文档内容
专题 04 数轴中的动点问题 专项讲练
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表
示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
题型1. 单动点问题
例1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数
为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，
M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的
长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，
点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，
点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；
由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，
∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP= AP，NP= BP，
∴MN=MP+NP= AP+ BP= AB= ×12=6，
当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP= AP，NP= BP，
∴MN=MP-NP= AP- BP= AB= ×12=6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
变式1．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴
上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数
b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为 ；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为 ；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为 ．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
【答案】A
【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段
的长度，判定即可．
【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图：甲说法正确；
当点C在射线AB上运动时，如下图：
乙说法不正确；
当点C在射线BA上运动时，如下图：
丙说法不正确 故选A
【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解．
题型2. 单动点问题（规律变化）
例2.（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴
上的一个点．
(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P
满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，
第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类
推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29
【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；
(2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；
(3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16或0，再根据点P的移动规律可得答案．
(1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12；(2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，
∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；
(3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，
∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，
根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，
它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．
故答案为：2或29．
【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的
性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
变式2．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2
步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度， 表示第n秒时机
器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，
正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：
第一个循环节结束的数即x=1，第二个循环节结束的数即x =2，第三个循环节结束的数即x =3，…，第
5 10 15
m个循环节结束的数就是第5m个数，即x =m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应
5m
的数值．
【详解】根据题意可知：x=1，x=2，x=3，x=2，x=1，
1 2 3 4 5
x=2，x=3，x=4，x=3，x =2，
6 7 8 9 10
x =3，x =4，x =5，x =4，x =3，…
11 12 13 14 15
由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x=1，第二个循环节结束的数即x =2，第三个循环节结束的数即
5 10
x =3，…，即第m个循环节结束的数即x =m．
15 5m
∵x =20，∴x =21，x =22，x =23，x =22，
100 101 102 103 104
∵x =21，∴x =22，x =23，x =24
105 106 107 108
故x ＞x ，故③错误，不合题意；
108 104
∵x =403，∴x =404，x =405，x =406，x =405，x =404，
2015 2016 2017 2018 2019 2020
故x ＞x ，故④正确．符合题意．故答案为：①②④．
2019 2020【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右
加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环
结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
题型3. 双动点问题（匀速）
例3.（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表
示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值
为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，
在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、
Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3） 秒或 秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b
＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9
分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按
t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，
故答案为：≥9，12．（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，
∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝ ；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝ ，
综上所述，第 秒或第 秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要
考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2022·江西·七年级期末）已知数轴上点 在原点的左边，到原点的距离为4，点 在原点右边，
从点 走到点 ，要经过16个单位长度．（1）写出 、 两点所对应的数；（2）若点 也是数轴上的点，
点 到点 的距离是点 到原点距离的3倍，求 对应的数；（3）已知点 从点 开始向右出发，速度
每秒1个单位长度，同时 从 点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段 的中点为 ，线段
的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值．
【答案】（1）-4，12；（2）-6或3；（3）不变化，6
【分析】（1）直接根据实数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可；
（2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出
c的值即可；（3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，再根据点P是NO的中点用t表示出PO的长，
再求出PO-AM的值即可．
【详解】（1）∵数轴上点A在原点左边，到原点的距离为4个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过16个单位长度，
∴点A表示-4，点B表示12；
（2）设点C表示的数为c，
∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，
∴|c-12|=3|c|，
∴c-12=3c或c-12=-3c，解得c=-6或c=3；
（3）不变化．
设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，
∵点P是NO的中点，
∴PO=6+t，
∴PO-AM=6+t-t=6，
∴PO-AM的值没有变化．
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键．
题型4.双动点问题（变速）
例4.（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分
别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同
时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点
B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻
恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】 或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，
找到对应的边长关系，列出关于 的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝ ，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为 秒或30秒，
故答案为： 或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找
到等量关系，列出关于时间 的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
变式4.（2021·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣
（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动
点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运
动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F
在数轴上对应的数为： ．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后
向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的
值（不必写过程）．
【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3） 秒或 秒 秒或 秒
【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值
无关，即可求出a、b；
（2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解；
（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可．
【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，
∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3）
＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15，
∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12；
（2）设运动时间为t秒．
（3）由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t，
故答案为：12﹣6t，﹣20+2t；
（3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝ ；
相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），
相遇点为﹣20+2×4＝﹣12，
点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝ ；
由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t
﹣4﹣4）＝68﹣10t．
当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝ ；
当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝ ．
答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为 秒或 秒 秒或 秒
【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键．
题型5.多动点问题
例5.（2022·福建·厦门市金鸡亭中学七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|
a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；
(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到
B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，
点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问
的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段
PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3） 的值没有发生变化，理由见
解析.
