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专题 01 绝对值化简的四种考法
【知识点精讲】
1. 绝对值的意义
|a|
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作
2. 绝对值的性质
|a|
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性 ≥0，即：
互为相反数的两个数绝对值相等
3. 绝对值与数的大小
1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值
例．有理数 、 、 在数轴上的位置如图，化简：
．
【答案】
【分析】根据数轴得到 ， ，即可判断 ， ，
， ，根据绝对值性质求解即可得到答案．
【详解】解：由数轴可得，
， ，
∴ ， ， ， ，
∴原式 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查根据数轴去绝对值，解题的关键是根据数轴判断式子与0的关系及正数
绝对值等于它本身，负数绝对值是它的相反数．
【变式训练1】有理数 、 、 在数轴上的位置如图，化简： ．
【答案】【分析】根据有理数 、 、 在数轴上的位置，确定绝对值内的式子正负，即： ，
， ，化简绝对值后合并即可．
【详解】解：由题意得 ， ， ，
∴原式
．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，根据 、 、 在数轴上的位置，确定绝对值内的式子
正负是解答本题的关键．
【变式训练2】有理数 , , 在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＜”连接： , , , , , ；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把 ， ， ， ， ， 分别表示在数轴上可得答案；
（2）根据数轴确定出 ， ， 的正负，再根据绝对值的性质化简．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）解：由（1）得： ， ， ，
．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，数轴，绝对值的意义，利用理数 ， ， 在数
轴上的位置确定 ， ， 的符号以及三个数的绝对值的大小是解题的关键．
【变式训练3】已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为 ， ， ．
(1)填空： ， 之间的距离为______， ， 之间的距离为______．
(2)化简： ．
【答案】(1) ， ；(2)【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，求出距离即可；
（2）根据数轴可以得出 ，即有 ， ， ，进
而有 ，去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）∵数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，
∴A、B之间的距离为 ，B、C之间的距离为 ，
故答案为： ， ；
（2）由图，根据数轴可得： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
，
∴ 值为 ．
【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判定式子的正负，数轴上两点之间的距离，绝
对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
类型二、分类讨论化简
例．已知 表示两个非零的实数，则 的值不可能是（ ）
A．2 B．–2 C．1 D．0
【答案】C
【详解】∵当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
∴①当 时， ；②当 时， ；
③当 时， ；④当 时， ；
∴综上所述， 的值可能为2，-2，0，不可能为1．
故选：C．
【点睛】本题考查化简绝对值，（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；
（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，
还是要分为两种．例2．化简： ．
【答案】 ．
【分析】先分别令x－1=0，x－2=0，分别求出x的对应值，再根据x的取值范围利用绝对
值的性质去掉绝对值符号即可．
【详解】令x－1=0，x－2=0得：x=1，x=2，分三种情况讨论：
①当x＜1时，原式=﹣（x－1）﹣（x－2）=﹣2x+3；
②当1≤x＜2时，原式=（x－1）－（x－2）=1；
③当x≥2时，原式=（x－1）+（x－2）=2x－3．
综上所述：原式= ．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，整式的加减，在解答此题时要注意应用分类讨论的思
想，不要漏解．
【变式训练1】若a，b，c都是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值．
【答案】±1或±3.
【详解】分析：要对a，b，c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取
值，代入求值．
详解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：
①当a，b，c都是正数时， + + =3；
②当a，b，c都是负数时， = = =﹣1，所以和为﹣3；
③当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 、 、 中有两个1，一个﹣1，所以和
为1．
④当a，b，c中有一个正数、两个负数时， 、 、 中有两个﹣1，一个+1，所以和
为﹣1．
综上所述： + + =±1或±3．
点睛：分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【变式训练2】三个数 是均不为0的三个数，且 ，则
．
【答案】1或-1．
【分析】根据绝对值的定义化简即可得到结论．
【详解】解：∵三个数a、b、c是均不为0的三个数，且a+b+c=0，
∴a，b，c三个数中必有一个或两个负数，
①当a，b，c三个数中只有一个负数时，则 ，
②当a，b，c三个数中有两个负数时， ，
综上所述： 1或-1，
故答案为：1或-1．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的除法．能分情况讨论是解题关键．注意互为相反数
的两个数商为-1．
【变式训练3】若 ， ，则 ．
【答案】-2或0或4
【分析】对a和b，以及 的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值．
【详解】解：①当 ， 时， ， ，
原式 ；
②当 ， 时， ， ，
原式 ；
③当 ， ，且 时， ，
原式 ；
④当 ， ，且 时， ，
原式 ；
⑤当 ， ，且 时， ，
原式 ；
⑥当 ， ，且 时， ，原式 ．
故答案是：-2或0或4．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．
类型三、几何意义化简绝对值
例．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距
离 ．回答下列问题：
(1)数轴上表示 和2两点之间的距离是 ，数轴上表示x和 的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为 ；
(3)若x表示一个有理数，则 有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说
明理由．
【答案】(1)5， ；(2) 或6；(3)8
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式可得答案；
（2）由数轴上两点间的距离公式列方程，即可解得答案；
（3）分三种情况去绝对值，即可得到 的最小值．
