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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 33 曲线的轨迹方程问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系：
①曲线 上的点的坐标都是方程 的解；
②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点．
此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线．
二、求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
x、y
（4）用坐标 表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
三、求轨迹方程的方法
1.定义法
如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2.代入法（相关点法）
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲
线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，
即可得到动点 的轨迹方程。
3.交轨法在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点
（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选
变角、变斜率等为参数．
4.参数法
动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐
标，即 ，再消参.
5.点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 的坐标
代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ， ， ， 等关系式，由于
弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦
中点的轨迹方程.
二、题型精讲精练
【典例1】已知点P是椭圆 上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点
的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】因为 轴，垂足为M，且PM的中点为 ，
所以 ，又因为P是椭圆 上任意一点，
所以 ，即 .故答案为： .【典例2】已知圆 ： ，动圆 与圆 外切，且与定直线 相切，设动点 的轨迹为
．求 的方程；
【解析】设 ，圆 的半径为 ，由题可知，点 在直线 右侧，
因为圆 与定直线 相切，所以 ．
又圆 与圆 外切，所以 ，
所以 ，化简得 ，即 的方程为 ．
【典例3】（单选题）设 分别是直线 和 上的动点，且满足 ，则 的中点 的
轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ， ，
因为 为 的中点，则 ，故 ， ，又因为
，所以 ，即 ，所以点M的轨迹方程为
．
故选: A.
【典例4】已知 、 为椭圆C： 的左右顶点，直线 与C交于 两点，直线 和直
线 交于点 .求点 的轨迹方程.【解析】由题意得 ， ，
设 ， ， ，则 ， ，
即 ， ，得 ，
又∵点 在C上，即 ，得 ，∴ ；
【典例5】已知椭圆 的弦 所在直线过点 ，求弦 中点 的轨迹方程.
【解析】设 ，弦 的中点 ，则 ，
将 代入椭圆方程得 ，
两式相减得 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，则 ，
整理得 ；
当 时，则直线 方程为 ，代入椭圆方程解得
所以 满足上述方程，故点 的轨迹方程 .
【题型训练-刷模拟】
一、单选题1．平面直角坐标系中点 满足 ，则点 的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在
2．一动圆 过定点 ，且与已知圆 ： 相切，则动圆圆心 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 =2，则点C的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线
4．已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，
，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 ，直线l过点 .线段 的端点B在圆 上运动，则线段 的中点M的轨
迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆E上一动点，G点是三角形 的重心，
则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．将 上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得到曲线 ，若直线 与曲线 交于 两点，且 中点坐标为 ，那么直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 是圆 上的一动点，点 ，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，则
点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若 ，则
动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
10．已知 是椭圆 的长轴上的两个顶点，点 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点
与点 关于 轴对称，则直线 与直线 的交点 所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
11．已知点P是圆 上的动点，作 轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线 的两个焦点分别为 ，离心率等于 ，设双曲线的两条渐近线分别为直线
；若点 分别在 上，且满足 ，则线段 的中点 的轨迹 的方程为
A． B．C． D．
13．已知 ， ， ，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方
程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
14．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式 ，那么点M的轨
迹是 ．
15．平面上一动点C的坐标为 ，则点C的轨迹E的方程为 ．
16．曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于 ，则C的方程为
．
17．已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ，且与 轴， 轴分别相交于 两个动点，则
点 的轨迹方程为 .
18．已知点 分别在 轴、 轴上运动， ，点 在线段 上，且 .则点 的轨迹 方
程是 ；
19．已知点A ，B ，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是 ，则动点P的
轨迹C的方程为 .
20．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点
的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系 中， ，点 满足，则点 的轨迹方程为 .
21．已知圆M与圆C ： 和圆C ： 一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为
1 2
.
22．已知点 是曲线 上任意一点， ，连接 并延长至 ，使得 ，求动点Q的轨
迹方程 ．
23．在椭圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂足为 ，点 在 的延长线上，满
足 ，当点 在椭圆上运动时，点 的轨迹方程为 .
24．已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足 ，则点M的轨迹方程为
．
25．设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点， ， ，过点M作 轴于点 ，
过点N作 轴于点 ，M与 不重合，N与 不重合，设 ，则点T的轨迹方程是
.
26．自 引圆 的割线ABC，则弦 中点P的轨迹方程 .
27．已知 ， ，当 时，线段 的中点轨迹方程为 ．
28．已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭圆长轴的两个端点，则直线
和 的交点 的轨迹方程为 ．
29．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，直线 与抛物线 交于 两
点，过点 作抛物线 的切线 ，若 交于点 ，则点 的轨迹方程为 .30．直线 在 轴上的截距为 且交抛物线 于 、 两点，点 为抛物线的顶点，过
点 、 分别作抛物线对称轴的平行线与直线 交于 、 两点．分别过点 、 作抛物线的切线，
则两条切线的交点的轨迹方程为 ．
三、解答题
31．已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为 ，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相
同，且 ，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
32．在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ， ，点 为坐标系内一点，若直线
与直线 的斜率的乘积为 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)说明点 的轨迹是何种几何图形．
33．已知椭圆 ，点A，B分别是它的左､右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q
两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线 与直线 的交
点M的轨迹方程.
34．已知 的斜边为AB，且 .求:
(1) 外接圆的一般方程;
(2)直角边 的中点 的轨迹方程．
35．已知直线 ，圆 .
(1)证明:直线 与圆 相交；
(2)设 与 的两个交点分别为A、 ，弦 的中点为 ，求点 的轨迹方程.36．已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆上且 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 分别在椭圆 和直线 上， ， 为 的中点，若 为直线 与直线 的交点．
是否存在一个确定的曲线，使得 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明
理由．
37．已知过点 的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原点．
(1)证明： ；
(2)设 为抛物线的焦点，直线 与直线 交于点 ，直线 交抛物线与 两点（ 在 轴的
同侧），求直线 与直线 交点的轨迹方程．
38．已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上除右顶点之外的一点．
若该双曲线与椭圆 有共同的焦点且过点 ，求 内切圆圆心的轨迹方程．
39．已知点 是圆 上的定点，点 是圆内一点， 、 为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 的轨迹方程．
(2)若 ，求线段 中点 的轨迹方程．
40．已知椭圆 的上､下顶点分别为 ，点 是椭圆 上异于 的动点，记 分别为直
线 的斜率.点 满足 .
(1)证明： 是定值，并求出该定值；(2)求动点 的轨迹方程.
41．已知抛物线 的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心， 为半径的圆的最小面积
为 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线 ， ，两切线交于点P，求点P的轨
迹方程．
42．已知椭圆C： 的离心率为 ，且经过 ，经过定点 斜率不为0的
直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
43．已知椭圆C： 的长轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P为椭圆C外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
44．已知拋物线 ，过其焦点 作两条相互垂直且不平行于 轴的直线，分别交抛物线 于点
和点 的中点分别为 .(1)若直线 的斜率为2，求直线 的方程；
(2)求线段 的中点 的轨迹方程.
45．已知 分别为双曲线 的左、右顶点，点 是直线 上的动点，延长 分别与
交于点 ．
(1)若点 的纵坐标为 ，求 的坐标；
(2)若 在直线 上且满足 ，求 的轨迹方程．
