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专题 4.1 与线段有关的动点问题
【典例1】已知，线段AB上有三个点C、D、E，AB=18，AC=2BC，D、E为动点（点D在点E的左
侧），并且始终保持DE=8．
（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2，点F为线段BC的中点，AF=3AD，求AE的长；
（3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时
间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
【思路点拨】
（1）由AB=18，AC=2BC，求解AC,BC，再利用E为BC中点，求解EC, 再求解DC， 最后利用
AD=AC−CD，从而可得答案；
（2）由点F为线段BC的中点，求解CF,BF，再求解AF,AD，DF,EF,BE，再利用AE=AB−BE，
即可得到答案；
（3）如图3，以A为原点建立数轴，则C,B分别表示12,18，先确定DE的最长运动时间，再在运动后，
表示D对应的数为2t, E对应的数为8+2t, 求解AD,BE，再分两种情况列方程即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）如图1，
∵ AB=18，AC=2BC，
2 1
∴AC= AB=12，BC= AB=6，
3 3
∵ E为BC中点时，
1
∴CE=BE= BC=3，
2
∵ DE=8,∴DC=DE−CE=8−3=5，
∴AD=AC−CD=12−5=7.
（2）如图2，
∵ 点F为线段BC的中点，
1
∴CF=BF= BC=3，
2
∵AB=AF+FB=18，
∴AF=18−3=15，
∵ AF=3AD，
∴AD=5，
∴DF=AF−AD=15−5=10，
∵DE=8，
∴EF=DF−DE=10−8=2，
∴BE=EF+BF=2+3=5，
∴AE=AB−BE=18−5=13.
（3）如图3，以A为原点建立数轴，则C,B分别表示12,18，
由运动开始前：BE=AB−DE=18−8=10，
10
∴ DE的最长运动时间为： =5s,
2
运动后，由题意可得：D对应的数为2t, E对应的数为8+2t,
∴AD=2t,BE=18−(8+2t)=10−2t,
当AD=2BE时，
∴2t=2(10−2t),
∴6t=20,
10
∴t= ，
3
10
经检验：t= 符合题意，
3
当2AD=BE时，∴4t=10−2t,
∴6t=10,
5
∴t= ,
3
5
经检验：t= 符合题意，
3
10 5
综上：当t= s或t= s时，AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
3 3
1．（2022·贵州黔西·七年级期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点.
点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不
超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB=2时，则运动时间t的值为（ ）
3 7 3 7 13 17
A． 秒或 秒 B． 秒或 秒或 或 秒
2 2 2 2 2 2
13 17
C．3秒或7秒 D．3秒或 或7秒或 秒
2 2
【思路点拨】
根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论．
【解题过程】
解：∵数轴上的点O和点A分别表示0和10
∴OA=10
∵B是线段OA的中点，
1
∴OB=AB= OA=5
2
①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示，PB=2
此时点P运动的路程OP=OB－PB=33
∴点P运动的时间为3÷2= s；
2
②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示，PB=2
此时点P运动的路程OP=OB+PB=7
7
∴点P运动的时间为7÷2= s；
2
③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示，PB=2
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13
13
∴点P运动的时间为13÷2= s；
2
④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示，PB=2
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17
17
∴点P运动的时间为17÷2= s；
2
3 7 13 17
综上所述：当PB=2时，则运动时间t的值为 秒或 秒或 或 秒
2 2 2 2
故选B．
1
2．（2021·河北·平山县外国语中学七年级期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的 多
4
5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运
动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB
1
＝ BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（ ）
2A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
1
根据AC比BC的 多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到
4
达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．
【解题过程】
解：设BC＝x，
1
∴AC＝ x+5
4
∵AC+BC＝AB
1
∴x+ x+5＝30，
4
解得：x＝20，
∴BC＝20，AC＝10，
∴BC＝2AC，故①成立，
∵AP＝2t，BQ＝t，
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∵M是BP的中点
1
∴MB＝ BP＝15﹣t
2
∵QM＝MB+BQ，
∴QM＝15，
∵N为QM的中点，
1 15
∴NQ＝ QM＝ ，
2 2
∴AB＝4NQ，
当15＜t≤30时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M是BP的中点
1
∴BM＝ BP＝t﹣15
2
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
1 15
∴NQ＝ QM＝ ，
2 2
∴AB＝4NQ，
当t＞30时，
此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
1
∴BM＝ BP＝t﹣15
2
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
1 15
∴NQ＝ QM＝ ，
2 2
∴AB＝4NQ，
综上所述，AB＝4NQ，故②正确，
1
当0＜t≤15，PB＝ BQ时，此时点P在线段AB上，
2
∴AP＝2t，BQ＝t
∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，
1
∴30﹣2t＝ t，
2
∴t＝12，
1
当15＜t≤30，PB＝ BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
2
∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
1
∴2t﹣30＝ t，
2
t＝20，
当t＞30时，此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
1
∴2t﹣30＝ t，
2
t＝20，不符合t＞30，
1
综上所述，当PB＝ BQ时，t＝12或20，故③错误；
2
故选：C．
3．（2022·广东·南联学校七年级阶段练习）线段AB=15，点P从点A开始向点B以每秒1个单位长度的速
度运动，点Q从点B开始向点A以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随
之停止运动，当AP=2PQ时，t的值为________．
【思路点拨】
