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2025年高考一轮复习第二次月考卷01
（满分150分，考试用时120分钟）
测试范围：集合+不等式+函数+三角函数与解三角形+导数+复数
一、选择题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式求出两个集合，再求出 ，然后求 即可.
【解析】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
由 ，得 或 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
故选：B
2．若复数z满足 （i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解．
【解析】设 ，则 ，
则 ，即 ，所以 ， ，
解得 ， ，故 ，对应的点 在第四象限．
故选：D．3．设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【解析】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果；
【解析】∵
，
∴ ，
∴ ，故选：A．
5．设 ， ， .若 ， ，则 最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先利用指、对数的关系，用 表示 ，再利用基本不等式求最大值.
【解析】∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号.
∴ 的最大值为1.
故选：C.
6．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，
被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位
置的位移 和时间 的函数关系为 ，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连
续三次到达同一位置的时间分别为 ， ， ，且 ， ，则在一个周期内阻
尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）
A． B． C．1s D．【答案】C
【分析】先根据周期求出 ，再解不等式 ，得到 的范围即得解.
【解析】因为 ， ， ，所以 ，又 ，所以 ，
则 ，由 可得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，故 ，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.
故选：C.
7．已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若 满足： ，
，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意令 ，利用导数及题干所给条件求得 的单调性，利用函数的对称性，可
得 ，对其进行比较即可判断各选项.
【解析】令 ，则 ，
函数 满足 ，
当 时 在 上单调递增，
当 时 在 上单调递减，又由 ，
即函数 的图象关于 对称，从而 ，
对于A， ， ， ，A错误；
对于B， ， ， ，B错误；
对于C， ， ， ，C正确；
对于D， ， ， ，D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数 ，利用导数法研究函数的单调性，结合函
数的对称性即可.
8．函数 满足：当 时， ， 是奇函数．记关于 的方程
的根为 ，若 ，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】首先判断函数 关于点 对称，再画出函数 和 的图象，结合函数的对称
性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.
【解析】若函数 是奇函数，则 ，
即 ，则函数 关于点 对称，所以
而 也关于点 对称，恒过点 ，方程 根，即为函数 与 交点的横坐标，
因为两个函数都关于点 对称，所以交点也关于点 对称，且其中一个交点是 ，
如图画出两个函数的图象，
若 ，根据对称性可知， 轴左侧和右侧各有3个交点，如图，
当直线 过点 时， 轴右侧有2个交点，此时 ，
当直线 过点 时， 轴右侧有3个交点，此时 ，
所以满足条件的 的取值范围是 ，选项中满足条件的只有 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数 的图象，尤其是 ，并且会利用数形结
合，分析临界直线，即可求解.
二、多选题
9． ， 和 是方程 的两个根，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】AD
【分析】由题设 ，利用根与系数关系及判别式有 ， ，
，再结合和角正切公式、基本不等式判断各项正误.
【解析】由 ，则 ，
则 ， 且 ，则 ，
由 ，A对，B、C错；
由 ，则 ，
当且仅当 时取等号，故 ，D对.
故选：AD
10．已知 是同一平面内的四点，且 ，则（ ）
A．当点 在直线 的两侧时，
B．当点 在直线 的同侧时，
C．当点 在直线 的两侧时， 的最小值为3
D．当点 在直线 的同侧时，
【答案】ACD
【分析】依据 在直线 的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断
A、C；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B，结合平面向量基本定理，判断答案D.
【解析】设 ，由 ， ，
得
；由 ，得 ， ，
当点 在直线 的两侧时，如图①， ，
所以 ，即 ，故A正确；
因为 ，
所以当 时， 的最小值为3，故C正确；
当点 在直线 的同侧时，如图②，
，
所以 ，故B错误；
设 ，则 ，
即 解得 ，
所以 ，即 ，故D正确．
故选：ACD.
11．已知 有三个不相等的零点 且 ，则下列命题正确的是（ ）
A．存在实数 ，使得
B．
C．
D． 为定值
【答案】BCD
【分析】化简方程，令 ，得 ，构造 ，则 ，利用函
数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解 ，且 ，结合图象
可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，结合韦达定理，推出所求表
达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案．
【解析】由方程 ，可得 ．
令 ，则有 ，即 ，
令函数 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，作出图象如图所示，要使关于 的方程 有三个不相等的实数解 ，
且 ，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，
且 ， 或 ， ，
令 ，若 ， ，
则 ，故 ，
若 ， ，则 ，无解，
综上： ，故C正确；
由图结合单调性可知 ，故B正确；
若 ，则 ，又 ，故A不正确；
，
故D正确，
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数 ，利用导数得出函数 的单调性，结合图象将 ，转化成关于t的函数即可求解.
三、填空题
12．若函数 为偶函数，则 .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义得 ，代入化简即得 值.
【解析】因为 为偶函数，所以 ，即 ，
即 ，即 ，所以 ，
故答案为：
13．已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且 ，则 的最小值为
.
【答案】 /
【分析】由余弦定理可得 ，利用基本不等式可求最小值.
【解析】由题意可得 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以根据基本不等式 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.故答案为： .
