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培优专题 09 数轴上的动点问题
【专题精讲】
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生
对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：
1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右
边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表
示的数。
2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速
度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的
运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b
个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点
在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
类型一：求运动后点对应的数
1．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）如图，已知A，B两点在数轴上，点A
表示的数为－10， ，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每
秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）
(1)数轴上点B对应的数是______．
(2)经过几秒，点M、点N重合？
【答案】(1)30
(2)10【分析】（1）根据点A表示的数为－10，OB＝3OA，可得点B对应的数；
（2）点M、点N重合时，即点M追上点N，此时两点在数轴上的运动路程之差为10，以
此列式即可求出．
（1）
解：OB＝3OA＝30．
故B点对应的数是30．
（2）
点M、点N重合时，此时两点在数轴上的运动路程之差为10，
设时间为t秒，则有
3t－2t＝10
解得：t＝10
故经过10秒，点M、点N重合．
【点睛】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给
出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
2．（2022·全国·七年级课时练习）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为最大的负
整数，点A在点B的右边，AB＝24．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长
度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴
向右匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当t＝1时，写出数轴上点B，P所表示的数；
(2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问当t为何值点P与点Q相距3个单位长度？
【答案】(1)点B表示的数为-1，点P表示的数为19
(2)3或
【分析】（1）根据题意可知点B表示的数为-1，点A表示的数为23，再结合点P从数轴
上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可求出当运动时间为1
秒时点P表示的数；
（2）由题意可知当运动时间为t秒时，点P表示的数为23-4t，点Q表示的数为3t-1，再由
PQ的距离为3，即可列出关于t的等式，解出t即可．
(1)
∵点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝24．
∴点B表示的数为-1，点A表示的数为-1+24＝23．
∵点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t
秒，
∴当t＝1时，点P表示的数为23-4×1＝19．(2)
当运动时间为t秒时，点P表示的数为23-4t，点Q表示的数为3t-1，
依题意，得：|23-4t-(3t-1)|＝3，
即24-7t＝3或7t-24＝3，
解得：t＝3或t＝ ．
答：当t为3或 时，点P与点Q相距3个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．用到的知识点是数轴上两点之间的距离，
关键是根据题意找出等量关系，列出等式．
3．（2022·全国·七年级课时练习）综合与实践：A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，
点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．
(1)数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
(2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点
Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒；
①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）；
②t为何值时，P，Q两点重合；
③请直接写出t为何值时，P，Q两点相距5个单位长度．
【答案】(1) ；
(2)① ； ；② ；③ 或
【分析】（1）先根据点C表示的数为6，BC＝4，表示出点 ，然后根据AB＝12，表示出
点A即可；
（2）①求出 ， ，根据A、 表示的数求出 、 表示的数即可；
②根据在时间t内，P运动的长度-Q运动的长度=AC的长，列出方程，解方程即可；
③利用“点 ， 相距5个单位长度”列出关于 的方程，并解答即可．
(1)
点 对应的数为6， ，
点 表示的数是 ，
，
点 表示的数是 ，
故答案是：-10；2．(2)
①由题意得： ， ，如图所示：
在数轴上点 表示的数是 ，
在数轴上点 表示的数是 ；
②当点 ， 重合时， ，
解得： ；
③当点 ， 相距6个单位长度，Ｐ在Ｑ的左侧时： ，
解得 ，
Ｐ在Ｑ的右侧时： ，
解得 ，
综上分析可知，当 或 时，点 ， 相距5个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
4．（2022·江苏·七年级专题练习）如图所示，在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，
6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之
间的距离表示为AC．
(1)求AB、AC的长；
(2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点
B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是
否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有
最值，若有求其最值．
【答案】(1)
(2)变化，当 时取得最大值4
【分析】（1）根据点A，B，C表示的数，即可求出AB， AC的长；
（2）根据题意分别求得点A表示的数为-2-2t，点B表示的数为3t，点C表示的数为6+4t，
根据两点距离求得 ，进而根据整式的加减进行计算即可．
(1)
解：AB=0-（-2）=2， AC= ．(2)
当运动时间为t秒时，点A表示的数为-2-2t，点B表示的数为3t，点C表示的数为6+4t，
则 ，
当 时， 的值最大，最大值为 ．
【点睛】本题考查了列代数式、数轴以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据三个点
表示的数，求出三条线段的长度；（2）利用含t的代数式表示出BC，AB的长．
类型二：求运动中的时间
5．（2022·全国·七年级专题练习）综合与探究
阅读理解：
数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形
结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a，b，那么A，B两点之间
的距离与a，b两数的差有如下关系： 或 ．
问题解决：
如图，数轴上的点A，B分别表示有理数2， ．
填空：
(1)A，B两点之间的距离为_______；
(2)点C为数轴上一点，在点A的左侧，且 ，则点C表示的数是_______；
(3)拓展应用：在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴
上匀速运动，设运动时间为t秒（ ），当t为何值时，P，C两点之间的距离为12个单
位长度？
【答案】(1)7
(2)
(3) 或9秒时，P，C两点之间的距离为12个单位长度
【分析】(1)根据公式计算即可 ．
(2) 设C表示的数为 ，根据公式AC=|2- |=6，计算后，结合定C的位置确定答案即可．