根据时间与速度可以分别表示出AP、BQ，结合AP=2PQ分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系
计算出t的值．
【解题过程】
解：此题可分为两种情况进行讨论：
①如图1，
点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，
当AP=2PQ时，t＝2(15－t－2t)，
30
解得t＝ ；
7
②如图2，点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，
当AP=2PQ时，t＝2(t＋2t－15)，
解得t＝6．
30
综上所述：t的值为 或6．
7
30
故答案为： 或6．
7
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图直线l上有AB两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，
OA=2OB，若点C是射线AB上一点，且满足AC=CO+CB，则OC＝______cm．
【思路点拨】
根据题意可求出OA=8cm，OB=4cm．设OC=xcm，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB
之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据AC=CO+CB，即得出关于x
的等式，解出x即可．
【解题过程】
解：∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
2 1
∴OA= AB=8cm，OB= AB=4cm．
3 3
设OC=xcm，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知，AC=OA−OC=(8−x)cm，CB=OC+OB=(x+4)cm，
∵AC=CO+CB，
∴8−x=x+x+4，
4
解得：x= ．
34
故此时OC= cm；
3
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知，CO+CB=OB=4cm，AC=AO+OC=(8+x)cm>8cm．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知，AC=OA+OC=(8+x)cm，CB=OC−OB=(x−4)cm，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=x+x−4，
解得：x=12．
故此时OC=12cm；
4
综上可知OC的长为 cm或12cm．
3
4
故答案为： 或12．
3
5．（2022·辽宁·辽阳市第一中学七年级期中）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别
从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【思路点拨】
（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；
②设运动时间为：t秒，则PC=t,BD=2t，利用中点的性质表达出：AP=2PC=2t,BP=2BD=4t，即可得出答案；
（2）依题意得出BD＝3PC，PD＝3AC，再由PB=BD+PD=3AP和PB+AP=AB，即可得出AP
的长度．
【解题过程】
解：（1）①依题意得：PC=1×2=2,BD=2×2=4，
∴AC＋PD=AB−PC−PD=18−2−4=12(cm)，
故答案为：12；
②设运动时间为t秒，则PC=t,BD=2t
∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，
∴AP=2PC=2t,BP=2BD=4t
∴AP:BP=2t:4t=1:2
故答案为：1:2；
（2）设运动时间为t秒，则PC=t,BD=3t，
∴BD＝3PC，
∵PD＝3AC，
∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3(PC+AC)=3AP，
∵PB+AP=AB
∴3AP+AP=AB
1 1 9
∴AP= AB= ×18= (cm)．
4 4 2
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单
位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当PB=2AM时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求(2BM−BP)的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长
度．如变化，请说明理由．【思路点拨】
（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
1
（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN= PB=x−12，再根据MN=PM-PN即可求解．
2
【解题过程】
1
解：（1）∵M是线段AP的中点，∴AM= AP=x，
2
PB=AB−AP=24−2x，
∵PB=2AM，
∴24−2x=2x，
解得x=6．
（2）解：∵AM=x，BM=24−x，PB=24−2x，
∴2BM−BP=2(24−x)−(24−2x)=24，
即2BM−BP为定值24．
（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．
1
∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN= PB=x−12，
2
∴MN=PM−PN=x−(x−12)=12，
所以MN的长度无变化是定值．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图①，已知线段AB=12，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是
AC和BC的中点．
（1）若AC=4，则DE的长为_____________；
（2）若BC=m，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段
AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少
时，P，Q之间的距离为6？
【思路点拨】
(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据
线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再
根据线段的和求出DE，
(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求
出．
【解题过程】
解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4
∴BC= 8
∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4
∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m
∴AC=12-m
∵点D， E分别时 AC和BC中点
1 m
∴DC=6- m，BC=EC=
2 2
∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t
∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12
2
解得t= 或t= 2
3
2
故当t= 或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
3
8．（2021·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从
P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
PQ
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求 的值．
AB
1
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD= AB，此时C点停止运动，D点继续运动（D
