文档内容
专题 01 绝对值化简的四种考法
【知识点精讲】
1. 绝对值的意义
|a|
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作
2. 绝对值的性质
|a|
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性 ≥0，即：
互为相反数的两个数绝对值相等
3. 绝对值与数的大小
1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值
例．有理数 、 、 在数轴上的位置如图，化简：
．
【变式训练1】有理数 、 、 在数轴上的位置如图，化简： ．
【变式训练2】有理数 , , 在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＜”连接： , , , , , ；
(2)化简： ．【变式训练3】已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为 ， ， ．
(1)填空： ， 之间的距离为______， ， 之间的距离为______．
(2)化简： ．
类型二、分类讨论化简
例．已知 表示两个非零的实数，则 的值不可能是（ ）
A．2 B．–2 C．1 D．0
例2．化简： ．
【变式训练1】若a，b，c都是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值．
【变式训练2】三个数 是均不为0的三个数，且 ，则
．【变式训练3】若 ， ，则 ．
类型三、几何意义化简绝对值
例．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距
离 ．回答下列问题：
(1)数轴上表示 和2两点之间的距离是 ，数轴上表示x和 的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为 ；
(3)若x表示一个有理数，则 有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说
明理由．
【变式训练1】数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为 ，在数轴上A、B
两点之间的距离 ．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是
．
(2)数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和6的两点之间的距
离表示为 ．
(3)若x表示一个有理数，则 的最小值＝ ．
(4)若x表示一个有理数，且 ，则满足条件的所有整数x的是 ．
(5)若x表示一个有理数，当x为 ，式子 有最小值为 ．【变式训练2】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为 ，
则在数轴上A、B两点之间的距离 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示x
的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是
．
(2)如果 ，那么 ．
(3)若 ，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间
的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)①若数轴上表示x的点位于 与1之间，则 ；
②若 ，则 ．
【变式训练3】阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两
点之间的距离可以表示为 ．
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______．
(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______．
(3)代数式 可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若
，则x＝______．
(4)求代数式 的最小值是______，并直接写出这时x的值为
______．类型四、非负性化简绝对值
例．若 ，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】若 ，且 ，求 的值．
【变式训练2】若x是一个有理数，且 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．-2
课后训练
1．若 ， ，且 ，那么 的值是（ ）．
A．5或13 B．5或 C． 或13 D． 或
2．已知ab＞0，则 （ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3
3． ．
4．有理数a，b，c，d满足 则 ．
5．已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是
．
6．若 ，那么 ．7．已知 ，且 ，求 ．
8．已知 、 、 均为整数，且 ，试求 的值．
9．已知有理数 ， ， ，且 ．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简： ．
10．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：
， ．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式 取得最小值时，
此时x=______，最小值为______．