【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示
， ，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分
别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出
的值为常量，即可得出结论.
【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，
∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）设3秒后点C对应的数为x，则 ， ，
∵CA=CB，∴ ，
当 ，无解；
当 ，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒，
∴点C的速度为每秒1个单位长度；
（3） 的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒，
则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；
点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；
则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，
∴ ，为定值，
即 的值没有发生变化.
【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.
变式5．（2021·剑阁县公兴初级中学校七年级月考）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|
=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，
请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由．
（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度
向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒
钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是
否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-1、1、6；（2）-10 ；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不变，BC-AB=3．
【分析】（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可；
（3）据绝对值的性质用y表示出点M到点A，点B的距离之和，再令其等于5，列方程求解；
（4）结合题意，用t和n表示出BC-AB再化简即可判断．
【详解】解：（1）由b是最小正整数得b=1；
由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0，解之得c=6，a=-1．故a=-1，b=1，c=6．
（2）∵点P在A、B之间运动 ∴-1＜x＜1∴x+1＞0、x-1＜0、x+5＞0
∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=(x+1)-(1-x)-2(x+5)=x+1-1+x-2x-10=-10．
（3）由题意知AB=2，所以M不可能在AB之间，下面讨论M在AB之外的情况
第一种情况，当M在A点左侧时 由MA+MB=MA+MA+AB=5，得MA=1.5
∴|y-(-1)|=1.5且y＜-1∴y=-2.5；
第二种情况，当M在B点右侧时 由MA+MB=MA+MA-AB=5，得MA=3.5
∴|y-(-1)|=3.5且y＞-1 ∴y=2.5；故存在这样的点M，对应的y=2.5或y=-2.5．
(4)如下图
用A1、B1、C1分别表示A、B、C的初始位置
由题意得，当t秒时，A1A=nt，B1B=2nt，C1C=5nt
∴AB=A1A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nt+2，BC=B1C-B1B=B1C1+C1C-B1B=5+5nt-2nt=3nt+5
∴BC-AB=(3nt+5)-( 3nt+2)=3 故BC-AB的值不变，且BC-AB的值为3．
【点睛】此题综合考查了绝对值的意义和数轴上两点之间的距离．弄清数轴上点及点的运动与所表示的数
之间的关系是解决本题的关键．
题型6. 新定义问题例6.（2021·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B
的距离2倍，我们就称点C是 的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为 ，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是
1，那么点C是 的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就
不是 的美好点，但点D是 的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为 ，点N所表示的数为2．
（1）点E，F，G表示的数分别是 ，6.5，11，其中是 美好点的是________；写出 美好点H
所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为
M和N的美好点？
【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条
件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过
程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符
合条件，故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在
满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左
侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4
或-16．（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题，属于中考创新题目．
变式6．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点
B之间的距离为 ．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么 ．
(1)若 ，则x的值为 ．
(2)当x＝ （x是整数）时，式子 成立．
(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：
当 时，点P叫点A的1倍伴随点，
当 时，点P叫点A的2倍伴随点，
……
当 时，点P叫点A的n倍伴随点．试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，
使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1
(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1
【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由 ，
即可求解；
（3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得
