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专题 09 线段上动点问题压轴题的的四种考法
类型一、线段之间数量关系问题
例．已知线段 ， ( ， 为常数，且 )，线段 在直线 上运动(点
B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段 的中点，Q是线段 的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段 的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段 运动到点B，M重合时，求线段 ， 之间的数量关系；
(3)当线段 运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段 ， ， 三者之间的
数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据题意表示出 和 的长度，然后即可求出 ；
（2）根据题意表示出 和 的长度，再表示出 和 的长度，即可发现 和 之
间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出 和 ，
即可发现 ， ， 三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P是线段 的中点，Q是线段 的中点，所以 ， ，
∴ ．
（2）因为P是线段 的中点，Q是线段 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时 ， ，
所以 ；如图②，当点M在点B的右侧时 ， ，
所以 ．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．
【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且 ，动点P､Q
分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为
每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若点A表示的数为 ，则点B表示的数为________，线段 中点表示的数为
___________；
（2）在（1）的条件下，若 ，求t的值；
（3）当点P在线段 上运动时，若 ，请探究线段 与线段 之间的数
量关系，并说明理由．
【答案】（1）6；-3；（2） 或13；（3） 或 ，见解析
【分析】（1）由点A表示的数为 ，AO＝2OB可知，可求出OB，AB长，从而得出结
论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝6+t，分别
代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；
（3））设线段 的长为b，则 ，分两种情况去绝对值，求出t的值，
即可解决问题．
【详解】（1）∵点A表示的数为 ，AO＝2OB，
∴AO＝12，OB＝6，
∴AB＝18，
∴线段 中点表示的数为3．
故答案是：6；﹣3；
（2）当P､Q相遇时， （秒），
∴ ．当点P在 上时， ，
∵ ，
∴ ， ，符合；
当点P在原点O右侧时， ，∵ ， ，
，符合．
综上所述，若 ，t的值为 或13.
（3）设线段 的长为b，则 ．
∵点P在线段 上运动，
∴ ． ．
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
综上所述，线段 与线段 之间的数量关系为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复
杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，
两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
【变式训练2】如图1， ， 是直线 上的两个点，且 ．线段 （ 在 的左
侧）可以在直线 上左右移动．已知 ，点 是 的中点．
（1）如图2，当 与 重合时， ， ；（2）在图2的基础上，将线段 沿直线 向左移动 个单位长度得到图3．
①若 ，求 和 的长；
②若 ，则 的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段 沿直线 向右移动 个单位长度．请直接写出
与 之间的数量关系 ．
【答案】（1）5，2.5；（2）① =2， =1；②1；（3）AM=2BC．
【分析】（1）当 与 重合时，AM=MN-NA=5,由点 是 的中点．由 ，可
得AC=BC= ；
（2）①由线段 沿直线 向左移动 个单位长度,可得BN= 可求 =MN-
AN =2，由点 是 的中点．NC=AC= ，可求 ；②由 ，
解方程即可；
（3）又线段 沿直线 向由移动 个单位长度,BN= ，可得AN= 5-b，可求
=MN-AN=5+b，由点 是 的中点．可求NC=AC= ，可求 =CN+BN= 即可．
【详解】解：（1）当 与 重合时，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5，
∵点 是 的中点．
∴点 是 的中点，
∵ ，
∴AC=BC= ，
故答案为：5，2.5；
（2）①∵线段 沿直线 向左移动 个单位长度，
∵ ，
∴BN= ，
∴AN=AB+BN=5+ =8，∴ =MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2，
∵点 是 的中点．
∴NC=AC= ，
=CN-BN=4-3=1；
②∵ ，
，
即 ，
，
=1，
故答案为：１；
（3）∵线段 沿直线 向由移动 个单位长度，
∴BN= ，
∴AN=AB-BN=5-b，
∴ =MN-AN= 10-（5-b）=5+b，
∵点 是 的中点．
∴NC=AC= ，
∴ =CN+BN= ，
∴AM=2BC．
故答案为：AM=2BC．
【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差
列方程，理解线段和差是解题关键．
类型二、定值问题
例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且 ，
(1)填空： ， ；
(2)在线段 上有一点C，满足 ，求点C表示的数；(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出
发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当 时， 的值是否发生
变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．
【答案】(1)8， ；(2) ；(3) 的值不会发生变化，详见解析
【分析】（1）根据非负数的性质，可得 ，即可求解；
（2）先求出 ，可得 ，即可求解；
（3）根据题意可得依题意得： ，从而得到
， ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，解得： ；
故答案为：8，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 C 表示的数为 ；
（3）解： 的值不会发生变化，
依题意得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值不会发生变化．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结
合思想解答是解题的关键．
【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿
C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间
为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保
