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专题 02 数轴上动点问题的三种考法
【知识点梳理】
1.数轴上两点间的距离
数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
2.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后
到达点表示的数为a－b.
类型一、求值（速度、时间、距离）
例1．数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度
的速度沿数轴运动，a，b满足 ．
(1)请直接写出 ______， ______；
(2)如图1，点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原
点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段 的中点．若 ，求t的值；
(3)如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，
N，O，A为端点的所有线段的长度和为109时，求出此时点M对应的数．
例2．如图，点O为数轴原点，点A、B、C都在数轴上， ．已知点A表示的数为
．
(1)直接写出点B表示的数；
(2)一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；另一动点Q同
时从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，已知P、Q两点恰好在
点C相遇，求点C表示的数．
(3)在（2）的条件下，当点P分别到A、B、C三点的距离之和为68个单位长度时，求点P
的运动时间．
例3．如图1，点 在射线 上， ， ，点 从点 出发，沿方向以 的速度向右匀速运动，点 从点 出发，在线段 上向左匀速运动，两点
同时出发．
(1)若点 运动速度为 ，当点 和点 都运动到线段 上，且点 恰好为线段 的
中点时，求点 运动的时间；
(2)如图2，若点 也为射线 上一点，且 ，当 时，点 运动到线段
上且恰好满足 ，求点 的运动速度．
例4．如图将一条数轴在原点 ，点 ，点 ，点 处各折一下，得到一条“折线数
轴”．图中点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，
我们称点 和点 在数轴上相距 个长度单位．动点 从点 出发，以 单位/秒的
速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点 从点 出发，以 单位/秒的速
度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初
始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点 运动至点 时则两点停止运动，设
运动的时间为 秒．问：
(1)动点 从点 运动至 点需要 秒，此时点 对应的点是 ．
(2) ， 两点在点 处相遇，求出相遇点 所对应的数是多少？
(3)求当 为何值时， ， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴上相距的长
度相等．
【变式训练1】已知多项式 的常数项是a，次数是b，若a、b两数在数轴上所对应的点为A、B，点A位于点B的左边．
(1)数轴上A点表示的数为______，B点表示的数为______．
(2)数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为13，求点C在数轴上所对应
的数．
(3)若P、Q两点分别从A、B出发，同时沿数轴正方向运动，O为数轴原点，P点的速度是
Q点速度的2倍，且3秒后， ，求点Q运动的速度．
【变式训练2】 ， 分别是数轴上两个不同点A， 所表示的有理数，且 ， ，
A， 两点在数轴上的位置始图所示：
(1)直接写出数 ， 的值；
(2)A， 两点相距多少个单位长度？
(3)若 点在数轴上， 点到 点的距离是 点到A点距离的 ，求 点考示的数；
(4)点 从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3
个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2022次后，求 点表示的数．
【变式训练3】已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足
．
(1)求a、b的值；
(2)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t秒钟，
P、A、B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t值；
(3)数轴上还有一点C对应的数为40，若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向C
点运动，同时，点Q从B点出发，以每秒 个单位长度的速度向正方向运动，点P运动到
C点后立即返回再沿数轴向左运动．当 时，求点P运动的时间．【变式训练4】已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足 ，请回答问题．
(1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______；
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之
间运动时即（ 时），请化简式子： （请写出化简过程）；
(3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的
速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左
运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的
值，若不存在，说明理由．
类型二、定值问题
例．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足： ．
(1)求m、n的值；
(2)①情境：有一个玩具火车 如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，
当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为
n．则玩具火车的长为__________个单位长度；
②应用：如图1所示，当火车 匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火
车的速度为__________个单位长度/秒．
(3)在（2）的条件下，当火车 匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每
秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车 运动后对应的位置为
．是否存在常数k使得 的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这
个定值：若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，数轴上有三个点 ， ， ，表示的数分别是 ， ， ．
(1)若使 、 两点的距离是 、 两点的距离的3倍，则需将点 向右移动________个单
位：
(2)点 、 、 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，
点 和点 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为 秒：
①点 、 、 表示的数分别是_______、_______、_______（用含 、 的代数式表示）：
②若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，当 为何值时，
的值不会随着时间 的变化而改变．
【变式训练2】如图，在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，且
(1)填空， _______________， _______________；
(2)若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，已知点 为数
轴上一动点，且满足 ，求出点 表示的数；
(3)若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度向右