(3) 解答时，分点P向左运动和向右运动两种情况求解．
（1）
∵数轴上的点A，B分别表示有理数2， ，∴AB=|-5-2|=7，
故答案为：7．
（2）
设C表示的数为 ，根据题意，得AC=|2- |=6，
∴2- =6或2- = -6，
解得 = -4或 =8，
∵点C在点A的左侧，
∴ ＜ ，
∴ = -4，
故答案为：-4．
（3）
①当点P向右运动时，点P表示的数为2+2t，
根据题意，得 ，
解这个方程，得 ；
②当点P向左运动时，点P表示的数为2-2t，
根据题意，得 ，
解这个方程，得 ，
故当 或9秒时，P，C两点之间的距离为12个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，分类思想，熟练掌握公式，正确
理解距离的意义是解题的关键．
6．（2021·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）如图，直径为1个单位的圆片上
有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依
次运动情况记录如下：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
+1 +2 ﹣1 ﹣4 +3
①第几次滚动后，A点距离原点最远？此时点A所表示的数是多少？②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
（以上小题结果保留 ）
【答案】（1） ；（2）2π或−2π；（3）①第2次， ；② ，
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（3）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出A点移动距离变化；
②利用绝对值的性质以及有理数的加减运算得出移动距离和A表示的数即可．
【详解】解：（1）∵圆片沿数轴滚动1周的长度为
∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是- ．
故答案为：- ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，则滚动的长度为2 ，点D表
示的数是2π或−2π．
故答案为：2π或−2π；
（3）①由表格可得第1次滚动后，A点距离原点为 ；
第2次滚动后，A点距离原点为3 ；
第3次滚动后，A点距离原点为2 ；
第4次滚动后，A点距离原点为-2 ；
第5次滚动后，A点距离原点为 ；
∴第2次滚动后，A点距离原点最远；
②∵|＋1|＋|+2|＋|-1|＋|−4|＋|+3|＝11，
∴11× ＝11 ，
∴A点运动的路程共有11 个单位，此时点A所表示的数是 ．
【点睛】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应
数是解题关键．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、
6（点A与点B之间的距离表示为AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位
长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而
改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值．
（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位
长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的
数量关系．
【答案】（1）3，5，8；（2）会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大于或等于1，且t小于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC
【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度；
（2）求出BC和AB的值，然后求出2BC−AB的值，判断即可；
（3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系．
【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，
故答案为：3，5，8；
（2）2BC−AB的值会随着时间t的变化而改变．
设运动时间为t秒，
则2BC−AB
＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[1＋2t−（−2−t）]
＝12＋10t−2−4t−1−2t−2−t
＝3t+7，
故2BC−AB的值会随着时间t的变化而改变；
（3）由题意得，AB＝t＋3，
BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时），
AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时），
当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC；
当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB；
当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离．
8．（2022·全国·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚
好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的
“幸福中心”．
（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就
是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P
所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动， 秒
时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯
一）；（3）当经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；
（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）根据幸福中心的定义即可求解．
【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；
故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，
∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：
8-2 -4+（8-2 +1）=6，
故当经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量
关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．
类型三：求运动中的速度等问题
9．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上，点 ， 分别表示 ，9，点 、
分别从点 、 同时开始沿数轴正方向运动，点 的速度是每秒3个单位，点 的速度是
每秒1个单位，运动时间为 秒，在运动过程中，当点 ，点 和原点 这三点中的一点恰
好是另外两点为端点的线段的中点时，则满足条件整数 的值（ ）
A．22 B．33 C．44 D．55
【答案】B
【分析】根据点P，Q运动的出发点、速度可找出当运动时间为t秒时点P，Q表示的数．
分点O为线段PQ的中点、点P为线段OQ的中点和点Q为线段QP的中点三种情况，找出
关系x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-15，点Q表示的数为t+9．
当点O为线段PQ的中点时，3t-15+t+9=0，解得：t= ；
当点P为线段OQ的中点时，0+t+9=2（3t-15），
解得：t= ；
当点Q为线段QP的中点时，0+3t-15=2（t+9），
解得：t=33．
综上所述：当运动时间为 秒、 秒或33秒时，点P，点Q和原点O这三点中的一点恰
好是另外两点为端点的线段的中点．
∴整数 的值为33．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键．
10．（2022·全国·七年级课时练习）已知多项式 的常数项是a，次数是b，且
a，b两个数轴上所对应的点分别为A、B，若点A、点B同时沿数轴向正方向运动，点A
的速度是点B的2倍，且3秒后， ，求点B的速度为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】根据多项式中常数项及多项式的次数的定义求出a和b，设点B的速度为v，则A
的速度为2v，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论即可.
