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专题 5.1 三角函数的概念、同角三角函数的
基本关系
题型一 象限角及终边相同的角
题型二 扇形的弧长及面积公式
题型三 三角函数的定义及其应用
题型四 三角函数符号的判断
题型五 同角三角函数基本关系（知一求二）
题型六 齐次式化简求值
题型七 与 的应用
题型一 象限角及终边相同的角
例1．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角
【答案】B
【分析】根据象限角的定义以及终边相同的角，可得答案.
【详解】对于A，终边相同的角可表示为 ，故A错误；
对于B，锐角的取值范围为 ，故B正确；
对于C，第二象限角的取值范围为 ，故C错误；
对于D，锐角的取值范围为 ，其 ，则 ，但 不是锐角，故D错误.
故选：B.
例2．（2023·高三单元测试）设集合 ， ，
则集合 ， 的关系为（ ）
A． B． C． D．莫得关系
【答案】B
【分析】对于集合 ，分 和 分别来研究可得答案.【详解】集合
对于集合 ，
当 时， ；
当 时， ，
.
故选：B.
练习1．（2022秋·四川凉山·高三统考期末）“角A不大于 ”是“角A属于第一象限
角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由第一象限角定义判断“角A不大于 ”与“角A属于第一象限角”间关系即可.
【详解】“角A不大于 ”则A可能为 ，不能得到“角A属于第一象限角”；
由“角A属于第一象限角”，则A可能为 ，不能得到“角A不大于 ”.
则“角A不大于 ”是“角A属于第一象限角”的既不充分也不必要条件.
故选：D
练习2．（2022秋·江苏扬州·高三扬州中学校考期末）如图所示，终边落在阴影部分 包括
边界 的角 的集合是__________.
【答案】
【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在y轴上的角为 ，
终边落在图中直线上的角为 ；
，
即终边在直线上的角为 ， ，
所以终边落在阴影部分的角为 ，
故答案为：
练习3．（2022秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）（多选）下列说法错误的是
（ ）
A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
B．若角 ，则 角为第二象限角
C．若角 为第一象限角，则角 也是第一象限角
D． 是 的充要条件
【答案】ACD
【分析】根据角的定义可判断A，根据弧度与角度的关系可判断B，根据象限角的范围即
可判断C，根据三角函数的周期性即可判断D.
【详解】对于A：将表分针拨快5分钟，则分针转过的角度为 ，故A不正确；
对于B：因为角 ，所以角 为第二象限角，故B正确；
对于C：若 为第一象限角，不妨取 ，则角 为第三象限角，故C错误；
对于D:若 ，则 ，故充分性成立，但 ， 可以为 ，故D错误，
故选：ACD
练习4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知点
在第二象限，则 为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】点在第二象限，根据坐标特征得 的符号，即可得 所在象限.
【详解】因为点 在第二象限，所以 ， ，即 为第三象限角．
故选：C
练习5．（2023春·辽宁沈阳·高三校联考期中）下列与 角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
【详解】 角用弧度制表示为 ，B、D错误；
终边相同应加上 ，故C错误．
故选：A．
题型二 扇形的弧长及面积公式
例3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的
底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面
积为 ，其圆心角为 ，圆面中剩余部分的面积为 ，当 与 的比值为 时，扇面
为“美观扇面”，则下列结论错误的是（ ）（参考数据： ）
A．
B．若 ，扇形的半径 ，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径 ，则此时的扇形面积为
【答案】D
【分析】求得 判断选项A；求得满足条件的 的值判断选项B；求得满足条件的 的值
判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D.
【详解】扇形的面积为 ，其圆心角为 ，半径为R，圆面中剩余部分的面积为 ，选项A： .故A正确；
选项B：由 ，可得 ，解得 ，又扇形的半径 ，
则 .故B正确；
选项C：若扇面为“美观扇面”，则 ，
解得 .故C正确；
选项D：若扇面为“美观扇面”，则 ，又扇形的半径 ，
则此时的扇形面积为 .故D错误.
故选：D
例4．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其
中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 （弦×矢+矢×矢）．弧田
（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与
圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径为 的弧田，按照上述经验公式计算所得
弧田面积约是（ ）（精确到 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.