运动，动点 从原点开始以每秒 个单位长度运动，运动时间为 秒，运动过程中，点
始终在 、 两点之间上，且 的值始终是一个定值，求 点运动的方向及 的
值，
【变式训练3】如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ，点A与点B之间
的距离表示为 ，点B与点C之间的距离表示为 ，点A与点C之间的距离表示为 ．
(1) 、 、 ；
(2)若点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒3个单位长度的速度从点C
出发，P、Q同时同向而行，运动时间为t秒，经过多少秒后，点P、Q两点相距2个单位
长度？
(3)若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发，以每秒2
个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒，问 的值是否随着时间t的变化而变化？
请说明理由．
【变式训练4】如图所示，数轴上有 ， ， ， 四个点，点 表示的数是 ，点 表
示的数是 ，且满足 ．已知 （单位长度）， （单位长
度）．
(1)求点 和点 分别表示的数；
(2)若线段 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的
速度向左匀速运动，设运动时间为 秒，当 （单位长度）时，求 的值；
(3)若动点 从表示数 的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足
的值不随 点运动时间 的变化而改变，求 的值．
类型三、数量关系问题
例．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且 ．若
有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点
Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个
动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)【解决问题】：
①当 秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；
②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)【探索问题】：
若 为 的中点， 为 的中点，直接写出线段 与线段 的数量关系．
【变式训练1】已知数轴上A，B两点对应的数分别是a，b，其中a，b分别为单项式
的系数和次数，点P为数轴上的一动点．
(1)A，B两点的距离 __________；
(2)在数轴上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，请说
明理由；
(3)若点P以每秒1个单位的速度从点O（点O对应的数是0）出发向右匀速运动，同时点
A以每秒5个单位的速度向左匀速运动，点B以每秒8个单位的速度向右匀速运动．在运
动的过程中，M，N分别是 ， 的中点，设运动时间为t秒．①请用含t的代数式表示 ；
②随着时间t的变化， 与 之间有怎样的数量关系？
【变式训练2】如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，
且 ．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速
运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的
运动时间为t秒．
(1)解决问题：
①当 时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索
线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．
课后训练
1．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示 ， ，6，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，
C两点同时出发，甲的速度是每秒4个单位，乙的速度是每秒3个单位．
(1) ， ．
(2)若甲、乙相向而行，则甲、乙在多少秒后数轴上相遇？该相遇点在数轴上表示的数是什
么？
(3)若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为23个单位？
(4)在（3）的条件下，当甲到A，B，C三点的距离之和为23个单位时，甲调头返回，则甲、
乙还能在数轴上相遇吗？若能，并求出相遇点在数轴上表示的数；若不能，请说明理由．2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研
究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B
两点之间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为8，点P从点A出发，以
每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长
度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 ．
【综合运用】
(1)填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇；
(3)求当t为何值时， ；
(4)若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生
变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长．
3．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为 和20、点P从点 出发，以每秒1个
单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的
速度沿数轴正方向匀速运动．设运动时间为 秒．
(1)当 时，线段 的长度是___________；当 时，线段 的长度是___________．
(2)当 时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数．
(3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负
方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，直接写出所有使得线
段 的t值．5．已知数轴上的 、 两点分别对应的数字为 、 ，且 、 满足 ．
(1)直接写出： ______， ______；
(2) 从 出发，以每秒 个长度的速度沿数轴正方向运动，何时 ， ， 三点中其中一
个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间 ；
(3)数轴上还有一点 对应的数为 ，若点 从 出发，以每秒 个单位的速度向 点运动，
同时， 从 点出发，以每秒 个长度的速度向正方向运动，点 运动到 点立即返回再沿
数轴向左运动．当 时，求 运动的时间．
6．已知式子 是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，
，数轴上A，B、C三点所对应的数分别是a、b和c，点A，B沿数轴同时出发相向
匀速运动，点B的速度为每秒2个单位长度，4秒后两点相遇．
(1)求点A的运动速度；
(2)若点A与点B之间的距离记为 ，原点O与点C之间的距离记为 ，A，B两点运动
秒时有 ，求此时t的值；
(3)当点A运动到点C时，迅速以初始速度的2倍返回，到达点A的起始位置后，再以初始
速度的4倍又折返向C点运动：点B始终保持原来的运动方向和速度不变；求出运动过程
中A，B两点相遇时t的值．
7．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c
满足 ．
(1)填空；a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在
数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
①求经过多长时间， 的长度是 长度的两倍．
②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段 的中点Q进行折叠，点M与点
N刚好重合，所以我们又称线段 的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