持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)t为2或 时，点C为线段PQ的中点
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析
【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由 即可求
出PQ的长；
（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据
中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即 时，同理求出t的值即可．
最后舍去不合题意的t的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即 时，分别用t表示出
CP和CM的长度，再根据 ，求出 即可；②当Q由B往C点第一次返回
时，即 时，同理求出 即可；③当Q由C往B第二次运动时，即 时，同
理求出 即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．
【详解】（1）解：当 时，
∵
∴ ，
∴ ．
故答案为：3.5．
（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
∴ ．
∵∴ ．
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∵点C为线段PQ的中点，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
解得： ，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
解得： ；
综上可知，t为2或 时，点C为线段PQ的中点；
（3）根据（2）可知 ．
∵点M是线段CQ的中点，
∴ ．
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，
此时 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；③当Q由C往B第二次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形
结合的思想是解答本题的关键．
【变式训练2】如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动（点 在点
的左侧，点 在点 的左侧），若 ．
（1）求线段 ， 的长；
（2）若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长；
（3）当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点，
下列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以
说明．
【答案】（1） ， ；（2）9；（3）②正确， ，见解析
【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求 ， 即可；
（2）分类考虑当点 在点 的右侧和点 在点 的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用
线段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可；
（3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可．
【详解】解：（1）由 ， ，
，
得 ， ，
所以 ， ；
（2）当点 在点 的右侧时，如图，
因为点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
当点 在点 的左侧时，如图，
因为点 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以 ，
，
所以
所以 ．
综上，线段 的长为9；
（3）②正确，且 ．理由如下：
因为点 与点 重合，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性
质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出
PA+PB=2PC．
【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C
在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN
的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的
向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运
动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为
定值，且定值为0．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；
（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；
②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出
每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，
∴m=12，n=4；
故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点
∴AM=CM= AC ，DN=BN= BD
∴MN=CM+CD+DN
= AC +CD+ BD
= AC + CD+ BD+ CD
= (AC +CD+BD)+ CD
= (AB +CD)
=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：
解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点
∴CE= BE= BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t
∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2
∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC 5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝
对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨
论的思想进行分析．
类型三、时间问题
例．如图，点A、B都在数轴上，点O为原点，设点A、B表示的数分别是m、n，且m与
n满足 ．
（1）若动点P从点A出发，沿数轴向左以每秒4个单位长度的速度运动，动点Q从点B
出发，沿数轴向左以每秒6个单位长度的速度运动，已知点P与点Q同时出发，且P、Q
两点重合后同时停止运动，设点P运动时间为t秒．
①当 的长为4时，求t的值；
②若点M为 的中点，点N为 的中点，且 ，求t的值．
（2）点P沿着 以每秒4个单位长度的速度往返运动1次，点Q沿着
以每秒6个单位长度的速度往返运动1次．若点P、Q同时出发，运动时间为t
秒，当 时，求t的值．
【答案】（1）①2；②无解；（2） 或0.9或2.3或2.5
【分析】（1）①由题意易得点A表示的数为-6，点B表示的数为2，则有点 表示的数为
，点 表示的数为 ，进而可得 ，然后问题可求解；
②由①可得 ， ，由点M为 的中点，点N为 的中点，可得， ，然后由 可求解，最后结合点P、Q两点重合后同时停止
运动可求解；
（2）由题意得点 、 第一次相遇时的时间为 秒；点 、 第二次相遇时的时间为2.4
秒，则可分①当点 、 在第一次相遇前相距1个单位长度时，即 ，则有
；②当点 、 在第一次相遇后相距1个单位长度时，即 ，
