2025年高考一轮复习第一次月考卷02-2025年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合不等式函数）（解析版）_02高考数学_2025年新高考资料_一轮复习

2025年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合+不等式+函数） （满分150分，考试用时120分钟） 一､选择题 1．已知全集 ，集合 ， ，那么集合 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合 ，根据交集的定义即可. 【解析】由题意可知， ， ， 所以 . 故选：B. 2．已知函数 为奇函数，则实数 的值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义可得 ，计算可求 的值. 【解析】 ， 得 ，所以 . 故选：B. 3．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由函数 在 上是单调递增函数，则 ，可得答案 【解析】由函数 在 上是单调递增函数，则 ， 所以“ ”是“ ”的的充要条件， 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题， 4．若 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将 和 两边放，然后两边同时除以 ，凑出 ，再用基本不等式即可. 【解析】因为 ， ，两边同时除以 ，得到 ， 当且仅当 即 取“=”. 则 ，当且仅当 取“=”. 两边取自然对数，则 ，当且仅当 取“=”. 故 的最小值为 . 故选：D. 5．5G技术的数学原理之一是著名的香农公式： 它表示：在受高斯白噪声干拢的信道 中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W﹒信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N 的大小．其中 叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比卡 从1999提升至 ， 使得C大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg2≈0.3，103.96≈9120) A．9121 B．9119 C．9919 D．10999 【答案】B 【分析】根据题意先建立数学模型，然后利用对数求值进行计算. 【解析】解：由题意得： ， 又 故 故选：B 6．已知 且 ，函数 满足对任意实数 ，都有 成立，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 可得函数 在 上为增函数，所以 ，从而可求出 的取值范围 【解析】解：因为 对任意实数 ，都有 成立， 所以 在 上为增函数， 所以 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ， 故选：C 7．已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件有 ，令 则有 、 ，应用基本不等式求 范围且 恒成立，进而求 的范围，即可 得结果. 【解析】由 ，则 ，且 ， 所以 ， 令 ，则 ，且 ， 所以 ，即 ，仅当 时等号成立， 对于 恒成立，仅当 ，即 时等号成立， 综上，若 ，则 ， 而 ，则 ，只需 ， 所以 ，仅当 ，即 时等号成立，综上， ，仅当 ，即 时等号成立. 所以目标式最小值为 . 故选：C 8．已知定义在R上的奇函数 ，对于 都有 ，当 时， ，则函数 在 内所有的零点之和为（ ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，推出函数的周期，再结合 时， ，即可作出 函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可求得答案. 【解析】由题意定义在R上的奇函数 ，对于 ，都有 ， 图象关于直线 对称； 且 ，即 ， 故 ， 即函数 是以4为周期的周期函数， 当 ，则 ，则 ， 故 ， 当 ，则 ，因为 ， 则 ； 当 时，则 ， 由此可作出函数 在 内的图象，如图示： 由 可得 ， 由图象可知 的图象与 在 内仅有4个交点， 不妨设这4个交点的横坐标从左向右依次为 ， 由于 为图象对称轴，且函数周期为4，故 也为函数图象的对称轴， 故由图象可知 关于 对称， 关于 对称，故 ，则 ， 即函数 在 内所有的零点之和为12， 故选：B 【点睛】方法点睛：解决此类函数性质综合应用的题目，要能根据函数的性质，比如奇偶性、对称性，进 而推出函数的周期，进而结合给定区间上的解析式，作出函数大致图像，数形结合，解决问题. 二、多选题 9．已知 ， ， ，则下列结论中正确的有（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABD 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【解析】对于A：因为 ，所以 ，所以 ，故A正确； 对于B：因为 ，所以 ，两边同乘以 得 ，即 ，故B正确； 对于C：因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，两式相乘得 ，故C错误； 对于D： ，因为 ，所以 ， ，所以 ，即 ，故D正确； 故选：ABD. 10．已知关于x的一元二次不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ） A． 且 B． C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【分析】A选项，转化为 为一元二次方程 的两个根，且 ，由韦达定理得到答案；B选项，根据 为一元二次方程 的根，得到B正确；C选项，在A基础上不等式变形为 ，解出解集；D选项，不等式变形为 ，求出解集. 【解析】A选项，由题意得 为一元二次方程 的两个根，且 ， 故 ，即 ，A正确； B选项， 为一元二次方程 的根，故 ，B正确； C选项，由A选项可知， ，解得 ，C错误； D选项， ， 又 ，故 ，解得 或 ，D错误. 故选：AB 11．