，然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)解：∵ ，∴在数轴上到3和x的点的距离为2，
∴x=5或x=1，故答案为：5或1；
(2)解：∵ ，∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，
∵ ，∴ ，
∵ x是整数，∴x取-2、-1、0、1；故答案为：-2、-1、0、1；
(3)解：存在，理由如下：设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，
∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，
∴ ，∴ ，
当 时， ，∴ ，即AB=1；
当 时， ，∴ ，即AB=3；
当 时， ，∴ ，即AB=3；
当 时， ，∴ ，即AB=1；
综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类
讨论思想解答是解题的关键．
课后专项训练：1．（2022·广东揭阳·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点
A向左移动3个单位长度到达点 ，第2次从点 向右移动6个单位长度到达点 ，第3次从点 向左移
动9个单位长度到达点 ，…，按照这种移动规律进行下去，第n次移动到达点 ，如果点 与原点的
距离不小于17，那么n的最小值是___________．
【答案】11
【分析】当n为奇数时，An对应的数是 ，当n为偶数时，An对应的数是 ，有题意可得
或 ，即可求n的最小值．
【详解】解：当n为奇数时，A，A，A，…，An，对应的数是-2，-5，-8，…， ，
1 3 5
当n为偶数时，A，A，A，…，An，对应的数是4，7，10，…， ，
2 4 6
∵点An与原点的距离不小于17，
∴ 或 ，
∴n≥11，
∴n的最小值为11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给点的运动关系，探索出对应点所表示数的一般规律是解题的
关键．
2．（2022·四川·宜宾八中七年级阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．
两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．
（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
（2）问多少秒后甲到 ， ， 三点的距离之和为40个单位？．
（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用 表示甲蚂蚁、 表示乙蚂蚁）分别从 ， 两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点 、甲蚂蚁 与乙蚂蚁 三点中，有一点
恰好是另两点所连线段的中点．
【答案】解：（1）-10.4；（2）2或5秒；（3） 秒或 秒或 秒．
【分析】利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．
【详解】解：（1）设 秒后甲与乙相遇，则
，
解得 ，
，
．
故甲、乙在数轴上的 相遇；
（2）设 秒后甲到 ， ， 三点的距离之和为40个单位，
点距 ， 两点的距离为 ， 点距 、 两点的距离为 ， 点距 、
的距离为 ，故甲应为于 或 之间．
① 之间时：
解得 ；
② 之间时： ，
解得 ．
（3）∵甲的速度变为原来的3倍，即甲的速度变为12个单位/秒，
①设 秒后原点 是甲蚂蚁 与乙蚂蚁 两点的中点，则依题意得：
，解得 ，
②设 秒后乙蚂蚁 是甲蚂蚁 与原点 两点的中点，则依题意得：
，解得 ；
③设 秒后甲蚂蚁 是乙蚂蚁 与原点 两点的中点，则依题意得：
，解得 ，
综上所述， 或 或 秒后，原点 、甲蚂蚁 与乙蚂蚁 三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系
列出方程，再求解是解题关键．
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴上﹣3和5的位置，沿数轴做
移动游戏，规则如下：两人先猜硬币的正反面，依据猜的对错再移动，若都猜对或都猜错，则甲向右移动
1个单位，同时乙向左移动1个单位；若甲猜对乙猜错，则甲向右移动4个单位，同时乙向右移动2个单位；
若甲猜错乙猜对，则甲向左移动2个单位，同时乙向左移动4个单位．
（1）第一次游戏时，若甲、乙都猜对，则移动后两人相距 个单位；若甲猜对乙猜错，则移动后两
人相距 个单位；若甲猜错乙猜对，则移动后两人相距 个单位；
（2）若连续（下次在上次的基础上）完成了10次移动游戏，且每次甲、乙所猜结果均为一对一错．游戏
结束后，
①乙会不会落在原点O处？为什么？
②求甲、乙两人之间的距离．
【答案】（1）6；6；6；（2）①乙不会落在原点O处；理由见解析；②12
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）①设甲猜对了n次，则甲猜对乙猜错n次，甲猜错乙猜对（10﹣n）次，根据题意列方程即可得到结
论；
②游戏结束时，得到甲的位置落在﹣3+4n﹣2（10﹣n）＝6n﹣23处，游戏结束时，得到乙的位置落在5﹣
4（10﹣n）+2n＝6n﹣35处，列式计算即可得到结论．
【详解】解：（1）第一次游戏时，
若甲、乙都猜对，则移动后两人相距：5-1-（-3+1）=6个单位；若甲猜对乙猜错，则移动后两人相距:5+2-
（-3+4）=6个单位；若甲猜错乙猜对，则移动后两人相距：5-4-（-3-2）=6个单位；
故答案为：6，6，6；
（2）设甲猜对了n次，则甲猜对乙猜错n次，甲猜错乙猜对（10﹣n）次，
①根据题意得，乙猜错了n次，向右移动了2n，猜对了（10﹣n）次，向左移动4（10﹣n），
则5﹣4（10﹣n）+2n＝0，
解得：n＝ ，
∵n＝ ≠整数，∴乙不会落在原点O处；
②游戏结束时，甲的位置落在﹣3+4n﹣2（10﹣n）＝6n﹣23处，
游戏结束时，乙的位置落在5﹣4（10﹣n）+2n＝6n﹣35处，
∴甲、乙两人之间的距离＝|（6n﹣23）﹣（6n﹣35）|＝12；
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题，属于常考题型．
4．（2022·山东济宁·七年级期中）如图所示，在数轴上点 表示的数分别为-2，0，6，点 与点 之
间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ．
（1）填空： ；
（2）点 开始在数轴上运动，若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以
每秒2个单位长度，5个单位长度的速度向右运动．
①设运动时间为 ，请用含有 的算式分别表示出 ；
②在①的条件下， 的值是否随着时间 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）8，
（2）见解析．
【分析】（1）根据各个点在数轴上表示的数，求出AC的长，
（2）①用含有t的代数式表示出运动后，点A、B、C所表示的数，进而表示AB、BC、AC，
②根据BC、AB的长，计算BC-AB的值，得出结论．
【详解】解：（1）AC=|-2-6|=8，
故答案为：8．
（2）①移动t秒后，点A所表示的数为（-2-t），点B所表示的数为2t，点C所表示的数为（6+5t），
因此，AB=2t-（-2-t）=3t+2，BC=（6+5t）-2t=3t+6，AC=6+5t-（-2-t）=6t+8，
②BC-AB=3t+6-（3t+2）=4，
答：BC-AB的值不会随着运动时间t的变化而变化，其值为4．
【点睛】考查数轴表示数的意义，根据数轴上点所表示的数，求两点之间的距离是常见的题型．
5．（2022·黑龙江·尚志市田家炳中学七年级期中）已知： 且 、 、 分别是点、 、 在数轴上对应的数.
