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专题 08 线段上动点问题的三种考法
类型一、求值问题
例.数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n ，点C在B的右侧， ．
(1)如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与
A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，线段 的长度是否发生变化，请
判断并说明理由；
(3)若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若 ，试求线段 的长．
【答案】(1) ， ；(2)不变化，理由见解析；(3)① ；②
【解析】(1)解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴ ，
故答案为： ，
(2)解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ， ，
∵点M是 的中点，N是 的中点∴ ， ，即
(3)解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧，∴AB=n-m
∵ ，∴AC= n-m+2
∵点D是 的中点，∴AD= AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴ ，
∴ ，
∵ ，即
当 时． ，
∵ ，∴ 不符合题意，舍去
当 时． ，
综上所述，线段 的长为 .
【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是
另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出
发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移
动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．【答案】是 7.5或
【解析】（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”
（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，
①Q为AP中点， ，∴t＝7.5；
②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，
∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2（3t﹣15），∴ ；
③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∴t＝9 7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或 ．
故答案为：（1）是；（2）7.5或 ．
【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s
的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．【答案】(1) ；(2) ；(3) 或
【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM= BM
故答案为： ．
(3)解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝ AB，
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝ AB，∴MN＝ AB，即 = ．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴ =1,即 = ．
综上所述 ＝ 或
【变式训练3】如图，数轴上有两点 ，点C从原点O出发，以每秒 的速度在线段 上运动，点
D从点B出发，以每秒 的速度在线段 上运动．在运动过程中满足 ，若点M为直线上一点，且 ，则 的值为_______．
【答案】1或
【解析】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述， 的值为1或 ．
类型二、证明定值问题
例.如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动（点 在点 的左侧，点 在点 的
左侧），若 ．
（1）求线段 ， 的长；
（2）若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长；
（3）当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点，下列两个结论：
① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
【答案】（1） ， ；（2）9；（3）②正确， ，见解析【解析】（1）由 ， ， ，
得 ， ，所以 ， ；
（2）当点 在点 的右侧时，如图，
因为点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，
当点 在点 的左侧时，如图，
因为点 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以 ，
，
所以
所以 ．
综上，线段 的长为9；
（3）②正确，且 ．理由如下：
因为点 与点 重合，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且
m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是
线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若
是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∴AM=CM= AC ，DN=BN= BD
∴MN=CM+CD+DN= AC +CD+ BD= AC + CD+ BD+ CD= (AC +CD+BD)+ CD= (AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有： ，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点，∴CE= BE= BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC 5 DE的值为定值，且定值为0．
【变式训练2】如图，数轴上点 ， 表示的有理数分别为 ，3，点 是射线 上的一个动点（不与点
， 重合）， 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点．
（1）若点 表示的有理数是0，那么 的长为________；若点 表示的有理数是6，那么 的长为
________；
（2）点 在射线 上运动（不与点 ， 重合）的过程中， 的长是否发生改变？若不改变，请写出
求 的长的过程；若改变，请说明理由．
【答案】（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析
【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP= AP=4，NP= BP=2，∴MN=MP+NP=6；
若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP= AP=8，NP= BP=2，∴MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．
（2）MN的长不会发生改变，理由如下：
设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．
当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP= AP= （a+6），NP= BP= （3-a），∴MN=MP+NP=6；
当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP= AP= （a+6），NP= BP= （a-3），∴MN=MP-NP=6．
综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．
【变式训练3】(1)如图1，在直线 上，点 在 、 两点之间，点 为线段PB的中点，点 为线段
的中点，若 ，且使关于 的方程 无解.
①求线段 的长；
②线段 的长与点 在线段 上的位置有关吗？请说明理由；
(2)如图2，点 为线段 的中点，点 在线段 的延长线上，试说明 的值不变.
【答案】（1）①AB=4；②线段 的长与点 在线段 上的位置无关，理由见解析；（2）见解析.