；③当点 、 在第二次相遇前相距1个单位长度时，即 ，
；④当点 、 在第二次相遇后相距1个单位长度时，即 ，
，然后求解即可．
【详解】解：（1）①∵ ，
∴ ，
∴点A表示的数为-6，点B表示的数为2，
由题意可得点 运动的路程为 ，点 运动的路程为 ，
∴点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
②由①可得 ， ， ，
当点 、 重合时，则有 ，即 ，
∵点M为 的中点，点N为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵5＞4，
∴不符合点P、Q两点重合后同时停止运动，
∴当 时，t无解；
（2）由题意得：
点 、 第一次相遇时的时间为 ，解得： ；
∴此时点 离点B的距离为6×0.8=4.8，点 离点A的距离为4×0.8=3.2，∴点 到达点B的时间为4.8÷4=1.2秒，此时点 与 的距离为6×1.2-3.2=4，
∴点 、 第二次相遇时的时间为0.8+1.2+4÷10=2.4秒，
①当点 、 在第一次相遇前相距1个单位长度时，即 ，如图所示：
∴ ，解得： ；
②当点 、 在第一次相遇后相距1个单位长度时，即 ，如图所示：
∴ ，解得： ；
③当点 、 在第二次相遇前相距1个单位长度时，即 ，如图所示：
∴ ，解得： ；
④当点 、 在第二次相遇后相距1个单位长度时，即 ，如图所示：
∴ ，解得： ；
综上所述：当 时， 或0.9或2.3或2.5．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题，熟练
掌握一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题是解题的关键．
【变式训练1】如图，点 在数轴上分别表示有理数 ，且 满足 ．
（1）点 表示的数是___________，点 表示的数是____________．
（2）若动点 从点 出发以每秒3个单位长度向右运动，动点 从点 出发以每秒1个单
位长度向点 运动，到达 点即停止运动 两点同时出发，且 点停止运动时， 也随
之停止运动，求经过多少秒时， 第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为 秒，若 的中点为 的中点
为 ，当 为何值时， ？
【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或 秒．
【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；
（2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；
（3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝ AP＝ t，BN＝ BQ＝
t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方
程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵ 满足 ，
∴a+2＝0， b﹣5＝0，
∴a＝﹣2，b＝5，
即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5；
故答案为：﹣2，5；
（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，
设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，
则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，
列方程得，7﹣3x﹣x＝3，
解得：x＝1，
答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度；
（3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，
∵AP的中点为M，BQ的中点为N，
∴AM＝ AP＝ t，BN＝ BQ＝ t，
如图1，当点P、M都在点B的左侧时，
BM＝AB﹣AM＝7﹣ t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣ t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣ t +7﹣ t＝3（7﹣3t），
解得：t＝1；
如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时，
BM＝AB﹣AM＝7﹣ t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣ t，
∵BM+AN＝3PB，∴7﹣ t +7﹣ t＝3（3t﹣7），
解得：t＝ ；
③如图3，当点P、M都在点B的右侧时，
BM＝AM﹣AB＝ t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣ t，
∵BM+AN＝3PB，
∴ t﹣7+7﹣ t＝3（3t﹣7），
解得：t＝ （舍去）；
综上所述，当t为1秒或 秒时，BM+AN＝3PB．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨
论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程．
【变式训练2】如图，点 、点 是数轴上原点 两侧的两点，其中点 在原点 的左侧，
且满足 ， .
（1）点 、 在数轴上对应的数分别为______和______.
（2）点 、 同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.
①经过几秒后， ；
②点 、 在运动的同时，点 以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，
点 、 、 中的某一点成为其余两点所连线段的中点？
【答案】（1）-2和4；（2）①经过 秒或 秒， ；②经过 秒或 秒后，点
、 、 中的某一点成为其余两点所连线段的中点.
【分析】(1)设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b.根据题意确定a、b的
正负,得到关于a、b的方程，求解即可;
(2)①设t秒后OA=3OB.根据OA=3OB，列出关于t的一元一次方程，求解即可;
②根据中点的意义，得到关于t的方程，分三种情况讨论并求解:点P是AB的中点;点A是
BP的中点;点B是AP的中点.
【详解】（1）设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,则OA=-a，OB=b∵ ，
∴OA+OB=6
∴-a+b=6
∵ .
∴b=-2a
∴
∴
∴点A在数轴上对应的数为-2,点B在数轴上对应的数为4
故答案为：-2和4；
（2）①设 秒后， ，则点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-
2t，故OA=2+t
情况一：当点 在点 右侧时，故OB=4-2t
∵
则 ，
解得： .
情况二：当点 在点 左侧时，，故OB=2t-4
∵
则 ，
解得： .
答：经过 秒或 秒， .
②设经过 秒后，点 、 、 中的某一点成为其余两点所连线段的中点，此时点P在数轴
上对应的数为t, 点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t
当点 是 的中点时，则 ，
解得： .
当点 是 的中点时，则 .
解得： .当 点是 的中点时，则
解得： （不合题意，舍去）
答：经过 秒或 秒后，点 、 、 中的某一点成为其余两点所连线段的中点.
【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程、 线段的中点及分类讨论的思想.题目综合性较
强.掌握数轴上两点间的距离公式是解决本题的关键.数轴上两点间的距离=右边点表示的数-
左边点表示的数.