【详解】解：∵多项式x3-3xy2-4的常数项是a，次数是b，
∴a=-4，b=3，
设B速度为v，则A的速度为2v，3秒后点A在数轴上表示的数为（-4+6v），B点在数轴
上表示的数为3+3v，且OB=3+3v
当A还在原点O的左边时，OA=0-（-4+6v）=4-6v，由 可得 ，
解得 ；
当A还在原点O的右边时，OA=（-4+6v）-0=6v-4，由 可得 ，
解得 .
故B的速度为 或 ，选C.【点睛】本题考查数轴上动点问题，一元一次方程的应用，多项式的定义.能根据题目给出
的条件，分类讨论，找出合适的等量关系列出方程是解决此题的关键.
11．（2022·全国·七年级课时练习）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且（a+2）2+|b﹣
4|＝0，记AB＝|a﹣b|．
（1）求AB的值；
（2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒1个单
位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝2BP时，P点对应的数是多少？
（3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x
个单位长度（1＜x＜2），若在运动过程中，2MP—MQ的值与运动的时间t无关，求x的
值．
【答案】（1）6；（2）1；（3）
【分析】（1）由（a+2）2+|b﹣4|＝0，得a＝—2，b＝4，即可求解；
（2）设P运动t秒时，BQ＝2BP，①当0≤t＜6时，BP＝6−t，BQ＝2t，得2t＝2（6−t），
②当t≥6时，BQ＝2BP不成立；
（3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：−2＋t，xt，4＋2t，得MP＝xt−（−2＋
t），MQ＝4＋2t−xt，表示出2MP−MQ＝2[xt−（−2＋t）]−（2＋2t−xt）＝（3x−4）t，由当
2MP−MQ的值与运动时间t无关时，得3x−4＝0，解方程即可．
【详解】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣4|＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴AB＝|﹣2﹣4|＝6；
（2）设P运动t秒时，BQ＝2BP，
①当0≤t＜6时，BP＝6﹣t，BQ＝2t，
2t＝2（6﹣t），
解得t＝3，
点P对应的数是﹣2+1×3＝1；
②当t≥6时，BQ＝2BP不成立，
综上，点P对应的数是1；
（3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：﹣2+t，xt，4+2t，
∴MP＝xt﹣（﹣2+t），MQ＝4+2t﹣xt，
∴2MP﹣MQ＝2[xt﹣（﹣2+t）]﹣（2+2t﹣xt）＝（3x﹣4）t，
∵当2MP﹣MQ的值与运动时间t无关时，
∴3x﹣4＝0，
解得： ．
【点睛】本题考查了数轴表示数的方法和意义，掌握数轴上两点之间的距离与这两点所表示的数之间的关系式解决问题的关键．
12．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图，已知数轴上的点A、B对应的数分别是－5和
1．
(1)若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；
(2)动点P从点A出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否
存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t
的值；若不存在，请说明理由；
(3)若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；
若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相
遇，试求P点与Q点的运动速度（长度单位/秒）
【答案】(1) ；
(2)存在；2或6；
(3)2单位长度/秒；1单位长度/秒
【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出BP与PA，根据BP=PA求出x的值，即可确定
出点P对应的数；
（2）表示出点P对应的数，进而表示出PA与PB，根据PA=2PB求出t的值即可；
（3）设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意列出关
于 、 的二元一次方程组求解即可得出答案．
（1）
点A、B对应的数分别是-5和1，
设点P对应的数为x，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴点P对应的数为-2；
（2）
P对应的数为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，答：当 或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
（3）
设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意得，
，
解得： ，
答：P点的运动速度2单位长度/秒，Q点的运动速度1单位长度/秒．
【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次
方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．
