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专题4.17 线段几何压轴题（专项练习）
1．已知线段 ，小明在线段 上任意取了点 然后又分别取出 、 的中点
、 的线段 （如图1）；小红在线段 的延长线上任意取了点 ，然后又分别取
出 、 的中点 、 的线段 （如图2）
(1) 试判断线段 与线段 的大小，并说明理由．
(2) 若 ， ， ，求 的值．
2．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向
点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿
C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间
为t秒．
(1) 当t＝1时，PQ＝ cm；
(2) 当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3) 若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长
度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
3．如图，点B在线段AC上，且 ， ．动点P从点A出发，沿AC以每秒3个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CA以每秒2个单位长
度的速度向终点A匀速运动。设点P的运动时间为t（s）．
(1) 线段AB、BC的中点之间的距离为______，
(2) 当点P到点C时，求PQ的长．
(3) 求PQ的长（用含t的代数式表示）
(4) 设 时，直接写出t的值．
4．如图所示，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点MN分别是AC、BC的中点．
(1) 求线段MV的长．
(2) 若C为线段AB上任意一点，满足 ，其他条件不变，你能猜想出
MN的长度吗？并说明理由．
(3) 若C在线段AB的延长线上，且满足 ，从M分别为AC、BC的中点
你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
5．如图，已知线段 ，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点
N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为 和 的中点．设运动时间为t．
(1) 当M，N两点相遇时，求线段 的长；
(2) 当t为何值时，线段 的长为线段 的 ；
(3) 在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段 的长．
若不存在，请说明理由．
6．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，运
动时间为t秒（t＞0），M为AP的中点．
(1) 当点P在线段AB上运动时，当t为多少时，PB＝2AM？
(2) 当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点．
① 说明线段MN的长度不变，并求出其值；
② 在P点的运动过程中，是否存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以
其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出t的值；若没有，请说明理由．
7．已知点C在线段 上， ，点D、E在直线 上，点D在点E的左侧．
（1）若 ，线段 在线段 上移动．
①如图1，当E为 中点时，求 的长；②点F（异于A，B，C点）在线段 上， ，求 的长；
（2）若 ，线段 在直线 上移动，且满足关系式 ，求
的值．
8．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式 ，则 ＝
．
9．已知点 在直线 上，线段 厘米， 厘米，点 ， 分别是 ，
的中点．
（1）画出示意图，并求线段 的长度；
（2）如图，点 在线段 上时，动点 ， 分别从 ， 同时出发，点 以2cm/s的速度从点 向点 运动，点 以1cm/s的速度从点 向点 运动，当一个点到达终点时，
另一个点也随之停止运动．在整个运动过程中，当 ， ， 三点中有一点恰好是以另外
两点为端点的线段的中点时， 点运动了多少秒？（画出示意图，并直接写出答案）
10．（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的
长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若 ，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知 ，动点P从点A出发，以 速度沿AB向点B匀速移动，
点 从点B出发，以 的速度沿BA向点A匀速移动，点P、 同时出发，当其中一点
到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、 三点中其中一
点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
11．如图，线段AB＝20厘米，点C以每秒钟2厘米的速度从点A匀速运动到点B，当
点C与点B重合时运动停止．点M为线段AC中点，点N为线段BC中点．设运动时间为t（t≠0）秒．
（1）当点C与点B重合时，t＝ 秒；
（2）在运动过程中，MN的长度是否与t的取值有关？若有关，请用含有t的代数式表
示线段MN的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由．
（3）在点C开始运动的同时，点P以每秒钟4厘米的速度从点B出发，在点B和点M
之间做往返运动，当点C停止运动时，点P也停止运动．
①当点P与点M重合时，求线段CN的长．
②在运动时间t从第4秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当PM＝3PC时的t值．
12．如图，线段 ， ，点 以 的速度从点 沿线段
向点 运动；同时点 以 从点 出发，在线段 上做来回往返运动（即沿
运动），当点 运动到点 时，点 、 都停止运动，设点 运动的
时间为 秒．
(1)当 时， ______ ；
(2)当 为何值时，点 为线段 的中点？
(3)若点 是线段 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使 的长
度保持不变？如果存在，求出 的长度；如果不存在，请说明理由．13．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的