类型四、求值
例．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、
3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM
上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 或
【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；
（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；
（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；
结合图形计算出线段的长度关系即可求解；
【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
（2）解：设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，∴AM= BM
故答案为： ．
（3）解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM＝ AB，
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝ AB，
∴MN＝ AB，即 = ．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，
∴ =1,即 = ．
综上所述 ＝ 或
【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关
系再解答．
【变式训练】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B
同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段
AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求 的值
【答案】（1） ， ；（2）① ；② 或1
【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得 、 的长，根据线段的和差计算可得；
（2）①根据 、 的运动速度知 ，再由已知条件 求得 ，所以
；
（3）分点 在线段 上时和点 在线段 的延长线上时分别求解可得．
【详解】解：（1）根据题意知， ， ，
， ，
，
， ，
故答案为： ， ；
（2）①根据 、 的运动速度知： ，
，
，即 ，
，
，
；
②当点 在线段 上时，如图，
，
又 ，
，
，
；
当点 在线段 的延长线上时，如图，，
又 ，
，
；
综上所述： 或1．
【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，
理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解．
课后训练
1．如图1，已知线段 ，点M是线段 上一点，点C在线段 上，点D在线
段 上，C、D两点分别从M、B出发以 的速度沿直线 运动，运动方
向如箭头所示，其中a、b满足条件： ．
(1)直接写出： ____________， _____________；
(2)若 ，当点C、D运动了 ，求 的值；
(3)如图2，若 ，点N是直线 上一点，且 ，求 与 的数
量关系．
【答案】(1)1，3；(2)8cm；(3) 或
【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；
（2）当C、D运动 时， ， ，结合图形求解即可；
（3）分两种情况：当点N在线段 上时；当点N在线段 的延长线上时；利用线段间
的数量关系求解即可．
【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
故答案为：1；3；
（2）当C、D运动 时， ， ，
∴ ．（3）当点N在线段 上时，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
当点N在线段 的延长线上时，
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
综上所述， 或 ．
【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根
据图象得出线段间的数量关系是解题关键．
2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有
①A、B两点的中点表示的数为 ；
②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．
【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0
（1）求出A、B两点的中点C表示的数；
（2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的
2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？
【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点
A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运
动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中， 的值是否发生变化？
请说明理由．
【答案】（1）A、B两点的中点C表示的数是3；（2）点D的运动速度是每秒 个单位长
度，或每秒4个单位长度；（3） =2（定值）．理由见解析.
【分析】（1）分别求出a、b的值，然后求出中点C的值；（2）分情况讨论，当点D运动到点C左边和C右边时，得出不一样的C值；
（3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是
8+10t．
【详解】（1）∵|a+2|+（b﹣8）2020＝0
∴a＝﹣2，b＝8，
∴A、B两点的中点C表示的数是： ；
（2）设点D的运动速度为v，
①当点D运动到点C左边时：由题意，有2v﹣（﹣2）＝2（3﹣2v），
解之得 ；
②当点D运动到点C右边时：由题意，有2v﹣（﹣2）＝2（2v﹣3），
解之得v＝4；
∴点D的运动速度是每秒 个单位长度，或每秒4个单位长度；
（3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是
8+10t．
∵P是ME的中点，
∴P点对应的数是 ，
又∵Q是ON的中点，
∴Q点对应的数是 ，
∴MN＝（8+10t）﹣（﹣2﹣7t）＝10+17t，OE＝tPQ＝（4+5t）﹣（﹣1﹣3t）＝5+8t，
∴ （定值）.
【点睛】本题考查绝对值的应用及幂指数的应用，以及实际问题，属于典型的开放性应用
题．
3．如图一，点 在线段 上，图中有三条线段 、 和 ，若其中一条线段的长度
是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“巧点”．(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点 和 在数轴上表示的数分别是 和 ，点 是线段 的
巧点，求点 在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点 从点 处，以每秒 个单位的速度沿 向点
匀速运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，当其中
一点到达中点时，两个点运动同时停止，当 、 、 三点中，其中一点恰好是另外两点
为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间 的所有可能值．
【答案】(1)是
(2)10或0或20
(3) ；t=6； ；t=12； ；
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关
系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t的代数式表示出线段 ，再根据新定义列出方程，得出合适
的解，即可求出t的值．
【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍，
∴线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设 点表示的数为x，则 ，
根据“巧点”的定义可知：
①当 时，有 ，解得， ；
②当 时，有 ，解得， ；
③当 时，有 ，解得， ．
综上， 点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得 ，
（i）、若 时，点P为 的“巧点”，有①当 时， ，解得， ，
②当 时， ，解得， ；
③当 时， ，解得， ；
综上，运动时间 的所有可能值有 ； ； ；
（ii）、若 时，点Q为AP的“巧点”，有
①当 时， ，解得， ；
②当 时， ，解得， ；
③当 时， ，解得， ．
综上，运动时间 的所有可能值有： ； ； ．
故，运动时间 的所有可能值有： ．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两
点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