【详解】依题意，弦 (m)，矢 (m)，
则弧田面积= ( )，
所以弧田面积约是 .
故选：A练习6．（2023春·山东·高三滨州一中校联考期中）时钟的分针长 ，从 到 ，
分针转过的角的弧度数为______，分针扫过的扇形面积为______ .
【答案】
【分析】直接计算出分钟转过的弧度数，利用扇形的面积公式可求得分针所扫过的面积.
【详解】由题意得，分针转过的角的弧度数为 ，
分针扫过的扇形面积为 .
故答案为： ； .
练习7．（2023春·山东·高三统考期中）如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为
4，则其中每一份的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出圆的面积，再乘以 即可.
【详解】因为航海罗盘将圆周32等分，圆盘的半径为4，
所以每一份的扇形面积为 .
故选：C.
练习8．（2023春·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）设扇形的周长为 ，则
当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设扇形半径为 ，由周长 求出弧长为 ，根据扇形面积公式 求出面积最
大时 的值，并由此算出圆心角的弧度数，或使用基本不等式利用半径的二倍与弧长的和
为定值结合扇形面积公式进行求解.【详解】方法一：
设扇形的半径为 （ ），则扇形的弧长 （ ），
扇形的面积 ，（ ），
由二次函数知识，当 （满足 ）时，扇形的面积 取最
大值，
此时，扇形的弧长 ，扇形圆心角的弧度数 .
方法二：
设设扇形的半径为 ，弧长为 （ ， ），则扇形的周长 ，
由基本不等式，
扇形的面积 ，当且仅当 时取等号，
此时，扇形的圆心角的弧度数 .
故选：B.
练习9．（2023春·山东威海·高三校考阶段练习）如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长
是2，则弦AB的长为________．
【答案】
【分析】由扇形面积公式 可得 ，从而求得 ，再根据 即
可求解.
【详解】由扇形面积公式 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
练习10．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）一个表面积为 的圆锥，
其侧面展开图是一个中心角为 的扇形，设该扇形面积为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由弧长公式可求出圆锥母线与底面圆半径的关系，再由圆锥表面积公式可解.
【详解】设圆锥母线长 ，底面圆半径 ，
，所以 ，
圆锥表面积 ，扇形面积 ，
所以 .
故选：D
题型三 三角函数的定义及其应用
例5．（2023春·北京丰台·高三统考期中）在平面直角坐标系中，动点 在单位圆上按逆
时针方向作匀速圆周运动，每 分钟转动一周. 若点 初始位置的坐标为 ，则运
动到 分钟时，动点 所处位置 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设坐标原点为 ，点 为 ，由三角函数定义求 的正弦和余弦，结合诱
导公式 的正弦和余弦，由此可得 坐标.
【详解】因为点 初始位置的坐标为 ，
所以 ，
因为每 分钟转动一周，逆时针运动 分钟，动点 所处位置为 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以点 的坐标为 ,
故选：C.例6．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）将顶点在原点，始边为 轴非负半轴的锐角 的终
边绕原点顺时针旋转 后，交单位圆于点 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据任意角三角函数的定义，求得 的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公
式，可得答案.
【详解】由点 在单位圆上，则 ，解得 ，
由锐角 ，即 ，则 ，
故 ，
所以
.
故选：D
练习11．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考期中）已知角 的终边与单位圆交
于点 ，则 ________．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得 ，再由三角函数的定义即可得到结果.
【详解】由题意可得， ，则 ，由三角函数的定义可得 .
故答案为：
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）恒过定
点P，若角 的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边恰好经过点P，则
______
【答案】 /
【分析】利用对数函数图象的平移变换及性质，求出定点P，进而得到 ，利用三
角函数的二倍角公式，以及平方关系构造齐次式，再利用商数关系化简求值即可.
【详解】因为函数 可看作是由函数 向左平移2个单位，再向上
平移3个单位得到，
而 恒过点 ，所以 恒过点 ，即 ，
则 ，故 ，
故答案为： .
练习13．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）若点 在角
的终边上，则 __________．
【答案】 /
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得 的值，再利用二倍角的余弦公
式求得 的值.