14．已知函数 有四个零点a，b，c，d，且 ，且在区间 和
上各存在唯一一个整数，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】解法一：
根据 可以化为 ，令 ，易得 为偶函数，所以
只需考虑 时 有两个零点c，d，且在区间 存在唯一的整数，根据因为 ，
则 ，令 ，根据导数得到 单调性，根据在区间 存在唯一的整数，列出不
等书组即可；
解法二：
由 得到 ，令 ，得到 为奇函数，所以只需考虑 时
与 有两个交点 且在区间 存在唯一的整数，通过求导得到 单调性，根
据直线 过特殊点时 的值即可得到 范围.
【解析】(解法一)
，
令 ，则 ．
∴ 为偶函数，
∴只需考虑 时 有两个零点c，d，且在区间 存在唯一的整数．
时 ，令 ，则
当 时， ．
∴ 在 单调递增，
当 时， ，
∴ 在 单调递减，
∵在区间 存在唯一的整数，
∴ ，即 ，
∴m的取值范围为 ．
(解法二)
，
令 则 ，∴ 为奇函数，
∵ 也是奇函数，
∴只需考虑 时 与 有两个交点 且在区间 存在唯一的整
数．
当 时， ，∴ 在单调递增，
当 时， ，∴ 在 单调递减，当直线 过点(1，1)时 ，当直线 过点 时 ，∵ 与 有两
个交点，且在区间 存在唯一的整数，
∴ ，
∴m的取值范围为 ．
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
四、解答题
15．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 的面积 .
(1)求角B；
(2)若 的平分线交 于点D， ， ，求 的长.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由三角形面积公式可得 ，即可由余弦定理求解，
（2）利用等面积法即可求解.
【解析】（1）在 中， ，而 ，即 ， ，
由余弦定理得 ，所以 .
（2）在 中，由等面积法得 ，
即 ，
即
所以 .
16．已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）求出 ，切点为 ，直接写出切线方程；
（2）转化为 对于 恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ，
， ， ，所以 的图象在 处的切线方程为： .
（2） ，
若函数 在 上单调递增，则 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
令 ，
当 时， ，
则函数 在 上单调递增，所以 ，
故 .
17．已知向量 ， ， ，
图象上相邻的最高点与最低点之间的距离 .
(1)求 的值及 在 上的单调递增区间；
(2)设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，求 的值域.
【答案】(1) ，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简函数，设函数的最小正周期为 ，则，即可求出 ，从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由余弦定理得到 ，再由基本不等式求出 的范围，即可得到 的范围，最后根据正弦函
数的性质计算可得.
【解析】（1）依题意可得
，
由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为 ，设函数的最小正周期为 ，
则 ，解得 （负值已舍去），则 ，解得 .
.
令 ，
解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，
又 ，故 在 上的单调递增区间为 .（2）因为 ， ，
由余弦定理 ，
又 且 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，则 ，
则 ，所以 的值域为 .
18．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，
空气中释放的浓度 （单位：毫米/立方米）随着时间 （单位：小时）变化的关系如下：当 时，
；当 时， ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消
毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才
能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中
能够持续有效消毒，试求 的最小值（精确到0.1，参考数据： 取1.4）
【答案】(1)8小时
(2)1.6
【分析】（1）由 可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经 小时后，其浓度关于 的函数解析式，再根据基本不
等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
【解析】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，所以其浓度为
当 时， ，解得 ，此时 ，
当 时， ，解得 ，此时 ，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经 小时后，
其浓度 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以其最小值为 ，由 ，解得 ，
所以a的最小值为 ．
19．若函数 在区间 上有定义，且 ， ，则称 是 的一个“封闭区间”．
(1)已知函数 ，区间 且 的一个“封闭区间”，求 的取值集合；
(2)已知函数 ，设集合 ．
（i）求集合 中元素的个数；
（ii）用 表示区间 的长度，设 为集合 中的最大元素．证明：存在唯一长度为 的闭区
间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
【答案】(1)(2)（i）2；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数 求导并求出其值域解不等式可得 的取值
集合；
（2）（i）对 求导得出函数 的单调性，利用零点存在定理即可求得集
合 中元素的个数为2个；
（ii）根据区间长度的定义，对参数 进行分类讨论得出 的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.
【解析】（1）由题意， ， ，
恒成立，所以 在 上单调递增，
可得 的值域为 ，
因此只需 ，
即可得 ，即 ，
则 的取值集合为 ．
（2）（i）记函数 ，
则 ，
由 得 或 ；由 得 ；
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
其中 ，因此当 时， ，不存在零点；
由 在 单调递减，易知 ，而 ，由零点存在定理可知存在唯一的 使得 ；
当 时， ，不存在零点．
综上所述，函数 有0和 两个零点，即集合 中元素的个数为2．
（ii）由（i）得 ，假设长度为 的闭区间 是 的一个“封闭区间” ，
则对 ， ，
当 时，由（i）得 在 单调递增，
，即 ，不满足要求；
当 时，由（i）得 在 单调递增，
，
即 ，也不满足要求；
当 时，闭区间 ，而 显然在 单调递增，
，
由（i）可得 ， ，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为 的闭区间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应
的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.