速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当 时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求 的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如
不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．
14．【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的
长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．(1) 线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ c
m；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向
点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出
发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、
P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
15．线段AB和CD在同一直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，已知
AB=6cm，CD=8cm．
(1) 当A，C两点重合时，如图1，求MN的长；
(2) 当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB，CD的公共部分BC=2cm，求MN
的长；
(3) 在(2)的情况下，MN与AB，CD，BC有怎样的数量关系？(直接写出结果)
16．已知点C在直线AB上，线段 厘米， 厘米，点M，N分别是AC，
BC的中点．
(1) 画出示意图，并求线段MN的长度；
(2) 如图，点C在线段AB上时，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以1cm/s的速度从点B向点A运动，当一个点到达终点时，另
一个点也随之停止运动，在整个运动过程中，当C，P，Q三点有一点恰好是以另外两点为
端点的线段的中点时，P点运动了多少秒？（画出示意图，并写出求解过程）
17．如图，点M在线段AB上，线段BM与AM的长度之比为5∶4，点N为线段AM的
中点．
(1) 若AB＝27cm，求BN的长．
(2) 在线段AB上作出一点E，满足MB＝3EB，若ME＝t，求AB的长（用含t的代数
式表示）．
18．如图所示，M是线段AB上一定点， ，C，D两点分别从点M，B出发
以 ， 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，
点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了 时，求 的值．
（2）若点C，D运时，总有 ，则 _______．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且 ，求 的值．
19．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同
时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段
AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填
空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求 的值
20．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝ AB．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出 ＝ _______；（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速
度沿直线AB向左运动．
①当点D在线段AB上运动，求 的值；
②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点
C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．
21．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以
1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线
段BM上）
(1) 若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2) 若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3) 在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
22．如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知 ，点M、N分别
从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知
点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．(1) 用含t的代数式表示线段 的长度为________；
(2) 当t为何值时，M、N两点重合?
(3) 若点Р为 中点，点Q为 中点．问：是否存在时间t，使 长度为5?若存
在，请说明理由．
23．如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、
BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”．
(1) 一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”）
(2) 深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒．
① 如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，
点P是线段AB的“倍分点”？
② 如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从
B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的
“倍分点”时t的值．
24．如图，点 在线段 上， cm， cm．点 以1cm/s的速度从点
沿线段 向点 运动；同时点 以2cm/s的速度从点 出发，在线段 上做往返运动
（即沿 运动），当点 运动到点 时，点 、 都停止运动．设点