【详解】因为点 ，即 在角 的终边上，且 ，
所以 ，则 .
故答案为:
练习14．（2023·山西晋中·统考三模）角 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆
交于点P．已知 ．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数的定义结合 ，即可判断.
【详解】设 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 同号，且 ，则ABD错误.
故选：C
练习15．（河南省南阳市六校2022-2023学年高一下学期第二次联考数学试题）在平面直
角坐标系 中，角 的顶点为O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由诱导公式、倍角余弦公式得 ，三角函数定义知
，代入求值即可.
【详解】 ，由题意 ，
所以 .
故选：B
题型四 三角函数符号的判断
例7．（2023春·辽宁·高三校联考期中）点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先判断 在第几象限，进而判断三角函数值的符号，即可得结果.【详解】因为 ，则 为第三象限角，
可得 ，
所以 位于第四象限.
故选：D.
例8．（2021春·高一课时练习）已知点 在第二象限，则 是第________象
限角．
【答案】四
【分析】由点 在第二象限，得到 ，从而得到 所在的象限．
【详解】因为点 在第二象限，
所以 ，
由 可得 的终边在第二象限或第四象限；
由 可得 的终边在第一象限或第四象限或在 轴的非负半轴上，
所以 是第四象限角．
故答案为：四.
练习16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是第二象限角，则点
所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.
【详解】因为 是第二象限角，所以 ， ，
进而硧定 ， .
所以点 在第四象限.
故选：D
练习17．（2023春·江西赣州·高三赣州中学校考阶段练习）（多选）下列结论正确的是（
）
A． 与 的终边相同
B．若 为第三象限角，则
C．若 ，则 为第一象限角
D．若 为第一象限角，则 不可能为第二象限角
【答案】ABD【分析】根据终边相同的角的表示判断A，利用象限角的定义判断B、D，利用特殊值判断
C.
【详解】对于A：因为与 终边相同的角表示为 ， ，
当 时 ，即 与 的终边相同，故A正确；
对于B： 为第三象限角，则 ， ，
则 ， ，即 位于第二象限或第四象限，所以 ，故B正
确；
对于C：当 时 ，但是 不属于任何一象限，故C错误；
对于D： 为第一象限角，则 ， ，
则 ， ，所以 不可能为第二象限角，故D正确；
故选：ABD
练习18．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）若 ， ，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】判断出 、 的符号，由此可判断出角 的终边所在的象限.
【详解】由 ， ，得 ， ，所以 是第四象
限角.
故选:D.
练习19．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知 ，
则点P所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据角所在象限确定点横、纵坐标的正负，即可得解.
【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，
所以 ，
所以点P所在象限为第四象限.
故选：D.
练习20．（2023春·全国·高三阶段练习）（多选）求函数 可能取值，其中（ ）
A．16 B． C．10 D．-10
【答案】ABD
【分析】讨论 的象限，化简函数解析式即可.
【详解】由函数 有意义可得 ，
当 时，
，
当 时，
，
当 时，
，
当 时，
，
故选：ABD.
题型五 同角三角函数基本关系（知一求二）
例9．（2023春·江西·高三校联考期中）已知 ，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求解即可.
【详解】由 ，且 ，
得 ，
所以 .故选：A.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 __________．
【答案】
【分析】判断角所在象限，根据同角的三角函数关系解得 的值，根据角的象
限，即可确定 的值，可得答案.
【详解】由 可知 在第一象限或第三象限，
由 可得 ，
结合 ，解得 ，
在第一象限时， ，此时 ，
在第三象限时， ，此时 ，
故答案为：
练习21．（2021·高一单元测试）若 是第二象限角，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解.
【详解】因为若 是第二象限角，且 ，
所以 .
故选：D.
练习22．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）已知 ，
，则 ______.
【答案】 /
【分析】根据同角三角函数关系求解即可.【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故答案为： .
练习23．（2023春·四川宜宾·高三校考阶段练习）已知 ， ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系公式可求出结果；
（2）根据和差角公式可求出结果.
【详解】（1）由 ， ，
所以 ,
所以 ；
（2） .
练习24．（2021·高三课时练习）（多选）若 为锐角， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD【分析】根据 为锐角， 先求出 ，进而求出 ，然后 ，
在根据 逐项分析即可.