【详解】解：（1）①∵关于 的方程 无解．∴ =0，解得：n=4．故AB=4．
②线段 的长与点 在线段 上的位置无关，理由如下：∵M为线段PB的中点，∴PM= PB．
同理：PN= AP．．
∴MN=PN+PM= （PB+AP）= AB= ×4=2．
∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关．
（2）设AB=a，BP=b，则PA+PB=a+b+b=a+2b．
∵C是AB的中点，
， ，
所以 的值不变.
类型三、数量关系
例.数轴上 两点对应的数分别是 ，线段 在数轴上运动，点 在点 的左边，且 点
是 的中点．
（1）如图1，当线段 运动到点 均在 之间时，若 ，则 _________，点 对应的数
为________， ________；
（2）如图2，当线段 运动到点 在 之间时，画出草图并求 与 的数量关系．
【答案】（1） ；2；2；（2） ，画图见解析．【解析】（1） 数轴上 两点对应的数分别是 ，
点 是 的中点， ，
， ， 对应的数是2，
故答案为： ；2；2；
（2） ， 点 是 的中点，
，
故答案为：（1） ；2；2；（2） ，画图见解析．
【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝ AB．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出 ＝ _______；
（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运
动．
①当点D在线段AB上运动，求 的值；
②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的
三等分点时，求MN的长．
【答案】（1） ，（2）3，（3）12cm或24cm．
【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB＝ AB，∴CA＝ ， ，故答案为： ；
（2）①AB ＝ 9cm，由（1）得， （cm），设运动的时间为t秒，
cm， cm， ，
②当 时，∵AB ＝ 9cm， cm，∴ cm，
∴ cm， cm，
运动时间为：18÷3=6（秒），则 cm，
cm， cm，
∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴ cm， cm，
cm，
当 时，∵AB ＝ 9cm， cm，∴ cm，∴ cm，
运动时间为：36÷3=12（秒），则 cm， cm， cm，
∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴ cm， cm，
cm，
综上，MN的长是12cm或24cm．
【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式 ，则 ＝ ．
【答案】（1）①AD＝7；②AD＝ 或 ；（2） 或
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，∴CE＝3，
∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴CE＝ DE＝ 或CE＝ DE＝ ，
∴CD＝ 或CD＝ ，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣ ＝ 或12- = ；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，
设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵ ，∴ ，∴y＝ x，
∴CD＝1.5x﹣ x＝ x，∴ ；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵ ，BE＝EC+BC＝x+y，∴ ，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴ ，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
课后作业
1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负
整数左侧1个单位长度，BC=2AB．
（1）填空：a= ，b= ，c=
（2）点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4
个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问：
①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？
②F在追上E点前，是否存在常数k，使得 的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请
求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t= ；②k=-1
【解析】（1）∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a在最大的负整数左侧1个单位长度
∴点A表示的数a为-1-1=-2，点B表示的数b为1，
∴AB=1-（-2）=3
∵ ，∴点C表示的数为c=1+6=7，
故答案为：-2，1，7；
（2）①依题意，点F的运动距离为4t，点D、E运动的距离为t,
∴点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t， 7-4t,当点F追上点D时，必将超过点B，
∴存在两种情况，即DE=EF和DF=EF，如图，当DE=EF，即E为DF的中点时，
，解得，t=1，如图，当EF=DF，即F为DE中点时，
，解得t= ，
综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝ 时，满足题意．
②存在，理由：点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t,
如图，F在追上E点前， ， ，
，
当 与t无关时，需满足3+3k=0，
即k=-1时，满足条件．
故答案为：（1）-2，1，7；（2）①t=1或t= ；②k=-1
2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．若 ， ，
线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；
(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．
【答案】(1)7；(2)3或5