（1）求点 与点 的距离；
（2）若甲、乙两个动点分别从 、 两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位
长度/秒），求甲追上乙时所用的时间；
（3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动
点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点 向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数
轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在
点 处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点 对应的数字.
【答案】（1）1；（2）甲追上乙时所用的时间为6秒；（3）丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D
对应的数是3.
【分析】(1))利用绝对值的非负性，求出a，b，c的值,再求两点间距离即可；
(2)先求出甲、乙两个动点的速度差，再根据时间=路程÷速度计算即可求出答案；
(3)先求出甲与乙相遇时所需要的时间，求丙动点运动的总路程，求出点A走的路程，再求点D对应的数即
可.
【详解】解：（1）∵|a+1|≥0，（5﹣b）2≥0，|c+2|≥0， |a+1|+（5﹣b）2+|c+2|＝0，
∴a+1＝0，5﹣b＝0，c+2＝0，
∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2．
∴AC=（-1）-（-2）=1
（2）由题意，AB=5-（-1）=6
∴6÷（2-1）=6
答：甲追上乙时所用的时间为6秒.
（3）根据题意，甲与乙相遇时所需要的时间为
6÷（2+1）=2
∴丙动点运动的总路程为2×4＝8个单位长度，
∵点A的速度为2
∴点A走的路程为2×2=4
∴点D对应的数是（-1）+4=3
答：丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D对应的数是3.
【点睛】本题考查数轴以及绝对值的非负性，有理数的混合运算，点的运动，根据点的运动特点，灵活运
用时间=路程÷速度进行求解是解决问题的关键．
6．（2022·山东·梁山县水泊街道初级中学七年级期中）已知，如图， 、 、 分别为数轴上的三个点，点对应的数为60， 点在 点的左侧，并且与 点的距离为30， 点在 点左侧， 点到 距离是 点
到 点距离的4倍．
（1）求出数轴上 点对应的数及 的距离．
（2）点 从 点出发，以3单位/秒的速度项终点 运动，运动时间为 秒．
①点 点在 之间运动时，则 _______．（用含 的代数式表示）
② 点在 点向 点运动过程中，何时 、 、 三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时
间 ．
③当 点运动到 点时，另一点 以5单位/秒速度从 点出发，也向 点运动，点 到达 点后立即原速
返回到 点，那么 点在往返过程中与 点相遇几次？直接写出相遇是 点在数轴上对应的数．
【答案】（1） 点对应的数为30；AC=120；（2）① ；② 的值为5或20；③相遇2次； 点在数
轴上对应的数为－15或 ．
【分析】(1)根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB=30求出B点对应的数，根据AC=4AB求出
AC的距离；
(2)①当P点在AB之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t，根据BP=AB-AP求解；
②分P点是AB的中点和B点是AP的中点两种情况进行讨论即可；
③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次，设Q点在往返过程中经过x
秒与P点相遇，第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中，根据AQ-BP=AB列出方程；第二次
相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中，根据CQ+BP=BC列出方程，进而求出P点在数轴上的对应的
数．
【详解】解（1） 点对应的数为60， ,点在 点的左侧，并且与 点的距离为30，
点对应的数为 ；
点到 点距离是 ,点到 点距离的4倍，
;
（2）①当 点在 之间运动时，
，
．
故答案为 ；②当 点是 、 两点的中点时， ，
，解得 ；
当 点是 两点的中点时， ，
，解得 ．
故所求时间 的值为5或20；
③相遇2次．
设 点在往返过程中经过 秒与 点相遇．
第一次相遇是点 从 出发，向 点运动的途中．
，
，
解得 ，
此时 点在数轴上对应的数是： ；
第二次相遇是 到达 点后返回到 点的途中．
，
，
解得 ，
此时 点在数轴上对应的数是： ．
综上，相遇时 点在数轴上对应的数为－15或 ．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，线段中点的定义，进行分类
讨论是解题的关键．
7．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）解答下列问题:
画出数轴，并在数轴上表示 与 ；
数轴上表示 的点与表示 的两点之间的距离为 ；
若 ，且点 ，点 在数轴上表示的数分别是 ，则 两点间的最大距离 ，
最小距离是数轴上 的三点所表示的数分别为 ．点 在点 左侧，点 与点 之间的距离为 ，点 与
点 之间的距离为 ，如果 两点同时出发，点 以每分钟 个单位长度的速度从点 向右运动，点
以每分钟 个单位长度从点 向左运动．
①如图1， 分钟后，点 与点 的距离和点 与点 的距离相等；
②如图2， 分钟后，点 与点 的距离和点 与点 的距离相等．
【答案】 详见解析； ； ； ①1或 ；② 或4
【分析】（1）通过画数轴进行表示即可得解；
（2）用2减去 即可得到两点之间的距离；
（3）先求出a和b的值，再求距离的最值即可得解；
（4）①结合行程问题，进行列式计算即可得解，②结合行程问题，进行列式计算即可得解.