【详解】因为 为锐角， ，
所以
所以 ，
所以A错误；
所以 ，
所以 ，
所以B正确;
因为 ，
所以 ，
所以C正确；
由 ，
所以D正确，
故选：BCD.
练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知 是第三象限角， ，则
________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式可得 ，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】因为 ，
整理可得 ，
解得 ，或 ，由于 是第三象限角， （舍去）
所以 ， ．故答案为： ．
题型六 齐次式化简求值
例11．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）已知 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化简可得 ，分子分母同时除以
，代入即可得出答案.
【详解】
故选：C.
例12．（2023春·广东河源·高三龙川县第一中学校考期中）已知 ，并且 是第二
象限角．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式计算作答.
（2）由（1）的结论，利用齐次式法计算作答.
【详解】（1）因为 ，且 是第二象限角，则 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，所以 .练习26．（2023春·海南海口·高二海口一中校考期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角的正弦公式变形后，再弦化切可得结果.
【详解】 .
故选：B
练习27．（2023春·云南曲靖·高二宣威市第三中学校考阶段练习）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换，将问题由弦化切计算即可.
【详解】 ，分子分母同时除以 可得：
=5，
故选：A.
练习28．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）（1）若 ，求 的值;
（2）化简： .
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）弦化切后代入计算；
（2）由两角和与差的正弦、余弦公式结合商数关系化简变形．
【详解】（1）（2）原式
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴
重合，终边在直线 上，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角的终边在直线上可得 ，利用二倍角余弦公式及同角三角函数的基
本关系可得.
【详解】因为终边在直线 上，
所以分别在第一象限、第三象限取点 ， ,
，
，
故选：A
练习30．（2023春·北京西城·高三北师大实验中学校考期中）如果角 的终边在直线
上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为角 的终边在直线 上，
所以 .
所以 .
故选：B.
题型七 与 的应用
例13．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知 ，则
的值等于__________.
【答案】 /【分析】将已知等式左右同时平方求得 的值，进而可得
的值，结合 的范围，可得 ，即可得答案.
【详解】由于 ，
所以 ，故 ，
所以 .
故答案为：
例14．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知关于x的方程
的两个实根为 和 ，且 ，求b的值和 的值．
【答案】
【分析】由题意解方程可得 的值，可得 ，进而利用平方差公式，同角三角函
数的基本关系式即可求解.
【详解】因为关于x的方程 的两个实根为 和 ，
所以 ，由 可得，
，解得 ，此时 ，
又因为 ，所以 为第一象限角，所以 ，
则 ，可得 ，所以 ，
所以 .
练习31．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知在 中，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号.
【详解】因为 ，则
，
可得 ，
又 ，则 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，
所以 .
故选：B.
练习32．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）若 ，则
（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】利用 之间的关系和题给条件即可求得分别求得
的值，进而得到 的值.
【详解】因为 ，
设 （ ），
则 ，所以 ， ，
即 ，所以 或 （舍）
所以 ，
．故选：A．
练习33．（2023春·四川乐山·高三四川省乐山沫若中学校考阶段练习）已知 ，若
，则 的值为____________
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式求出 ，再代入计算作答.
【详解】因为 ， ，则有 ，
有 ，即 ， ，
因此 ，
所以 .
故答案为：
练习34．已知 、 是方程 的两个实数根，其中 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 以及 ，结合韦达定理可求得实数
的值；
（2）利用同角三角函数的平方关系求出 的值，即可得出 的值.
【详解】（1）因为 、 是方程 的两个实数根，所以， ，可得 ，
又因为 ，即 ，解得 ，合乎题意.
因此， .
（2）由（1）知 ， ，
因为 ，则 ， ，所以， ，
所以 ，则 ，
因此， .
练习35．（2022秋·河南开封·高一校考阶段练习）（1）已知 ，且 为第四象限
角，求 和 的值；
（2）已知 ，若 是第二象限角，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解，
（2）由 得 的值，
再由 求解，
【详解】（1）因为 为第四象限角，则 ，
，
.
（2） ，
所以 ，所以，
所以 .又因为 是第二象限角，所以 ， ，所以
.