【详解】（1）解：数轴上表示 和2两点之间的距离是 ，
数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
（2）解：根据题意得 ，
或 ，
解得 或 ；
（3）解： 有最小值，理由如下：
当 时， ，
，
，即此时 大于8；
当 时， ；
当 时， ，
，
，即此时 大于8；
综上所述， 的最小值为8．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值化简，解题的关键是读懂题意，能灵活运
用数轴上两点间的距离解决问题．【变式训练1】数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为 ，在数轴上A、B
两点之间的距离 ．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是
．
(2)数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和6的两点之间的距
离表示为 ．
(3)若x表示一个有理数，则 的最小值＝ ．
(4)若x表示一个有理数，且 ，则满足条件的所有整数x的是 ．
(5)若x表示一个有理数，当x为 ，式子 有最小值为 ．
【答案】(1)4，5
(2) ，
(3)5
(4) 或0或1或2或3
(5)3，6
【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离 列式计算即可；
（2）根据数轴上A、B两点之间的距离 列式计算即可；
（3）根据数轴上两点之间的距离的意义可知x在 与1之间时， 有最小值
5；
（4）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当x在 与3之间时（包含 和3），
，然后可得满足条件的所有整数x的值；
（5）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当 时， 有最小值，最
小值为 到4的距离，然后可得答案．
【详解】（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，
数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ，
故答案为：4，5；
（2）解：数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为 ，
数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 ；故答案为： ， ；
（3）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知： 可表示为点x到1与 两
点距离之和，
∴当x在 与1之间时， 有最小值5，
故答案为：5；
（4）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知： 表示为点x到 与 两点
距离之和为4，
∴当x在 与3之间时（包含 和3）， ，
∴满足条件的所有整数x的是 或0或1或2或3；
故答案为： 或0或1或2或3；
（5）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知： 可看作是数轴上表
示x的点到 、3、4三点的距离之和，
∴当 时， 有最小值，最小值为 到4的距离，即 ，
故答案为：3，6．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值的几何意义，正确理解数轴上两
点之间的距离以及绝对值的几何意义是解题的关键．
【变式训练2】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为 ，
则在数轴上A、B两点之间的距离 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示x
的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是
．
(2)如果 ，那么 ．
(3)若 ，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间
的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)①若数轴上表示x的点位于 与1之间，则 ；
②若 ，则 ．
【答案】(1)3，4
(2)2或
(3)8，2
(4)①4；②5或 ．【分析】（1）根据距离公式 计算即可．
（2）根据绝对值的意义计算即可．
（3）根据绝对值的意义，确定a，b的值，再最值的意义计算即可．
（4）①根据取值范围，化简绝对值计算即可．
②分 ， ， 三种情况计算即可．
【详解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是： ，数轴上表示1和 的两点
之间的距离是： ；故答案为：3，4．
（2） ，∴ ，∴ ，故答案为：2或 ．
（3）∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 或1， 或 ，
∴A，B两点间的最大距离是： ，最小距离是： ；
故答案为：8，2．
（4）①∵x的点位于 与1之间，
∴ ，故答案为：4．
②当 时， ，得到 ，解得， ；
当 时， ，得到 ，解得， ；
当 时， ，得到 ，无解；
综上， 或 ；故答案为：5或 ．
【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握
绝对值方程的计算是解题的关键．
【变式训练3】阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两
点之间的距离可以表示为 ．
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______．
(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______．
(3)代数式 可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若
，则x＝______．
(4)求代数式 的最小值是______，并直接写出这时x的值为
______．【答案】(1)5；(2) ；(3)﹣8， 或 ；(4)2020，﹣505
【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可；
（2）根据题目所给两点距离公式列式即可；
（3）由绝对值的定义求解即可；
（4）设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x，则
，画出数轴图，分情况讨论求解即可．
（1）
解： ．
故答案为：5；
（2）
根据材料可知，有理数x与有理数7所对应两点之间的距离可表示为 ．
故答案为： ；
（3）
根据A，B两点之间的距离可以表示为 ，则 可以表示数轴上有理数x与有理数﹣
8所对应的两点之间的距离，
若 ，由绝对值的定义可知，
或 ，
解得 或 ．
故答案为：﹣8， 或 ；
（4）
设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x，
∴ ，
如图1所示，当点D在A点左侧时，
；
图1
如图2所示，当点在AB之间时（包括A，不包括B），
；图2
如图3所示，当点D在BC之间时（包括B且包括C）
（点B、D重合时， ）
图3
如图4所示，当点D在C点右侧时，
，
图4
综上所述，当点D与点B重合时，即 ，AD+BD+CD有最小值，
此时 ．
故答案为：2020，﹣505．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点
的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
类型四、非负性化简绝对值
例．若 ，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的几何意义,表示数轴上点到原点的距离,即任意实数的绝对值都是一个
非负数.
【详解】解:因为 , ,
所以 ,
解得: ,
故选D.