【详解】（1）数轴如下图所示：
（2）数轴上表示 的点与表示 的两点之间的距离为 ；
（3）∵∴ 或1， 或
∴ ， 两点间的最大距离为 ，最小距离为 ；
（4）设运动时间为
①当Q在B点右侧时，
则 ，解得 ；
当Q在B点左侧时，此时P依然在B点左侧，
则 ，解得 ，
故 或 分钟后，点 与点 的距离和点 与点 的距离相等；
②当点Q在B点右侧时，
则 ，解得 ；
当Q在B点左侧时，此时P依然在B点左侧，
则 ，解得 ，
故 或 分钟后，点 与点 的距离和点 与点 的距离相等.
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，结合行程问题进行列式计算是解决本题的关键.
8．（2021·广东·高州一中七年级阶段练习）如图，在数轴上点 表示的有理数为 ，点 表示的有理数为
．点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度由 运动，同时，点 从点 出发以每秒 个单位
长度的速度由 运动，当点 到达点 时 两点停止运动，设运动时间为 (单位：秒)．
（1）求 时，求点 和点 表示的有理数；
（2）求点 与点 第一次重合时的 值；
（3）当 的值为多少时，点 表示的有理数与点 表示的有理数距离是 个单位长度．
【答案】（1）点P表示的数为： -2，点Q表示的数为： 4；（2）4；（3）当t的值为3，5，9时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．
【分析】（1）根据题意可以得到当t=2时，点P和点Q表示的有理数；
（2）根据题意可以列出相遇关于t的方程，从而可以求得t的值；
（3）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】（1）当t=2时，
点P表示的数为：-6+2×2=-6+4=-2，
点Q表示的数为：6-1×2=6-2=4；
（2）[6-（-6）]÷（1+2）
=（6+6）÷3
=12÷3
=4，
答：点P与点Q第一次重合时的t值为4；
（3）点P和点Q第一相遇前，
（1+2）t=[6-（-6）]-3，
解得，t=3；
当点P和点Q相遇后，点P到达点B前，
（1+2）t=[6-（-6）]+3，
解得，t=5；
当点P从点B向点A运动时，
t-3=2t-[6-（-6）]，
解得，t=9；
由上可得，当t的值为3，5，9时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．
【点睛】此题考查数轴、列代数式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的解答．
9．（2022·河南南阳·七年级期中）如图：在数轴上 点表示数 点表示数 点表示数 是最小的正
整数，且 满足 ．
（1）求 的值；
（2）若将数轴折叠，使 点与 点重合，则点 与数_______表示的点重合；
（3）点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度在数轴上向点 运动，当点 到达点 后立即返回，仍
然以每秒 个单位长度的速度运动至 点停止，设运动时间为①当 时，求点 表示的有理数；
②当点 表示的有理数与 点的距离为 个单位长度时，直接写出所有满足条件的 值．
【答案】（1） ， ， ；（2）10；（3）①2, ②14秒或16秒
【分析】（1）根据 可得 ， ，从而得出a，c的值，再根据b是最小的正
整数，得出b的值即可；
（2）根据B、C重合，计算出数轴沿着数4对折，再根据点A与数4之间的距离计算出与点A重合的数；
（3）①根据时间计算出点P的运动方向及长度即可；
②对点P的位置进行分类讨论，一是当点P在点B的右侧1个单位时，二是当点P在点B左侧1个单位时，
分别计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
b是最小的正整数，
∴ ，
∴ ， ，
（2）∵ ，
∴若B、C重合，则数轴沿着数4对折，
∴ ，
∴点A与数10重合，
故答案为：10
（3）∵AC的长度为 ，
∴当 时，点P已到达点C，并向点A运动了14-9=5（秒）
∴此时点P表示的数为：7-5=2，
∴当 时，点 表示的有理数是2
②当点P在点B的右侧1个单位时，
∵从A到C需要9秒，所以此时在点B右侧1个单位时，时间为9+（7-1）-1=14（秒）
当点P在点B左侧1个单位时，时间为9+（7-1）+1=16（秒）故答案为：14秒或16秒．
【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数，以及数轴上动点问题，解题的关键是熟知数轴上数的表示方
法．
10．（2022·四川·成都市青羊实验中学七年级阶段练习）如图，点 和点 在数轴上对应的数分别为 和 ，
且 ．
（1）线段 的长为 ；
（2）点 在数轴上所对应的数为 ，且 是方程 的解，在线段 上是否存在点 使得
?若存在，请求出点 在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；