运动的时间为 （s）．(1) 当 时，求 的长．
(2) 当点 为线段 的中点时，求 的值．
(3) 若点 是线段 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使 的长
度保持不变？如果存在，求出 的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理
由．
25．如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足
，点M，N分别为AB，CD中点．
(1) 求线段AB，CD的长；
(2) 线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．
若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
(3) 若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段
AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t
在哪一个时间段内．
参考答案
1．(1) ，见分析(2)
【分析】(1)如图1，根据MN=CM+CN= ；根据EF=ED-FD=
，比较判断即可．(2)根据EF= ，建立方程求解即可．
解：(1)如图1，得MN=CM+CN= ，
∵AC+BC=AB=a，
∴MN= ；
如图2，得EF=ED-FD= ，
∵AD-BD=AB=a，
∴EF= ；
∴MN=EF．
(2)∵EF= ， ， ， ，
∴x= ，
解得x=2．
【点拨】本题考查了线段的中点即线段一点，把这条线断分成相等的两条线段，线段
的和，线段的差，熟练掌握定义，灵活运用线段的和，线段的差计算是解题的关键．
2．(1)2.5(2)t为2或 时，点C为线段PQ的中点(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，
理由见分析
【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由 即
可求出PQ的长；
（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类
讨论①当Q由C往B第一次运动时，即 时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即
时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即 时，同理求
出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即 时，分别用t表
示出CP和CM的长度，再根据 ，求出 即可；②当Q由B往C点第一次
返回时，即 时，同理求出 即可；③当Q由C往B第二次运动时，即 时，
同理求出 即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．
(1)解：当 时，
∵
∴ ，
∴ ．
故答案为：2.5．
(2)∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
∴ ．
∵
∴ ．
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∵点C为线段PQ的中点，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
解得： ，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即 时，此时 ， ，
∴ ，
解得： ；
综上可知，t为2或 时，点C为线段PQ的中点；
(3)根据（2）可知 ．
∵点M是线段CQ的中点，
∴ ．
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，
此时 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q由C往B第二次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
【点拨】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用
数形结合的思想是解答本题的关键．
3．(1) (2)10(3)当 时，PQ＝15-5t；当 时，PQ＝ 5t-15；当时，PQ＝ 2t；(4) ，
【分析】（1）设点AB的中点为M，BC的中点为N，分别求出BM和BN的长，再求
和即可；
（2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程=时间×速度可求出；
（3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当0≤t≤3时，当3＜t≤5时，当 时，
分别求出PQ的长即可；
（4）根据（3）中求出PQ的长，分别等于 AC，求出t的值即可．
解：(1)设点AB的中点为M，BC的中点为N，
∵AB=9，BC=6，
∴BM=4.5，BN=3，
∴MN=BM+BN= ．
故答案为： ；
(2)当P到点C时，t=15÷3=5，
∴PQ=2×5=10．
(3)当P到点C时，t＝15÷3＝5．
∴PQ＝2×5＝10．
当点P、Q相遇时，t＝15÷（3＋2）＝3．
当 时，PQ＝15-5t．
当 时，PQ＝ 5t-15．
当 时，PQ＝ 2t．
(4)当0≤t≤3时，PQ=15-5t= ×15，解得t= ；
当3＜t≤5时，PQ=5t-15= ×15，解得t＝ ．
当5 t≤ 时，PQ=2t= ×15，t=3.75（舍）．
<
∴ 或 ．【点拨】本题在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次
方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点．
4．(1) (2) ，理由见分析(3)画图见分析， ，理由见分析
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，
再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度；
（2）与（1）同理，先用AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于AC与BC长
度和的一半；
（3）根据中点定义可得：AM=MC= AC，CN=BN= CB，再根据线段之间的和差
关系进行转化即可．
解：(1)∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC＝ ×8cm＝4cm，NC ＝BC＝ ×6cm＝3cm，
∴MN＝MC+NC＝4cm+3cm＝7cm；
(2)MN＝ acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC，NC＝ BC，
