2EOF EOBBOF 502070； （2）解：AOEBOF 的值为定值， 理由如下：如图： 0n40 COD  从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 AOC AOBBOC 100n，BODBOCCODn40，点C、D在直线AO的右侧， 射线OE平分AOC，射线OF 平分BOD，  1 100n 1 n40 AOE AOC  ，BOF  BOD ， 2 2 2 2 100n n40 AOEBOF   30 ， 2 2 AOEBOF的值为定值； （3）解：当0n80时，如图2：由(2)知，AOEBOF 30； 当80n140时，如图3所示， AOC 360AOBBOC 360100n260n，BODBOCCODn40， 射线OE平分AOC，射线OF 平分BOD，  1 260n 1 n40 AOE AOC  ，BOF  BOD ， 2 2 2 2 260n n40 AOEBOF   110 ； 2 2 当140n220时，如图4所示， AOC 360AOBn360100n260n， BOD360nCOD360n40320n， 射线OE平分AOC，射线OF 平分BOD，  1 260n 1 320n AOE AOC  ，BOF  BOD ， 2 2 2 2 320n 260n BOFAOE  30； 2 2 综上，AOE与BOF具有的数量关系为：当0n80时， AOEBOF 30；当80n140时， AOEBOF 110；当140n220时，BOFAOE30． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是 解决本题的关键． 3．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图， ， ，射线 平分 ，射 线 平分 （本题中的角均为大于 且小于 的角）． (1)如图，当 ， 重合时，求 的度数；(2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是否为定值？若是 定值，求出 的值，若不是，请说明理由． (3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)当 时， ；当 时， ；当 时， 【分析】(1)根据角平分线的定义知 、 ，再根据 可得答案； (2)由题意知 、 ，根据角平分线的定义 得 、 ，代入计算可得答案； (3)分情况计算，利用n表示出 ， ，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解： ， ，射线 平分 ，射线 平分 ， 、 ， ； （2）解： 的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 ， ，点C、D在直线 的右侧， 射线 平分 ，射线 平分 ， ， ，， 的值为定值； （3）解：当 时，如图2：由(2)知， ； 当 时，如图3所示， ， ， 射线 平分 ，射线 平分 ， ， ， ； 当 时，如图4所示， ， ， 射线 平分 ，射线 平分 ，， ， ； 综上， 与 具有的数量关系为：当 时， ；当 时， ；当 时， ． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是 解决本题的关键． 【类型六 几何图形中动角求运动时间问题】 例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1， ， ， 三点在一条直线上，且 ， ，射线 ， 分别平分 和 ．如图2，将射线 以每秒 的速度绕点 逆时针 旋转一周，同时将 以每秒 的速度绕点 逆时针旋转，当射线 与射线 重合时， 停止运 动．设射线 的运动时间为 秒． (1)运动开始前，如图1， ______ ， ______ ； (2)旋转过程中，当 为何值时，射线 平分 ? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)39，51 (2) (3)存在，符合条件的 的值为12s或33s 【分析】（1）根据平角的定义求得 ，再根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据 列方程求解即可； （3）分情况根据 列方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 三点在一条直线上， ， ，， ， 分别平分 和 ， ， ， 故答案为：39，51； （2）解： 射线 以每秒 的速度绕点 逆时针旋转一周，同时将 以每秒 的速度绕点 逆时针 旋转， ， 射线 平分 ， ， ， ， ； （3）解：存在某一时刻使得 ，分以下几种情况： 情况一：若 在 上方，此时 ， 即 ， 解得 ； 情况二：若 在 下方，此时 ， 即 ， 解得 （不符合题意，舍去）； 情况三：当 停止运动时， 继续旋转时，当 旋转264°时，有 ， 此时 ． 综上所述，符合条件的 的值为12s或33s．【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线 上一点，过点O作射线 ， ， 将一直角三角板（ ）的直角顶点放在点O处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方． (1)将图1中的三角板绕点O以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后， 恰好平分 ．求t的值；并判断此时 是否平分 ？