（3）在(2)的条件下，线段 和 分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动
时间为 秒，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，若 ，求 的值．
【答案】（1）10；（2）存在，点 对应的数为2，见解析；（3） 的值为6 或16
【分析】（1）根据题意求出 和 的值，进而即可求出线段 的长；
（2）由题意先解出x，再根据题意求出点 在数轴上所对应的数；
（3）根据题意先求出 、 初始位置对应数，再根据题意运动时间为 秒以及 ，建立关系式，并
求出t值即可.
【详解】解：（1）∵
∴ ，
∵点 和点 在数轴上对应的数分别为 和 ，
∴线段 的长为 .
故答案为：10.
（2）∵
解得，
即点 在数轴上对应的数为14．
∵点 在线段 上．∴
∵
∴
解得：
∴14-12=2
即点 对应的数为2.
（3）由题意知，
、 分别为 、 的中点，
∴ 、 初始位置对应数为0，11．
对应的数是
对应的数是
又∵ 在 上， 在 上，
∴可知 的速度在 处向右，速度为6个单位/秒， 的速度在11处向右速度为5个单位/秒，
运动 秒后，
对应的数为： ， 对应的数为： ，
∵
∴
解得， 或16，
的值为6 或16 .
【点睛】本题考查一元一次方程在数轴上动点问题中的应用及偶次方和绝对值的非负性，掌握相关基础知
识并数形结合进行分析是解题的关键．
11．（2022·河北唐山·七年级期末）如图 ，已知在数轴上有 、 两点，点 表示的数是 ，点 表示的
数是 ．点 在数轴上从点 出发，以每秒 个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点 在数轴上从点
出发，以每秒 个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动．设运动时间
为 秒．
（1） _______； 时，点 表示的数是_______；当 _______时， 、 两点相遇；
（2）如图 ，若点 为线段 的中点，点 为线段 中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否
发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长；（3）如图 ，若点 为线段 的中点．点 为线段 中点，则直接写出用含 的代数式表示的线段
的长．
【答案】（1）15； ；3；（2）不变化， =7.5；（3） ．
【分析】（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可；
（2）根据线段的中点定义，可得MN=MP+NP= （AP+BP）= AB；
（3）由题意根据线段的中点定义，线段和差定义计算即可.
【详解】解：（1）AB=9-（-6）=15，
t=1时，BQ=3，OQ=6，
设t秒后相遇，由题意（2+3）t=15，t=3，
故答案为：15，6，3.
（2）答：MN长度不变，理由如下：
∵M为AP中点，N为BP中点
∴MP= AP，NP= BP，
∴MN=MP+NP= （AP+BP）= AB=7.5．
（3）根据题意分别得到点M表示的数为t-6；点T表示的数为9-1.5t；
根据两点间距离的定义可得MT= 9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.
故答案为： .
【点睛】本题考查实数与数轴，线段中点定义，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本
知识．
12．（2022·河北·七年级期中）如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足
________， _________， _____________
若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则点 与数____________表示的点重合；
点 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别
以每秒 个单位长度和 个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，
①请问: 的值是否随着时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
②探究:若点 向右运动，点 向左运动，速度保持不变， 的值是否随着时间 的变化而改变？
若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）① 的值不随着时间 的变化而改变，值为14；②当
时， 的值随着时间 的变化而改变；当 时， 的值不随着时间 的
变化而改变，值为26．
【分析】(1)根据非负数的性质即可得到结论；
（2）先求出对称点，即可得出答案；
(3)①t秒后， ， ，代入 计算即可得到答案；
②先求出 ，再分当 时和当 时，讨论求解即可.