∴MN＝MC+NC＝ AC+ BC＝ AB＝ acm
(3)解：如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC，NC＝ BC，
∴MN＝MC﹣NC＝ AC﹣ BC＝ （AC﹣BC）＝ bcm．
【点拨】本题考查了线段的中点线段的加减，熟练掌握线段中点的定义，弄清线段之
间的和差倍分关系是解决这类题的关键．
5．(1)EF的长为10(2)当t＝6时，当EF的长为线段AB的 (3)存在，线段EF＝【分析】（1）由E，F分别为AM和BN的中点得EM＝ AM，FN＝ BN，可证明当
点M与点N相遇时，则EF＝ AB，因为AB＝20，所以EF＝10；
（2）因为点N的速度比点M的速度快，所以点N先到达终点，求出t的取值范围是
0≤t≤ ，再根据EF＝ AB＝ ×20＝5列方程求出t的值并进行检验，得出问题的正确答
案；
（3）由EF＝20−（t＋ t）＝20− t可知，EF的长随t的增大而减小，可见当t取得
最大值时，则EF取得最小值，将t＝ 代入EF＝20− t求出EF的值即可．
(1)解：∵E，F分别为AM和BN的中点，
∴EM＝ AM，FN＝ BN，
当M、N两点相遇时，则AM＋BN＝AB＝20，EF＝EM＋EN，
∴EF＝EM＋FN＝ （AM＋BN）＝ ×20＝10，
∴EF的长为10．
(2)当点N到达点A时，则3t＝20，
解得t＝ ，
∴t的取值范围是0≤t≤ ，
∵AB＝20，
∴ AB＝ ×20＝5，
∵AM＝2t，BN＝3t，
∴AE＝ AM＝t，BF＝ BN＝ t，
∴EF＝20−（t＋ t）或EF＝t＋ t−20，
当EF的长为线段AB的 ，即EF＝5时，则20−（t＋ t）＝5或t＋ t−20＝5，解得t＝6或t＝10（不符合题意，舍去），
∴当t＝6时，当EF的长为线段AB的 ．
(3)存在，EF＝ ．
由（2）得 ，
∴EF随t的增大而减小，
∴当t＝ 时，EF的值最小，此时， ，
∴当线段EF最短时，则线段EF＝ ．
【点拨】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、线段上的动点问题的
求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键．
6．(1)6秒
(2)①见分析，12；②存在，t的值为36或18
【分析】（1）根据PB＝2AM建立关于t的方程，解方程即可；
（2）①当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧，根据线段中点的定义得出PM
＝ AP＝t，PN＝ BP＝ （2t−24）＝t−12．再根据MN＝PM−PN即可求解；
②易知N不能是BM的中点，分M是NB的中点，B是MN的中点两种情况讨论求解．
解：（1）∵M是线段AP的中点，∴AM＝ AP＝t，PB＝AB－AP＝24 2t，
∵PB＝2AM，∴24 2t＝2t，解得t＝6； ∴当t＝6秒时，PB＝2AM ；
（2）①当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧，
∵M是线段AP的中点，∴PM＝ AP＝t，
∵N是线段BP的中点， ∴PN＝ BP＝ （2t 24）＝t 12，
∴MN＝PM－PN＝t （t 12）＝12，∵MN的长度是一个常数，∴MN的长度不变，
其值为12；②由题意可知，N不可能是BM的中点．如果M是NB的中点，那么BM＝MN＝ BN，
∴t 24 ＝12，解得t＝36，符合题意；如果B是MN的中点，那么BM＝BN＝
MN，
∴24 t＝ ×12，解得t＝18，符合题意；
综上，在P点的运动过程中，存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其
余两点为端点的线段的中点，此时t为36或18．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t
表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨
论，避免漏解．
7．（1）① ；②AD的长为3或5；（2） 或
【分析】（1）①由题意易得 ， ， ，然后问题可求
解；
②由题意可分当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，然后根据线段的和差
关系进行求解即可；
（2）①当点E在点C的右侧时，设 ， ，则 ，则有
， ，然后可得 ；②当点
E在点C的左侧时，设 ， ，则 ， ，
，进而问题可求解．
解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
①∵点E为BC的中点，
∴ ，
∴AE=15，∴ ；
②由题意可得：
当点E在点F的左侧时，如图所示：
∵ ， ，
∴点F是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当点E在点F的右侧时，如图所示：
∵AC=12， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上所述：AD的长为3或5；
（2）∵ ， ，且满足关系式 ，
∴①当点E在点C的右侧时，如图所示：
设 ， ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴
解得： ，
∴ ；
②当点E在点C的左侧时，如图所示：
设 ， ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得： ，
∴ ；
综上所述： 或 ．
【点拨】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差
关系是解题的关键．
8．（1）①AD＝7；②AD＝ 或 ；（2） 或【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝
3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等
分点时，可求得CE＝ DE＝ 或CE＝ DE＝ ，则CD＝ 或 ，由线段的和差即可得
到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝
y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝ x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝
1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴CE＝ DE＝ 或CE＝ DE＝ ，
∴CD＝ 或CD＝ ，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣ ＝ 或12- = ；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵ ，