定义区间 的长度为 ，记函数 （其中 ）的定义域 的长度为 ，则下列说法正确的有（ ） A． B． 的最大值为 C． 在 上单调递增 D．给定常数 ，当 时， 的最小值为 【答案】ABD 【分析】求函数 的定义域，得 判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C，由单调性 求判断函数的最值判断BD选项． 【解析】由 ，得 ， ， ，A选项正确； 设 ，则 ， ， ， ， ， 在 上是增函数， 同理可证， 在 上是减函数， 所以 在 上是增函数，在 上是减函数，C选项错误； 为最大值，B选项正确； ， ， ， 在 上是增函数，在 上是减函数， 的最小值为 和 中较小者，． 的最小值为 ，D选项正确． 故选： ． 三、填空题 12．已知正实数 满足 ，则 的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可得 ，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解. 【解析】由题意知， ， ， 所以 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以 的最小值为 . 故答案为： 13．已知函数 的值域为 ，则函数 的定义域为 【答案】 【分析】首先求出函数 的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解 【解析】由 值域为 ， 得 ，所以 ， 解得 即 的定义域为 ， 由 得 ， 故 的定义域为 . 故答案为： 14．已知函数 在 上单调递减，且对任意的 ，总有 ， 则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据单调性求出 的范围，结合二次函数区间最值可得答案. 【解析】由于函数 图象的对称轴为直线 ，函数 在 上单调递减，所以 . 在区间 上，0距对称轴 最远，故要使对任意的 ，都有 ， 只要 即可，即 ， 解得 . 又 ，所以 . 故答案为： 四、解答题 15．计算： (1) (2) . (3)已知 ，求 的值. 【答案】(1) ； (2)0； (3) 【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值； （2） 利用对数式的运算规则化简求值； （3）由 ，两边同时平方，求出 ，由 ，求出 ，再由 求值即可. 【解析】（1） . （2） . （3） ，即 ， ， ， . .16．已知指数函数 的图象过点 ． (1)求 的值； (2)求关于 的不等式 的解集． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）由指数函数的概念列式求解， （2）由对数函数的单调性转化后求解． 【解析】（1）由题知指数函数 ，则 ，得 或 ，又 ， 图象经过 ，则 ，解得 ； （2） ，以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的， 满足条件 ， ∴ 不等式的解集为 ． ∴ 17．已知函数 . (1)若 ，求 在区间 上的最大值和最小值； (2)若 在 上恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得； （2）参变分离可得 在 上恒成立，利用基本不等式求出 的最小值，即可 求出参数的取值范围. 【解析】（1）若 ， ， ， 令 ，因为 ，所以 ，令 ， ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， ； （2）因为 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 又 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 ，即 的取值范围是 . 18．设函数 (1)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于 的不等式： ． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对 是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为 ，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【解析】（1） 对一切实数x恒成立，等价于 恒成立. 当 时，不等式可化为 ，不满足题意. 当 ，有 ，即 ，解得 所以 的取值范围是 ． （2）依题意， 等价于 ， 当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 . 当 时，不等式化为 ，此时 ，所以不等式的解集为 .当 时，不等式化为 ， ①当 时， ，不等式的解集为 ； ②当 时， ，不等式的解集为 ； ③当 时， ，不等式的解集为 ； 综上，当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 . 19．设有两个集合 ，如果对任意 ，存在唯一的 ，满足 ，那么称 是一个 的函数.设 是 的函数， 是 的函数，那么 是 的函数，称为 和 的 复合，记为 .如果两个 的函数 对任意 ，都有 ，则称 . (1)对 ，分别求一个 ，使得 对全体 恒成立； (2)设集合 和 的函数 以及 的函数 . （i）对 ，构造 的函数 以及 的函数 ，满足 ； （ii）对 ，构造 的函数 以及 的函数 ，满足 ，并且说明如果存在其它的集合 满足存在 的函数 以及 的函数 ，满足 ，则存在唯一的 的函数 满足 . 【答案】(1) ， (2)（i） ， ；（ii） ， ，说明见解析 【分析】（1）利用对数函数性质结合题干条件求解； （2）（i）利用常函数求解；（ii）结合（i）再证明唯一性即可. 【解析】（1）因为 ，而 ， 对全体 恒成立； 故 对所有 成立.（2）（i）考虑 以及 两个函数， 对任意 ，因为 ， 所以 . （ii）我们可以继续使用（i）的构造， 任意取 ，因为 ，所以 ， 所以 ，则 ， 因此存在 满足条件； 如果 符合题意，即 ， 则 ， 由 定义得到 ； 所以存在唯一的 的函数 满足题意. 【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.