【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义,解决本题的关键是要理解绝对值的几何意义.
【变式训练1】若 ，且 ，求 的值．
【答案】 或 .
【分析】先 判定x、y的大小，然后 确定x、y的值进行分类解答.
【详解】解： ，当 时， ，则 ；当 时，
，则 .【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于确定x，y的大小和分类讨论.
【变式训练2】若x是一个有理数，且 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．-2
【答案】C
【分析】根据 判断 在数轴上的位置，从而判断 和 的正负性，通过绝对
值的非负性的解出答案.
【详解】解：
在数轴上 在 的左边， 的右边
，
为负数， 为正数
故答案选：
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，在解题过程中是否能通过已知条件判断绝对值里
面数的正负性是解题的关键.
课后训练
1．若 ， ，且 ，那么 的值是（ ）．
A．5或13 B．5或 C． 或13 D． 或
【答案】D
【分析】根据 ， ，且 ，得到 ， ，代入计算即可．
【详解】∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ 或
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，正确化简绝对值，灵活计算是解题的关键．
2．已知ab＞0，则 （ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3
【答案】C【详解】解：设 ，分四种情况讨论：
①当a＞0，b＞0时，M=1+1+1=3；
②当a＜0，b＜0时，M=﹣1+（﹣1）+1=﹣1；
③a＞0，b＜0时，M=1﹣1﹣1=﹣1；
④当a＜0，b＞0时，M=﹣1+1﹣1=﹣1．
故选C．
点睛：本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键．
3． ．
【答案】1
【分析】首先分别判断 和 的正负情况，然后根据绝对值的性质进行解答即可．
【详解】解： ，
．
【点睛】本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值
是它的相反数，0的绝对值是0．
4．有理数a，b，c，d满足 则 ．
【答案】±2
【分析】根据有理数的除法法则可得a、b、c、d四个数中有1个负数或3个负数，然后分
情况计算出a、b、c、d四个数中有1个负数时： 的值，再计算出a、b、
c、d四个数中有3个负数时： 的值，即可求解．
【详解】∵四个有理数a、b、c、d满足 ，
∴a、b、c、d四个数中有1个负数或3个负数，
①a、b、c、d四个数中有1个负数时：
＝1＋1＋1−1＝2，
②a、b、c、d四个数中有3个负数时：
＝−1−1＋1−1＝−2，故答案为：±2．
【点睛】此题主要考查了有理数的除法和绝对值，关键是根据两数相除，同号得正，异号
得负，并把绝对值相除确定a、b、c、d四个数中负数的个数．
5．已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是
．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，再利用绝对值的代数意义化
简、去括号、合并同类项即可解答．
【详解】解：由数轴上点的位置得： ，且 ，
， ， ，
则原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、去括号、合并同类项等知识点，灵活运用相关运
算法则是解题的关键．
6．若 ，那么 ．
【答案】7
【分析】首先根据a的取值范围确定 和 的符号，然后去绝对值计算即可．
【详解】解： ，
， ，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号．
7．已知 ，且 ，求 ．
【答案】0或﹣1
【分析】根据绝对值的定义得到 的值，代入代数式即可得到结论．
【详解】解：∵
∴
解得： =3或﹣1，b=1或0
∵
∴ ≥ ，
当 =3时不符合题意当 =﹣1， =1或0时， + =0或﹣1∴ + =0或﹣1
【点睛】本题考查了绝对值，有理数大小的比较，掌握绝对值定义是解题的关键．
8．已知 、 、 均为整数，且 ，试求 的值．
【答案】2．
【分析】先根据绝对值运算、整数的性质可得a、b、c之间的等量关系，再代入化简绝对
值即可得．
【详解】 、 、 均为整数，
、 也为整数，且 、 为两个非负整数，
，
或 ，
即 或 ，
（1）当 时，
则 ，
（2）当 时，
则 ，
综上， 的值为2．
【点睛】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值运算是解题关键．
9．已知有理数 ， ， ，且 ．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简： ．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据 ， ， ，且 ．即可求解．
（2）先判断 、 、 的正负号，即可化简．
【详解】（1）解： ， ， ，且 ． ．
在数轴上将 ， ， 三个数在数轴上表示出来如图所示：
（2）解：根据数轴位置关系，可得： 、 、 ．
．【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是 、 、 的
正负性．
10．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：
， ．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式 取得最小值时，
此时x=______，最小值为______．
【答案】(1) ，9
(2)
(3)1，12
【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：-3；9；
（2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1，
∴AB中点表示的数为-1，
∴点C到AB中点的距离为10，
∴点C与数-1-10=-11表示的点重合，
故答案为：-11；
（3）解：由题意得
，
∴代数式 的值即为点P到A、B、C三点的距离和，
如图3-1所示，当点P在A点左侧时
如图3-2所示，当点P在线段AB上时，如图3-3所示，当点P在线段BC上时，
如图3-4所示，当点P在C点右侧时，
∴综上所述，当P与B点重合时， ．
【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴
表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．