∴ ，
∴y＝ x，
∴CD＝1.5x﹣ x＝ x，
∴ ；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵ ，BE＝EC+BC＝x+y，
∴ ，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴ ，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图
分类讨论DE的位置是解题的关键．
9．（1）见分析，8厘米或2厘米；（2）见分析，4秒或 秒或 秒
【分析】（1）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；
（2）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四
种情况进行讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤ 时，P为线段CQ的
中点；③当 ＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据
线段中点的定义，可得方程，进而求解．
解： （1）∵线段 厘米， 厘米
点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ 厘米， 厘米，
①如图1，当点 在线段 上时
厘米
②如图2，当点 在线段 的延长线上时
厘米
（2）①当0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当5＜t≤ 时，P为线段CQ的中点，得2t-10=16-3t，解得t= ；
③当 ＜t≤6时，
Q为线段PC的中点，得6-t=3t-16，解得t= ；
④当6＜t≤8时，
C为线段PQ的中点，得2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或 或 ．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出
关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
10．（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时， 或4或
；当点Q为AP的“奇妙点”时， 或6或 ．
【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定
义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1： ，即N为CD的中
点；情况2： ，即N为靠近C点的三等分点；情况3： ，即N为靠近
D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度．
（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q
未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每
种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方
程，求出每种情况对应的时间．
解：（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．
故答案是：是；
（2） 是线段CD的“奇妙点”
根据定义，此题共分为三种情况．
当 ，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
当 ，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
当 ，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．
t秒后， ， ．
当P点是“奇妙点”时， ．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当 时，有 解得
当 时，有 解得
当 时，有 解得
当Q点是“奇妙点”时， ．
当 时，有 解得
当 时，有 解得当 时，有 解得
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时， 或4或 ；
当点Q为AP的“奇妙点”时， 或6或 ．
【点拨】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，
本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确
地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．
11．（1）10；（2）与t的取值无关，理由见分析；（3）①6厘米；② 秒或8秒
【分析】（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，根据时间=路程÷速度，
即可求得运动的时间；
（2）MN的长度与t的取值无关，根据中点的意义及线段的和差关系即可求得MN的
长；
（3）①考虑首次重合时，由AM+BP=20，建立方程即可求得t的值，从而可求得CN
的长；再考虑有无再次重合的可能，当点P首次回到起点时，点M与点C离点B的距离，
即可判断能否再次重合；
②分两种情况：点P位于点C的左侧和点P位于点C的右侧；当点P位于点C左侧时，
则有 ，由此关系式建立方程即可，当点P位于点C右侧时，则有 ，
由此关系式建立方程即可．
解：（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，则运动时间为20÷2=10
（秒）
故答案为：10
（2）MN的长度与t的取值无关；理由如下：
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴ ，
∵AC+BC=20
∴
即MN的长度与t的取值无关（3）①当点P与点M首次重合时，如图
则AM+BP=20
由题意：AC=2t厘米，则AM=t厘米，BP=4t厘米
∴t+4t=20
解得：t=4
此时AC=2×4=8(厘米)，BC=20−8=12(厘米)
∴
点P与点M没有第二次重合的可能
点P与点M首次重合时，BP=16厘米，点P要再运动16÷4=4秒才能回到B点，
也就是说点P回到起点共花费8秒，此时点M从起点运动了8厘米，则点C运动了16厘米，
点C距离终点B只有4厘米，只要2秒即可到达终点，而点P从点B这时只能运动8厘米，
点M只能运动2厘米；当点P与点M运动了8秒时，M点与B点相距20−8=12（厘米），
但8+2<12，即点P与点M不可能有第二次重合；
故当点P与点M重合时，CN=6厘米；
②由题意，运动4秒后，点M运动了(t−4)厘米，点P运动了4(t−4)厘米
则PM=4(t−4)−(t-4)=(3t−12)厘米