2
MN
点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；② 的值不变，
AB
可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【思路点拨】
（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的
1
处；
3
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关
系；
1
（3）当点C停止运动时，有CD＝ AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与
2
1
PN的值，所以MN＝PN−PM＝ AB．
12
【解题过程】
解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
1
∴点P在线段AB上的 处；
3
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
1
∴PQ= AB，
3
PQ 1
∴ =
AB 3
MN
（3）② 的值不变.
AB
理由：如图，
1
当点C停止运动时，有CD= AB，
2
1
∴CM= AB，
4
1
∴PM=CM-CP= AB-5，
4
2
∵PD= AB-10，
3
1 2 1
∴PN= （ AB-10）= AB-5，
2 3 3
1
∴MN=PN-PM= AB，
12
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
1
AB
所以MN 12 1 .
= =
AB AB 12
9．（2022·全国·七年级专题练习）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E
的左侧．若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长．【思路点拨】
（1）根据AC=2BC，AB=18，可求得BC=6，AC=12，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可
得到AD的长．
（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，确定点F是BC的中点，即可求
出AD的长．
【解题过程】
解：（1）AC=2BC，AB=18，
∴BC=6，AC=12，
如图1，
∵E为BC中点，
∴CE=BE=3，
∵DE=8，
∴BD=DE+BE=8+3=11，
∴AD=AB−DB=18−11=7，
（2）Ⅰ、当点E在点F的左侧，如图2，
或
∵CE+EF=3，BC=6，
∴点F是BC的中点，
∴CF=BF=3，
∴AF=AB−BF=18−3=15，
1
∴AD= AF=5，
3
∵CE+EF=3，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点E在点F的右侧，或
∵AC=12，CE+EF=CF=3，
∴AF=AC−CF=9，
∴AF=3AD=9，
∴AD=3．
∵CE+EF=3，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：AD的长为3或5．
10．（2022·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘
米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为
B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运
动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【思路点拨】
（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差，列出关于t的方程，问题可解．
【解题过程】
解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
∴CM＝ AC＝5厘米，CN＝ BC＝3厘米，
2 2
∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）设点P、Q运动时间为ts，由题意得015，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行
列方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵(b−9) 2+|c−20|=0，
∴b−9=0,c−20=0，
∴b=9,c=20，
∴A、C两点距离为：20−(−12)=32；
故答案为9，20，32；
23
（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：(12+11)÷2= s，
2
点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，
23 41
∴点P从点A到点C的时间为： +9= s；
2 2
②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：12+(11−6)×1=17，即在数
轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，
∴4÷(1+3)=1s，
∴5+1×1=6，
∴相遇点所表示的数为6；
（3）由（1）（2）及题意可分：
①当015，如图所示：
∴PB=2(t−15)=2t−30，BQ=OQ+OB=1×(t−14)+9=t−5，
∵PB=BQ，
∴2t−30=t−5，
解得：t=25；
综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；
故答案为12或25．
15．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，
OA＝2OB．
（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为
1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；
此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．
【思路点拨】（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求
解；
（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段
OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；
（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；
②分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，
∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），
解得OB＝4，
OA＝2OB＝8（cm）．
故答案为：8，4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
4
解得x＝﹣ ；
3
②点C在线段OB上时，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
解得x＝﹣4（不符合题意，舍）．
4
故CO的长是 cm；
3
（3）①t（s）后，P点所到的点表示的数为﹣8+2t；此时，Q点所到的点表示的数为4+t．
故答案为：﹣8+2t，4+t；
②0＜t＜4（P在O的左侧），
OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则
2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
解得t＝1.6；
4≤t≤12（P在O的右侧），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8．
综上所述，t＝1.6或8时，2OP﹣OQ＝4cm．
16．（2022·全国·七年级专题练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线
