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培优专题 11 线段的动点问题
【专题精讲】
1.总体来讲,解决数轴上的动点问题分为两步:
(1)用未知数表示动点;
(2)结合数轴,列方程.
2.具体来讲,要注意以下几个问题:
(1)表示动点:用未知数表示动点，常常把运动时间设为 t,把握动点的出发点,运动方向和
运
动速度,这三个条件,例如:
点A从表示1的点M出发,向右运动,速度是3个单位长度每秒,则动点A表示为:1 +3t; .
点B从表示-2的点N出发,向左运动,速度是2个单位长度每秒,则动点B表示为:-2-2t;
(2)求中点:利用中点公式即可;
(3)求距离:数轴上,表示两点的距离常常用右边的数减去左边的数,例如,上题动点A和B
之间的距离是:(1 +3t)-( -2-2t) =5t+3;
(4)列方程:常见等量关系:一是行程中的相遇追及问题,二是线段间的和差倍分关系;
(5)易错点:注意动点问题的分类讨论.
类型一：线段动点与线段求值问题
1．（2022·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿 以2cm/s的速度往
返运动1次，C是线段BD的中点， ，设点B的运动时间为t秒 ．
(1)当 时，
① ________cm；
②求线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．
【答案】(1)① ；②
(2) 或
【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长．
（1）
解：①当 时， ；
故答案为：4
②∵ ， ，
∴ ．
∵C是线段BD的中点，
∴ ．
（2）
解：∵B是线段AD上一动点，沿 以2m/s的速度往返运动，
∴当点B沿点A→D运动时，
点B沿点D→A运动时，
∴综上所述， （ ）或 （ ）
【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系
是解题关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点
分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP
的长度．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；
②设运动时间为： 秒，则 ，利用中点的性质表达出：
，即可得出答案；（2）依题意得出 ， ，再由 和 ，即可
得出AP的长度．
（1）
①依题意得： ，
∴ ，
故答案为： ；
②设运动时间为 秒，则
∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，
∴
∴
故答案为： ；
（2）
设运动时间为 秒，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差，中点的性质，掌握线段之间
的数量关系是解题的关键．
3．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长 米，宽 米，
x，y满足 ，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着 运
动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿 运动，P，Q同时出发，运
动时间为t．
(1) ______________， ______________．
(2)当 时，求 的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值【答案】(1)5，4
(2) 平方米
(3)
【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；
（2）根据题意得：当t=4.5时，点P在CD上，DP=0.5米，点Q刚好到达点D处，可得
米，再由 ，即可求解；
（3）当P，Q都在DC上，可得 ，然后分两种情况讨论：当P左Q右时，当Q
左P右时，即可求解．
（1）解∶∵ ，∴ ，∴x=5，y=4，故答案为：5，4；
（2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路
程为9米，刚好到达点D处，∴ 米，∴ 平方米；
（3）解：点P在DC上， ，点Q在DC上， ，∴ ，当P左Q
右时， ， ，∴ ，∴
，解得： 当Q左P右时， ， ，∴
，∴ ，解得 ，不符题
意，舍去．综上，满足题意的 ．
【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，
解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．
4．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，已知线段 ，点M是线段 上一点，
点C在线段 上，点D在线段 上，C、D两点分别从M、B出发以 的
速度沿直线 运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件： ．
(1)直接写出： ____________， _____________；
(2)若 ，当点C、D运动了 ，求 的值；
(3)如图2，若 ，点N是直线 上一点，且 ，求 与 的数量关系．
【答案】(1)1，3
(2)8cm
(3) 或
【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；
（2）当C、D运动 时， ， ，结合图形求解即可；
（3）分两种情况：当点N在线段 上时；当点N在线段 的延长线上时；利用线段间
的数量关系求解即可．
（1）
解：∵|a−1|+|b−3|=0
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
故答案为：1；3；
（2）
当C、D运动 时， ， ，
∴ ．
（3）
当点N在线段 上时，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
当点N在线段 的延长线上时，
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
综上所述， 或 ．【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根
据图象得出线段间的数量关系是解题关键．
类型二：线段动点与判断说理问题
5．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在
点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发
生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后
即可求出DE的长；
（2）由题意可得 ，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出
，代入 ，即可求出EF长．
（1）
∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴ ， ,
∵E为BC的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）
线段EF的长度不会发生变化， ，
∵AB＝16，CD＝2，
∴ ，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，
∴ ，
∴ ．【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分
析题目中线段之间的数量关系．
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知
，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C
点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个
单位长度，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段 的长度为________；
(2)当t为何值时，M、N两点重合?