当点P位于点C左侧时，如图所示
∵PM=3PC
则
∵
故得方程：
解得：
当点P位于点C右侧时，如图所示∵PM=3PC
则
则
解得：t=8
综上所述，当t为 秒或8秒时，PM=3PC
【点拨】本题是线段上动点问题，考查了中点的含义，线段的和差关系，解一元一次
方程，分类讨论思想，有一定难度，要善于抓住问题的本质，如（2）问中重合本质是行程
问题中的相遇问题；另外注意(2)小题中要考虑是否有第二次重合的可能．
12．(1) (2) 或 (3)存在，当 时， 的长度保持不变，此时 的
长度为 ；当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为
【分析】（1）先求出 ，再根据速度和时间分别求出 的长，
然后根据线段和差即可得；
（2）先分别求出点 运动到点 所需时间为 ，点 第一次运动到点 所需时间为
，再分① ，② 和③ 三种情况，分别利用线段中点的定义建立方
程，解方程即可得；
（3）参照（2）分① ，② 和③ 三种情况，先求出 的长，
从而可得 的长，再根据 进行分析即可得出答案．
(1)解： ，
，
当 时， ，
，
，
故答案为： ．(2)解：点 运动到点 所需时间为 ，点 第一次运动到点 所需时间为
，
则分以下三种情况：
①当 时，则 ，
点 为线段 的中点，
，即 ，
解得 ，符合题设；
②当 时，则 ，
点 为线段 的中点，
，即 ，
解得 ，不符题设，舍去；
③当 时，则 ，
点 为线段 的中点，
，即 ，
解得 ，符合题设，
综上，当 或 时，点 为线段 的中点．
(3)解：①当 时，则 ，
点 是线段 的中点，
，
，
即当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ；
②当 时，则 ，
点 是线段 的中点，
，
，
此时 的长度随着 的变化而变化；
③当 时，则 ，点 是线段 的中点，
，
，
即当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ；
综上，存在这样的时间段，当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为
；当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ．
【点拨】本题考查了与线段中点有关的计算、一元一次方程的应用，较难的是题（2）
和（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
13．(1) ；(2) 为定值24；(3) ．
【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
（3）利用 ， ， ， ，再根据
MN=PM-PN即可求解．
(1)解：∵M是线段AP的中点，∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
(2)解：∵ ， ， ，
∴ ，
即 为定值24．
(3)解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．
∵ ， ， ， ，
∴ ，
所以MN的长度无变化是定值．
【点拨】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表
示出各线段的长度．14．(1)是(2)6或4或8c(3)t为3或 或 或 或 或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝ ＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，
CN＝ ＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝ ＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
(1)解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
(2)解：①当N为中点时，CN＝ ＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝ ＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝ ＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
(3)解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝ ；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝ ；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：1）Q为中点，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝ ；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝ ．
综上所述，t为3或 或 或 或 或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外
两点为端点的线段的和谐点．
【点拨】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利
用分类讨论的思想求解．
15．(1)1cm(2)5cm(3)
【分析】（1）先根据中点的定义求出AN、AM，再根据线段和差关系求解即可；
（2）先根据中点定义求出AM、DN，再根据线段和差关系求出AD，最后再根据线段
和差关系求解即可；
（3）由（2）的解题方法求解即可．
(1)解：∵M，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6cm，CD=8cm，A，C两点重合
∴AM=3cm，AN=4cm，
∴MN=AN-AM=1cm；
(2)∵M，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6cm，CD=8cm，
∴AM=3cm，DN=4cm，
∵线段AB，CD的公共部分BC=2cm，
∴AD=AB+CD-BC=6+8-2=12cm，
∴MN=AD-AM-DN=12-3-4=5cm；
(3)∵M，N分别是线段AB，CD的中点，
，
，，
即： ．
【点拨】本题考查了两点间的距离，线段中点，线段和差关系，利用中点和线段和差
关系是解题的关键．
16．(1)画出示意图见分析；MN的长度是8厘米或2厘米(2)P点运动了4秒或 秒或
秒
【分析】（1）画出符合的两种情况：①当B在线段AC延长线时；②当B在线段AC
上时；求出CN、CM的长度，即可得出答案；
（2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：(1)分为两种情况：①如图1，当B在线段AC延长线时，