【详解】解: ∵ ，
∴a+3=0，c−5=0，
解得a=−3，c=5，
∵b是最大的负整数，
∴b=-1
故答案为：−3，-1，5．
(2)点A与点C的中点对应的数为： ，
点B到1的距离为2，所以与点B重合的数是：1+2=3．
故答案为：3．①t秒后， ，
，
．
故 的值不随着时间 的变化而改变；
② ．
，
．
当 时，原式 的值随着时间 的变化而改变；
当 时，原式 的值不随着时间 的变化而改变．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
13．（2021·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形 和 ，这两个长方形的宽都
是2个单位长度，长方形 的长 是4个单位长度，长方形 的长 是8个单位长度，点 在
数轴上表示的数是5，且 两点之间的距离为12．
（1）填空:点 在数轴上表示的数是_________ ，点 在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段 的中点为 ，线段EH上有一点 ， ， 以每秒4个单位的速度向右匀速运
动， 以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为 秒，求当 多少秒时， ．
（3）若长方形 以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形 固定不动，当两个长方形重叠
部分的面积为6时，求长方形 运动的时间．
【答案】（1）13， 11；（2）x＝2或x＝ ；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠
−
部分的面积为6．
【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可；
（2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在
点O同侧两种情况进一步分析讨论即可；
（3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】（1）∵长方形 的长 是8个单位长度，点 在数轴上表示的数是5，
∴点H表示的数为： ，
∵ 两点之间的距离为12，
∴点D表示的数为： ，
∵长方形 的长 是4个单位长度，
∴点A表示的数为： ，
故答案为： ；
（2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N
点表示的数为7﹣3x；
①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，
则有 ，
解得x＝2 ；
②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，
则有7﹣3x＝﹣9+4x
解得：x＝
综上，当x＝2或x＝ 时，OM=ON ；
（3）设长方形ABCD运动的时间y为秒，
①当重叠部分为长方形EFCD时，
DE= 7 2y 5= 2y 12
∴ 2(2−y +12) −= 6， −
解得：−y = 7.5；
②当重叠部分为长方形CDHG时，
HD=4- ( 7 2y-13)= 24 2y，
− + −∴ 2(24 2y) = 6，
解得：−y =10.5；
综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6.
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键.
14．（2022·四川师范大学附属中学七年级阶段练习）已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为−1，
5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值．
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最
小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由．
（3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒
的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的
速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【答案】（1） 1，5，2；（2）存在，最小值为6，x可以取的整数值有 1、0、1、2、3、4、5；（3）48
【分析】（1）−根据数轴上的两点距离公式和中点公式列式求解即可； −
（2）分类讨论点P分别在点A左侧、点A、点B之间、点B右侧时分别求出，进行比较即可求出最小值；
（3）设经过t分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多6，列出方程，求出t的值，即为点P
的运动时间，再乘以点P运动的速度，即可得点P所经过的总路程．
【详解】解：（1）∵点A、 B对应的数分别为−1，5，
∴ ，即点A、B的距离为6；
∵点P到点A、B的距离相等，则P为AB中点，
则有： ，所以 ；
（2）数轴上存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小，
当点P在点A左侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PA+AB=2PA+6，
当点P在点A、点B之间时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=AB=6，
当点P在点B右侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PB+AB=2PA+6，
所以当点P在点A、点B之间时（含点A、点B），点P到点A、B的距离之和最小，最小值为6，
点A、点B之间的整数值有−1、0、1、2、3、4、5，即为x可以取的整数值；
（3）设经过t分钟点A与点B重合，依题意得：
−1+3t=5+2t+6，解得：t=12，所以4t=4×12=48，
所以点P所经过的总路程是48个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离和中点、路程问题；题目较长，比较复杂，读题是一个难点，所以解
题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
15．（2022·湖北·武钢实验学校七年级阶段练习）已知 三点在数轴上所对应的数分别为 且
满足 ．动点 从点 出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点 从点 出
发，以1单位秒的速度向左运动，线段 为“变速区”，规则为: 从点 运动到点 期间速度变为原来的
一半，之后立刻恢复原速，从点 运动到点 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点 到
达点 时，两点都停止运动．设运动的时间为 秒．
(1) ______， ______， ______；
(2)①动点 从点 运动至点 时，求 的值；
② 两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
(3)若点 为线段 中点，当 ________秒时， ．
【答案】（1） ；（2）①19s；② ；（3）当 秒时， ．
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出
AC的长度；
（2）①分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案；②设P点在数
轴上所对应的数为y，根据题意列出方程 ，解方程即可得出答案；
（3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M
和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案.