段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若CD=24cm，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN= cm；
（3）（解决问题）
如图③，已知AB=24cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发，以
3cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为 t，请求出 为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【思路点拨】
（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
CD
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：CN= ，即N为CD的中点；情况2：
2
DN CN
CN= ，即N为靠近C点的三等分点；情况3：DN= ，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三
2 2
种情况，分别求出CN的长度．
（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是
“奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，
分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成
3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【解题过程】
解：（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．
故答案是：是；
（2）∵N是线段CD的“奇妙点”
∴根据定义，此题共分为三种情况．
CD
当CN= ，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
2
DN
当CN= ，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
2
CN
当DN= ，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
2
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．
∵AB=24cm
∴ t秒后，AP=2t，AQ=24−3t．
当P点是“奇妙点”时，PQ=AQ−AP=24−5t．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
AQ 24−3t 24
当AP= 时，有2t= 解得 t=
2 2 7
PQ 24−5t 8
当AP= 时，有2t= 解得 t=
2 2 3
AP 2t
当PQ= 时，有24−5t= 解得t=4
2 2
当Q点是“奇妙点”时，PQ=AP−AQ=5t−24．
AP 2t
当AQ= 时，有24−3t= 解得 t=6
2 2
PQ 5t−24 72
当AQ= 时，有24−3t= 解得 t=
2 2 11
AQ 24−3t 72
当PQ= 时，有5t−24= 解得t=
2 2 13
8 24
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，t= 或4或 ；
3 7
72 72
当点Q为AP的“奇妙点”时，t= 或6或 ．
13 11
17．（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
2MN
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
3AB
【思路点拨】
（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；
（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；
（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算
出线段的长度关系即可求解；
【解题过程】
解：（1）当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
（2）解：设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
1
∴AM= BM
3
1
故答案为： ．
3
（3）解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，1
∴AM＝ AB，
4
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
1
∴BN＝AM＝ AB，
4
1 2MN 1
∴MN＝ AB，即 = ．
2 3AB 3
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，
MN 2MN 2
∴ =1,即 = ．
AB 3AB 3
2MN 1 2
综上所述 ＝ 或
3AB 3 3
18．（2022·全国·七年级课时练习）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A
沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿
C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存
在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由PQ=AC+CQ−AP即可求出PQ的长；（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B
第一次运动时，即0≤t≤2时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的
值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即28时AM=4t，PN=3t，如图：
∴AN=8+3t
∴MN=AM−AN =4t−8−3t =t−8
∵BM=4t−32=4(t−8)
∴BM=4MN；
（2）0＜t＜8，点N在点M左边时，如图：
∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB−BM=28，t=7，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=21，AN=AB−BM−MN=25，
∴AP=AN−PN=25−21=4，PB=AB−AP=32−4=28，
AP 4 1
∴ = = ；
PB 28 7
0＜t＜8，点N在点M右边时，如图：
∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB−BM=28，t=7，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=21，AN=AB−BM+MN=31，
∴AP=AN−PN=31−21=10，PB=AB−AP=32−10=22，
AP 10 5
∴ = = ；
PB 22 11t＞8，点N在点M左边时，如图：
∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB+BM=36，t=9，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=27，AN=AB+BM−MN=33，
∴AP=AN−PN=33−27=6，PB=AB−AP=32−6=26，
AP 6 3
∴ = = ；
PB 26 13
t＞8，点N在点M右边时，如图：
∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB+BM=36，t=9，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=27，AN=AM+MN=39，
∴AP=AN−PN=39−27=12，PB=AB−AP=32−12=20，
AP 12 3
∴ = = ．
PB 20 5
AP 1 5 3 3
∴ 的值为 ， ， ， ．
PB 7 11 13 5