∵ 厘米， 厘米，点M、N分别是AC、BC的中点，
∴ 厘米， 厘米，
∴ （厘米）；
②如图2，当B在线段AC上时，
（厘米）；
即MN的长度是8厘米或2厘米；
(2)①当 时，C是线段PQ的中点，得 ，解得 （秒）；
②当 时，P为线段CQ的中点， ，解得 （秒）；③当 时，Q为线段PC的中点， ，解得 （秒）；
④当 时，C为线段PQ的中点， ，解得 （舍），
综上所述：P点运动了4秒或 秒或 秒．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用和两点间的距离，利用线段中点的性质得出
关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
17．(1)21cm(2) t
【分析】(1)根据BM：AM=5：4，设BM=5xcm，AM=4xcm，根据线段和的关系列方程
求出x，再根据线段中点定义求出MN，进而得到BN的长；
(2)根据BM：AM=5：4，推得AM= BM，再根据已知条件，等量代换后得出
，进而得出用含t的代数式表示AB的长．
(1)解：由题知BM∶AM=5∶4，不妨设BM =5x， AM=4 x，
∴ BM+AM=9x，
∵ AB=27cm，且AB= BM+AM，
∴ BM+AM=9x=27，
∴x =3，
∴AM=12cm，BM=15cm．
∵点N是线段AM的中点，
∴MN= AM=6cm，
∴BN = BM+MN=15+6=21cm．
(2)如图所示：
∵BM∶AM=5∶4，
∴AM= BM，
∵MB= 3 EB，
∴ME= MB = t，∴MB = t，
∵AB= AM+ BM = BM + BM= BM，
AB= × t= t．
【点拨】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的应用，线段
之间的数量转化是解题关键．
18．（1）6cm；（2）4；（3） 或1
【分析】（1）由题意得CM=2cm，BD=4cm，根据AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-
BD可得答案；
（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所
以AM= AB；
（3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．
解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cm
∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，
∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；
（2）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，
∵MD=2AC，
∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，
∵AM+BM=AB，
∴AM+2AM=AB，
∴AM= AB=4，
故答案为：4；
（3）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，
∴BN=AM=4，
∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，
∴ ；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN-BN=MN，
又∵AN-BN=AB，
∴MN=AB=12，
∴ ，
综上： 的值为 或1．
【点拨】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的
数量关系是十分关键的一点．
19．（1） ， ；（2）① ；② 或1
【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得 、 的长，根据线段的和差计算可
得；
（2）①根据 、 的运动速度知 ，再由已知条件 求得 ，
所以 ；
（3）分点 在线段 上时和点 在线段 的延长线上时分别求解可得．
解：（1）根据题意知， ， ，
， ，
，
， ，
故答案为： ， ；（2）①根据 、 的运动速度知： ，
，
，即 ，
，
，
；
②当点 在线段 上时，如图，
，
又 ，
，
，
；
当点 在线段 的延长线上时，如图，
，
又 ，
，
；
综上所述： 或1．
【点拨】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读
题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解．
20．（1） ，（2）3，（3）12cm或24cm．
【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；
（2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分 和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长
即可．
解：（1）图形补充完整如图，
∵CB＝ AB，
∴CA＝ ，
，
故答案为： ；
（2）①AB ＝ 9cm，由（1）得， （cm），设运动的时间为t秒，
cm， cm，
，
②当 时，
∵AB ＝ 9cm， cm，
∴ cm，
∴ cm，
cm，
运动时间为：18÷3=6（秒），
则 cm，
cm，
cm，
∵M，N分别是线段DE、AB的中点．
∴ cm， cm，cm，
当 时，
∵AB ＝ 9cm， cm，
∴ cm，
∴ cm，
运动时间为：36÷3=12（秒），
则 cm，
cm，
cm，
∵M，N分别是线段DE、AB的中点．
∴ cm， cm，
cm，
综上，MN的长是12cm或24cm．
【点拨】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长．
21．(1) (2) (3) 或
【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；
（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；
（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线
上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；
(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
(2)解：设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
∴AM= BM
故答案为： ．
(3)解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM＝ AB，