【解析】(1) ， ， ， ，如图1，
为 中点， ，
，∴ ，∴ ，
(2)Ⅰ、当点 在点 的左侧，如图2，
或
∵ ， ， 点 是 的中点，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点 在点 的右侧，
或
， ，∴ ，
∴ ，
．
∵ ，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述： 的长为3或5．
3.已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．
(1)若 ， ，求线段CD的长．
(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．【答案】(1) 或5
(2) ，理由见解析
【解析】(1)解：如图1，当C在点A右侧时，
∵ ， ，∴ ，
∵D是线段BC的中点，：∴ ；
如图2，当C在点A左侧时，
∵ ， ，∴ ，
∵D是线段BC的中点，∴ ；综上所述， 或5；
(2)解： ．
理由是：如图3，当C在点A和点B之间时，
∵E是AC的中点，D是BC的中点，∴ ， ，
∴ ；
如图4，当C在点A左侧时，
同理可得： ；
如图5，当C在点B右侧时，
同理可得： ．4.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线
BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 或
【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM= BM，故答案为： ．
(3)解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM，∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝ AB，
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝ AB，∴MN＝ AB，即 = ．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，，∴ =1,即 = ．综上所述 ＝ 或
5．如图，在数轴上 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 是最大的负整数，且 ，
满足 ．点 从点 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点 后立刻返回到点
，到达点 后再返回到点 并停止．
（1） ________， ________， ________．
（2）点 从点 离开后，在点 第二次到达点 的过程中，经过 秒钟， ，求 的值．
（3）点 从点 出发的同时，数轴上的动点 ， 分别从点 和点 同时出发，相向而行，速度分别为
每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设 秒钟时， 、 、 三点中恰好有一个点是另外两个点的
中点，请直接写出所有满足条件的 的值．
【答案】（1） ， ， ；（2） 或 或 或 ；（3） ，1， ，8，12
【详解】解：（1）∵ 是最大的负整数，且 ， 满足 ，
∴b=-1，a+3=0，c-9=0，
∴a=-3，c=9．
故答案为：-3；-1；9．
（2）由题意知，此过程中，当点P在AB上时．
∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2．
∴ ．
又∵BC=c-b=9-(-1)=10．
∴PB=PC-BC=11-10=1．
当 从 到 时，如图所示：
∵PB=1，可以列方程为：3x=1，
解得：x=1；当 从 到 时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示：
可以列方程为：3x=3,
解得：x=1，
②当P在线段BC之间时，如图所示：
∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，
∵PB+PC=10
∴PA=13-10=3，
∴PB=PA-AB=3-2=1，
可列方程为：3x=5，
解得： ．
当 从 到 时，如图所示：
可列方程为：3x=23，解得： ．
综上所述， 或 或 或 ．
（3）当点从为PN中点时，
当0 ．
（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t= ．当点N为PM中点时，t> ．
（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t= ．综上所述，t的值为1， 或 ．
6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.
（1）发现：
如图1，线段 ，点 在线段 上，当点 是线段 和线段 的中点时，线段 的长为
_________；若点 在线段 的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到
的线段 与线段 之间的数量关系为_________.
（2）应用：
如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳 ，其左右两端各有一段（ 和 ）磨损了，磨损后的麻绳
不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳 和一把剪刀（剪刀只用于
剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳 . 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应
用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳 ，请你尝试着“复原”他们的做法：
①在图中标出点 、点 的位置，并简述画图方法；
②请说明①题中所标示 点的理由.
【答案】（1）6；补图见解析， （2）①见解析（答案不唯一）②见解析.
【详解】解：（1）点 在线段 上时，
因为点E是线段AC的中点，所以CE= AC，因为点F是线段BC的中点，所以CF= BC，
所以EF=CE+CF= AC+ BC= AB，
又AB=12，所以EF=6．
当点 在线段 的延长线上时，如图2，
此时，EF=EC-FC═ AC- BC= AB.
答案为：6；EF= AB.
（2）①
图3
如图，在 上取一点 ，使 ， 为 的中点，点 与点 重合. （答案不唯一）
②因为 为 的中点，所以 .
因为 ，
所以 .
因为 米，所以 米.
因为 米， 米，
所以 米.
因为点 与点 重合， 米，
所以 米，所以点 落在线段 上.
所以 满足条件.