【详解】解：（1） ；
（2）①∵
∴
∴动点 从点 运动至点 时， ；
②设 两点在 点相遇， 点在数轴上所对应的数为 ．易知点 落在线段 段，依题意有:
解得:
∴ 两点相遇时，求相遇点 在数轴上所对应的数为 ．
（3）若点 为线段 中点，则D在数轴上表示的数为5
设时间为t时，MD=ND
①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t
则MD=15-2t，ND=13-t
即15-2t=13-t，解得t=2；
②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t
则MD=10-t，ND=13-t
即10-t=13-t,无解；
③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8)
则MD=10-t，ND=5-2(t-8)
即10-t=5-2(t-8)，解得t=11；
④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t
则MD=t-10，ND=21-2t
即t-10=21-2t，解得t= ；
⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t
则MD=2t-25，ND=t-8
即2t-25=t-8，解得t=17；
综上所述，当 秒时， ．
【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键.
16．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B
之间的距离表示为AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位
长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若
不变，求其值．
（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个
单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系．
【答案】（1）3，5，8；（2）会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大于或等于1，且t小
于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC
【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度；
（2）求出BC和AB的值，然后求出2BC−AB的值，判断即可；
（3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系．
【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，
故答案为：3，5，8；
（2）2BC−AB的值会随着时间t的变化而改变．
设运动时间为t秒，
则2BC−AB
＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[1＋2t−（−2−t）]
＝12＋10t−2−4t−1−2t−2−t
＝3t+7，
故2BC−AB的值会随着时间t的变化而改变；
（3）由题意得，AB＝t＋3，
BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时），
AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时），
当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC；
当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB；
当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离．
17．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校七年级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣
10，B点对应的数为70．
（1）若数轴上有一点M，点M到点A的距离与点M到点B的距离相等，则M对应的数为 ；
（2）若数轴上有一点N，点N表示的数为x，则|x+5|+|x+1|+|x﹣3|的最小值为 ，此时x的值是
；（3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出
发，以2单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？
【答案】（1）30；（2）8，﹣1；（3）9或23秒
【分析】（1）设点M对应的数为x，由点M到点A和点B的距离都相等，即可得出关于x的一元一次方
程，解之即可得出结论；
（2）|x+5|+|x+1|+|x﹣3|可看作是数轴上表示x的点，到表示﹣5、﹣1、3的点的距离之和；
（3）两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，分相遇前与相遇后两种情况，根据题意列方程即可得
到答案．
【详解】（1）设点M对应的数为x，
依题意得：x﹣（﹣10）＝70﹣x，
解得：x＝30．
答：点M对应的数为30．
故答案为：30；
（2）∵|x+5|+|x+1|+|x﹣3|可看作是数轴上表示x的点，到表示﹣5、﹣1、3的点的距离之和，
∴当x＝﹣1时，|x+5|+|x+1|+|x﹣3|有最小值，此最小值是8．
故答案为：8，﹣1；
（3）设x秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，
相遇前：3x+2x+35＝70﹣（﹣10），
解得x＝9，
相遇后：3x+2x﹣35＝70﹣（﹣10），
解得x＝23，
则经过9或23秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值、数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离
的表示方法是解题的关键．
18．（2021·北京·北大附中七年级期末）定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得
点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．请解答下列问题：
（1）若点A表示的数为－3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为_______；
（2）若点A表示的数为－3，点A与点B的“平衡点”M表示的数为1，则点B表示的数为________；
（3）点A表示的数为－5，点C，D表示的数分别是－3，－1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．
①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是________；
②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴
方向移动．设移动的时间为t（ ）秒，求t的取值范围，使得点O可以为点A与点B的“平衡点”．
【答案】（1）－1；（2）5；（3）① ；② 且
【分析】（1）根据平衡点的定义进行解答即可；
（2）根据平衡点的定义进行解答即可；
（3）①先得出点B的范围，再得出m的取值范围即可；
②根据点A和点C移动的距离，求得点A、C表示的数，再由平衡点的定义得出答案即可．
【详解】解：（1）（1）点M表示的数= =−1；
故答案为：−1；
（2）点B表示的数=1×2−（−3）=5；
故答案为：5；
（3）①设点B表示的数为b，则 ，
∵点A表示的数为－5，点M可以为点A与点B的“平衡点”，
∴m的取值范围为： ，
故答案为： ；
②由题意得：点A表示的数为 ，点C表示的数为 ，
∵点O为点A与点B的平衡点，
∴点B表示的数为： ，
∵点B在线段CD上，
当点B与点C相遇时， ，
当点B与点D相遇时， ，
∴ ，且 ，
综上所述，当 且 时，点O可以为点A与点B的“平衡点”．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上点的表示方法，以及两点的中点表示方法是解题的关键．