说明理由； (2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕O点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周， 那么经过多长时间 平分 ？请说明理由． 【答案】(1) ； 平分 ，理由见解析 (2) 的值为 或 【分析】（1）根据 的度数求出 的度数，根据互余得出 的度数，进而求出时间t即可； 根据题意和图形得出 ， ，再根据 ，即可得出 平分 ； （2）根据题意和图形得出 ，再根据旋转求出结果即可． 【详解】（1）解：旋转前 , 当 平分 时， ， 则 , 解得： ， 结论： 平分 , 理由：∵ ， 又∵ ， ∴ ,∴ 平分 ； （2）解： 若 平分 ， 则 ， ∴ ， ∴ ， 当 停止时, 平分 , 则有 , ∴ , 综上所述，满足条件的 的值为 或 ． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问 题. 2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知， 是 内部的一条射线，且 ． (1)如图1所示，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数；(2)如图2所示， 是直角，从点O出发在 内引射线 ，满足 ，若 平分 ，求 的度数； (3)如图3所示， ，射线 ，射线 分别从 出发，并分别以每秒 和每秒 的速度绕 着点O逆时针旋转， 和 分别只在 和 内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出 和 的数量关系； ②若 ，当 ，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)① ；② 【分析】（1）先求出 ，再根据角平分线的定义得到 ，由此即可得 到答案； （2）先求出 ，则 ，进一步求出 ，由角平分线的定义得到 ，进而可得 ； （3）①先求出 ， ，根据题意可得 ，由此求出 ， ，则 ；②求出 ，再由 ， ，得到 ，把 代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分 平分 ， ∴ ，∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ； （3）解：①∵ ， ∴ ， ∴ 由题意得： ， ∴ ， ， ∴ ； ②由①知 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 把 代入得： 解得 ，∴若 ，当 时， ． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． 3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题． (1)【探索新知】 如图1，射线 在 的内部，图中共有 个角： ， 和 ，若其中有一个角的度 数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 ．（用含 的代数式表示出所 有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若 ，且射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，当与 与 成 时停止旋转，旋转的时间为 秒． ①当 为何值时，射线 是 的“巧分线”． ②若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止．请直接写出当射线PQ是 MPN 的“巧分线”时t的值． 1 2 1 【答案】(1)①是；② 或 或  2 3 3 (2)①9s或18s或12s；②6s或4s或2.4s 【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解； ②分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 ②∵MPN ，当PQ是MPN 的角平分线时， 1 1 ∴MPQ  ； 2 2 当PQ是MPN 三等分线时，MPQ较小时， 1 1 ∴MPQ  ； 3 3 当PQ是MPN 三等分线时，MPQ较大时， 2 2 ∴MPQ  ； 3 3 1 1 2 故答案为： 或 或 ； 2 3 3 PM QPN （2）解：①∵ 是 的“巧分线”， ∴PM 在QPN 内部，所以PQ转至PM 左侧， ∵PQ与PN 成180时停止旋转，且MPN 60，PQ旋转速度为10/s． ∴6t≤18． MPN 2QPM 当 1 时，如图所示： 1 10t 60 60， 2 解得t 9； 当MPN QPN 时，如图所示： 10t 260， 解得t 12；2MPN Q PN 当 2 时，如图所示： 10t 60260， 解得t 18． ∵9s或12s或18s均在6t≤18的范围内， ∴综上可得：当t为9s或12s或18s时，射线PM 是QPN 的“巧分线”； ②依题意有：PQ在MPN 的内部， ∴QPN 10t，MPN 5t60， 1 当QPN  MPN时，如图所示： 3 1 10t  5t60 ， 3 解得t 2.4； 1 QPN  MPN ②当 时，如图所示： 2 1 10t  5t60 ， 2 解得t4； 2 QPN  MPN ③当 时，如图所示： 32 10t  5t60 ， 3 解得t6． ∴当t为2.4s或4s或6s时，射线PQ是MPN 的“巧分线”． 【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能 力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．