7．问题背景
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、
有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数
为 （直接写出答案）．
(2)当x＝1时，代数式a +bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a +bx+2021的值．
(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀
速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求 的值；
②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、
Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时 的值．
【答案】(1)90°；(2)2022；(3)① ；② 或
【解析】(1)解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC = ∠AOC，∠COE= ∠BOC，
∵∠DOE=∠DOC+∠COE ，
∴∠DOE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE= ×180°=90°，
故答案为：90°．
(2)∵当x＝1时，代数式a +bx+2021的值为2020，
∴a +b+2021=2020，∴a+b=-1，∴-a-b=1，
当x＝﹣1时，a +bx+2021= -a-b+2021=1+2021=2022．
(3)①如图2，
设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，
∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，
∵CE＝3CD，
∴BC+3x= 3CA+3x，
∴CB=3AC，
∴AB=CB+AC=4AC，
∴ = ．
②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x，
当点E在C点的右侧时，如图3，∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE= ，QE= ，
∴PQ=PE-QE= - = ，
∵CE＝4PQ，∴3m-3x=4× ，解得x= ，
故AD= ，∴ = ．
当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4，
∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE= ，QE= ，
∴PQ=PE+QE= + = ，
∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4× ，解得x= ，故AD= ，∴ = ．
当点E在A点的左侧时，如图5，
∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE= ，QE= ，
∴PQ=PE+QE= + = ，∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4× ，解得x= ，
故AD= ，∴ = ．
综上所述， 的值为 或 ．
8．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的
速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4） 或1．
【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；
（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝ AB＝4，故答案为：4；
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，∴ ；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB＝12，∴ ；
综上所述 或1
故答案为 或1．
9．如图，数轴正半轴上的 ， 两点分别表示有理数 ， ， 为原点，若 ，线段 .
（1） ______， ______；
（2）若点 从点 出发，以每秒2个单位长度向 轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点 到点 的距
离是点 到点 距离的3倍；
（3）数轴上还有一点 表示的数为32，若点 和点 同时从点 和点 出发，分别以每秒2个单位长度和
每秒1个单位长度的速度向 点运动， 点到达 点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点 ，求点
和点 运动多少秒时， 、 两点之间的距离为4.
【答案】（1） ， ；（2）9或 ；（3）8或
【详解】解：（1）∵数轴正半轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，|a|=3，线段OB=5OA，
∴a=3，b=15，
故答案为：3，15；
（2）设运动时间为t秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍．
由题意得：AB=15-3=12，
当点P在A、B之间时，有2t=3（12-2t），解得：t= ；
当点P在B的右边时，有
2t=3（2t-12），解得t=9；
即运动时间为 或9秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；
（3）根据题意，由点C为32，则
AC=32 3=29，BC=32 15=17，
∴点P运动到点C所需要的时间为： 秒，
点Q运动到点C所需要的时间为： 秒，
则可分为两种情况进行分析：
①当点P还没有追上点Q时，有：
，
解得： ；
②当点P运动到点C返回时，与点Q相遇后，与点Q相距4，则有：
，
解得： .
10．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，
请说明理由．
(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每
分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.（直
接写出答案）
【答案】（1） ；（2）x= 或 ；（3） 分钟或t=2分钟时点P到点M，点N的距离相等．
【详解】解：（1）∵M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，
∴x的值是 ．故答案为 ；
（2）存在符合题意的点P；
∵点M为-3，点N为1，则点P分为两种情况，①点P在N点右侧，则
，解得： ；
②点P在M点左侧，则
，解得： ；
∴ .
（3）设运动t分钟时，点P对应的数是-3t，点M对应的数是-3-t，点N对应的数是1-4t．
①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，
所以：-3-t=1-4t，
解得t＝ ，符合题意．
②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．
情况1：如果点M在点N左侧，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．
因为PM=PN，所以3-2t=1-t，
解得t=2．
此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，不符合题意，
舍去．
情况2：如果点M在点N右侧，PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．
因为PM=PN，所以2t-3=t-1，
解得t=2．
此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，符合题意．
综上所述，三点同时出发， 分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．
11．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左
运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求 的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有 ，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；② 的值不变，
可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB上的 处；（2） ；（3）② 的值不变.
【详解】解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，∴点P在线段AB上的 处；
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ= AB，∴
（3）② 的值不变.
理由：如图，
当点C停止运动时，有CD= AB，
∴CM= AB，∴PM=CM-CP= AB-5，
∵PD= AB-10，∴PN= AB-10）= AB-5，
∴MN=PN-PM= AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以 .