(3)若点Р为 中点，点Q为 中点．问：是否存在时间t，使 长度为5?若存在，请
说明理由．
【答案】(1)2t
(2)20
(3)30或50
【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案；
（2）根据题意可得出 ，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出
关于t的等式，解出t即可；
（3）根据题意可得： ， ，且 ．由此可求出
．再根据 或 ，即可列出关于t的等式，
解出t即可．
（1）
∵点M的速度为每秒2个单位长度，
∴ ．
故答案为： ；
（2）
根据题意可知 ．
当M、N两点重合时，有 ，
解得： ．
故t为20时，M、N两点重合；
（3）根据题意可得： ， ，且 ．
∴ ．
∴ 或 ，
即 或
解得： 或 ．
故存在时间t，使 长度为5，此时t的值为30或50．
【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解
一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键．
7．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，
以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当 时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求 的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，
求出MN的长度．如变化，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 为定值24；
(3) ．
【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
（3）利用 ， ， ， ，再根据MN=PM-
PN即可求解．
（1）
解：∵M是线段AP的中点，∴ ，，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
（2）
解：∵ ， ， ，
∴ ，
即 为定值24．
（3）
解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．
∵ ， ， ， ，
∴ ，
所以MN的长度无变化是定值．
【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出
各线段的长度．
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s
的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回
往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保
持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)2.5
(2)t为2或 时，点C为线段PQ的中点
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析
【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由 即可求
出PQ的长；
（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即 时，同理求出t的值即可．
最后舍去不合题意的t的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即 时，分别用t表示出
CP和CM的长度，再根据 ，求出 即可；②当Q由B往C点第一次返回
时，即 时，同理求出 即可；③当Q由C往B第二次运动时，即 时，同
理求出 即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．
（1）
解：当 时，
∵
∴ ，
∴ ．
故答案为：2.5．
（2）
∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
∴ ．
∵
∴ ．
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∵点C为线段PQ的中点，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
解得： ，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即 时，
此时 ， ，∴ ，
解得： ；
综上可知，t为2或 时，点C为线段PQ的中点；
（3）
根据（2）可知 ．
∵点M是线段CQ的中点，
∴ ．
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，
此时 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q由C往B第二次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形
结合的思想是解答本题的关键．
类型三：线段动点与存在性问题
9．（2021·山东师范大学第二附属中学七年级期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的
点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长
度，BC=2AB．
（1）填空：a= ，b= ，c=（2）点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、
1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运
动时间为t秒．试问：
①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？
②F在追上E点前，是否存在常数k，使得 的值与它们的运动时间无关，为定值．
若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t= ；②k=-1
【分析】（1）根据有理数的性质，A、B、C三点位置，数轴上两点的距公式及点的平移
规律回答即可；
（2）①分E是DF的中点和点F是DE的中点两种情况计论；
②先用含ｔ的代数式表示 ， ，由3+3k=0求出k问题
即可求解
【详解】解：（1）∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a在最大的负整数左侧1个单
位长度
∴点A表示的数a为-1-1=-2，点B表示的数b为1，
∴AB=1-（-2）=3
∵ ，
∴点C表示的数为c=1+6=7，
故答案为：-2，1，7；
（2）①依题意，点F的运动距离为4t，点D、E运动的距离为t,
∴点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t， 7-4t,
当点F追上点D时，必将超过点B，
∴存在两种情况，即DE=EF和DF=EF，
如图，当DE=EF，即E为DF的中点时，
，
解得，t=1，
如图，当EF=DF，即F为DE中点时，
，
解得t= ，综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝ 时，满足题意．
②存在，理由：
点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t,
如图，F在追上E点前， ， ，
，
当 与t无关时，需满足3+3k=0，
即k=-1时，满足条件．
【点睛】本题考查了数有理数的性质，数轴上点与数的对应关系及两点的距离，点的平移
及线段的中点及分类讨论思想，正确理解点的运动与点的平移的关系是解本题的关键．
10．（2021·河北唐山·七年级期中）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：
（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点
C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求
出时间t：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2．
【分析】（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点
C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时
间t．
【详解】解：（1）如图所示：延长线段AB到点C，使BC＝3AB；
（2）∵AB＝2，
∴BC＝3AB＝6，
∴AC＝AB+BC＝8，
∵点D为线段BC的中点，∴BD＝ BC＝3，
∴AD＝AB+BD＝5．
答：线段AD的长度为5；
（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．
设点P的运动时间为t秒，
则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，
PB＝PA﹣PC
即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）
解得t＝2或 （舍去）．
答：时间t为2．
【点睛】本题考查作图－基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的
比例关系是解题的关键．
11．（2019·湖北武汉·七年级期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且
OA：OB＝2：1，点P从点B以每秒4个单位的速度向右运动．
（1）A、B对应的数分别为 、 ；
（2）当点P运动时，分别取BP的中点E，AO的中点F，请画图，并求出 的值；
（3）若当点P开始运动时，点A、B分别以每秒2个单位和每秒5个单位的速度同时向右
运动，是否存在常数m，使得3AP+2OP﹣mBP为定值？若存在，请求出m的值以及这个定
值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣10、5；（2）画图见解析； ＝2；（3）当m＝14时，为定值
55．
【分析】（1）根据AB＝15，且OA：OB＝2：1可直接求出OA，OB的长度，从而求出
A、B对应的数；
（2）根据题意画图即可，然后将 分别用 表示出来即可求出比值.