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝ AB，
∴MN＝ AB，即 = ．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，
∴ =1,即 = ．
综上所述 ＝ 或
【点拨】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长
度关系再解答．
22．(1)2t(2)20(3)30或50
【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案；（2）根据题意可得出 ，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可
列出关于t的等式，解出t即可；
（3）根据题意可得： ， ，且 ．由此可求出
．再根据 或 ，即可列出关于t的等式，
解出t即可．
解：(1)∵点M的速度为每秒2个单位长度，
∴ ．
故答案为： ；
(2)根据题意可知 ．
当M、N两点重合时，有 ，
解得： ．
故t为20时，M、N两点重合；
(3)根据题意可得： ， ，且 ．
∴ ．
∴ 或 ，
即 或
解得： 或 ．
故存在时间t，使 长度为5，此时t的值为30或50．
【点拨】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以
及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键．
23．(1)是(2)① 或3或 ；② 、 秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒
【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可；
（2）①由题意得： 再分三种情况；当 时，
当 时， 当 时， 再列方程求解即可；②当 与 相遇时，则 再分两种情况讨论：当 时， 当 时，
再列方程求解即可.
(1)解：如图， 为 的中点，
所以
所以 是 的“倍分点”，
故答案：是；
(2)①由题意得：
当 时，此时 ， 解得
当 时， 解得：
当 时， 解得：
综上：当 s或 s或 s时，点P是线段AB的“倍分点”.
②当 与 相遇时， 解得：
当 时，
当 时， 解得：
当 时， 解得：
当 时， 解得：
当 时，
当 时， 解得：当 时， 解得：
当 时， 解得：
综上：当 s或 s或 s或 s或 s或 s，点P是线段AQ的
“倍分点”.
【点拨】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，一元一次方程的应用，
清晰的分类讨论，理解新定义的含义是解本题的关键.
24．(1)7 cm(2)2或 (3)当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别
为6cm或2cm．
【分析】（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm；
（2）由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都
停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②
当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，
可求得 ；
（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即
可．
(1)解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，
∴MC=AC-AM=6-1=5（cm），
∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）；
(2)如图，由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，
①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t， 解得：t=2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=8-2t， 解得：t=2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t-8，
解得： ； 综上所述，当t=2或 时，点C为线段MN的中点．
(3)如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP= CN=t cm，
∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP= CN= （8-2t）=（4-t） cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP= CN= （2t-8）=（t-4）cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或
2cm．
【点拨】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差
计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．
25．(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8(2)16或8(3)当 时，MN+AD为定
值，定值为6
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可；（2）分 在 的左侧和 在 的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，
即可求解；
（3）由题意，运动t秒后， ， ，分段讨论即可求解．
（1）解：∵ ，∴ ， ，∴ ， ，∴
， ，即线段AB的长是4，线段CD的长是8；
（2）解：∵ ， ，∴ ， ，设运动后点M对
应点为 ，点N对应点为 ，分两种情况，若6秒后， 在 的左侧时：
，∴ ，即
，解得 ．若6秒后， 在 的右侧时：
，∴ ，即
，解得 ．即线段BC的长为16或8；
（3）解：∵BC＝24， ， ，∴ ，
，∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向
右运动，∴运动t秒后， ， ，当 时，
；当 时， ；当
时， ；故当 时，MN+AD为定值，定值为
6．
【点拨】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴
上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．