（3）分别用含m的代数式表示出AP，OP，BP，即可判断是否存在m值使3AP+2OP﹣
mBP为定值
【详解】（1）∵AB＝15，OA：OB＝2：1
∴AO＝10，BO＝5
∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，故答案为：﹣10、5．
（2）画图如下：
∵点E、F分别为BP、AO的中点
∴OF＝ AO，BE＝ BP
∴EF＝OF+OB+BE＝ AO+OB+ BP
（3）设运动时间为t秒，则点P对应的数：5+4t；点A对应的数：﹣10+2t；点B对应的数：
5+5t；
∴AP＝5+4t﹣（﹣10+2t）＝2t+15；OP＝5+4t；BP＝t．
∴3AP+2OP﹣mBP＝3（2t+15）+2（5+4t）﹣mt＝（14﹣m）t+55．
∴当m＝14时，3AP+2OP﹣mBP为定值55．
【点睛】本题主要考查线段的和与差，以及数轴上的点与线段长度之间的转化，能够用含
m的代数式表示出AP，OP，BP是解题的关键.
12．（2019·福建·莆田哲理中学七年级期末）如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每
秒2个单位的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒(t>0)，点M为AP的中点.
（1）当点P在线段AB上运动时.当t为多少时，AM=6.
（2）当点P在AB延长线上运动时，点N为BP的中点，求出线段MN的长度.
（3）在P点的运动过程中，点N为BP的中点，是否存在这样的t的值，使M、N、B三点
中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出t的值；若没有，请说明理
由.
【答案】（1）t=6；（2）12；（3）当t=18时，M是线段AP的中点；当t=36时，M为
BN的中点，理由见解析．
【分析】（1）根据AM= AP即可求解；
（2）由M是线段AP的中点，可求PM= AP=t，由N是线段BP的中点，可求PN=
BP=t-12，把二者相加即可求出MN的值；
（3）分N为BP的中点，B为MN的中点，M为BN的中点三种情况讨论求解．
【详解】解：（1）∵M是线段AP的中点，
∴AM= AP=t，
∵AM=6，∴t=6；
（2）点P在AB延长线上运动时，
∵M是线段AP的中点，
∴PM= AP=t，
∵N是线段BP的中点，
∴PN= BP= （2t-24）=t-12．
∴MN=t-（t-12）=12．
（3） 当0＜t≤12，
∵N为BP的中点，
∴此时不符合题意；
当12＜t≤48，B为MN的中点时，
∵N为BP的中点时，
∴BN=PN= PB=t-12，
∵M是线段AP的中点，
∴AM=PM= AP=t，
∴BM=24-t，
∴24-t=t-12，
∴t=18；
当t＞48，M为BN的中点时，
由题意得：
BN=NP=t-12，AM=PM=t，
∴BM=t-24，MN=t-(t-12)=12,
∴t-24=12,
∴t=36.
∴当t=18时，M是线段AP的中点；当t=36时，M为BN的中点．
【点睛】本题是动点问题，解题时首先要画出图形，用t表示出相应线段的长，再根据已
知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．
