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专题 11.2 三角形的周长与面积
【典例1】课题学习：三角形的中线
在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己作的图形“△ABC边BC边
上的中线AD…”时，发现：线段AD不仅平分△ABC的边BC，还平分△ABC的面积．
（一）探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点 A作BC边上的高AE，则：
1
S = DB⋅AE…
△ADB 2
所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积．
请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整．
（二）运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题：
（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，△ABC的面积为40，BD＝5，求△ABE的面积
和点E到BC的距离．
（2）如图3，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分
成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案．
【思路点拨】
（一）如图1中，过点A作AE⊥BC于E．利用三角形面积公式证明即可．
（二）（1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用（一）中结论解决问题即可．
（2）利用三角形中线的性质画出图形即可（答案不唯一）．
【解题过程】
解：（一）探究与发现：如图1中，过点A作AE⊥BC于E．
∵AD是△ABC边BC边上的中线1
∴DB= BC，
2
1 1 1 1
∴S = •BD•AE= • •BC•AE= •S ．
△ABD △ABC
2 2 2 2
（二）运用与实践：
（1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵AD是△ABC的中线，
1
∴S = S ；
△ABD △ABC
2
1
同理，S ＝S = S ，
△BDE △ABE
2
△ABD
1 1
∴S ＝S = S = ×40＝10．
△BDE △ABE △ABC
4 4
1 1 1
∵S = BD•EF，所以 BD•EF= S ．
△BDE △ABC
2 2 4
又△ABC的面积为40，BD＝5，
∴EF＝4，
即E到BC的距离是4．
（2）如图所示（取各边中点或中线的中点）．
1．（2020秋•蠡县期中）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与
15cm两部分，求三角形各边长．3
2．（2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB= AC．
2
（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．
（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？
3．（2020秋•重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB
上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．
（1）求线段AE的长．
1
（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+ DE的值．
2
4．（2021春•麦积区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，点E是BC上一个
动点（点E与B，C不重合），连AE，
（1）若AE平分△ABC的周长，求BE的长；
（2）是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分，若存在，求出BE的长；若不存在，请说明
理由．5．（2021秋•嘉祥县月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，AC
＝6cm，
（1）求CD的长；
（2）若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积．
6．（2021春•天心区期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂
足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．
7．（2021春•重庆期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝
8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．
8．（2020秋•魏县期中）如图（1），AD，AE分别是△ABC中BC边上的高和中线，已知AD＝5cm，EC
＝2cm．
（1）求△ABE和△AEC的面积；
（2）通过做题，你能发现什么结论？请说明理由．
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：如图（2），CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是
△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，求△ABC的面积．
9．（2021秋•赵县月考）在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．
（1）如图1，若S ＝1cm2，求△BEF的面积．
△ABC
（2）如图2，若S ＝1cm2，则S ＝ ．
△BFC △ABC
10．（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从
点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？
11．（2020•渝中区校级开学）如图，△ABC的面积为21平方厘米，DC＝3DB，AE＝ED，求阴影部分面
积．
12．如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积．（单位：厘米）
13．（2020春•张家港市期末）如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．14．（2020春•丽水期末）如图，线段AB的长为5，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝2，DB＝1，
点P为线段AB上的一个动点，连接CP，DP．
（1）若AP＝a，请用含a的代数式表示BP；
（2）当AP＝1时，求△ACP与△BPD的面积之比；
（3）若C，D是同一平面内的两点，连接CD，若点P以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，设运动
时间为t秒，当t为何值时，△PCD的面积等于3．
15．（2020春•汝阳县期末）如图，长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD的中点，动点P
从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x
为何值时，△APE的面积等于32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）
16．（2021•西城区校级开学）如图所示，设四边形 ABCD的面积为S ，四边形EFGH的面积为S ，其中
1 2
E、F分别为AB边上的两个三等分点，G、H分别为CD边上的两个三等分点，请直接写出S 与S 的等量
1 2关系，并说明理由．
17．（2020•浙江自主招生）如图，已知P是△ABC内任意一点，连接AP，BP，CP并延长交BC，CA，
PD PE PF
AB于D，E，F三点，令T= + + ，猜测T的值，并证明．
AD BE CF
18．（2020春•姑苏区期中）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．
【经验发展】面积比和线段比的联系：
如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝
（用含a的代数式表示）．
CD 1 CE 1
【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1， = ， = ，求△ABC的面积．
AC 4 CB 3
1
【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM= AB），N是BC的中点，若△ABC的面积
3
是1，请直接写出四边形BMDN的面积为 ．19．（2020秋•婺城区校级期末）操作与探究
探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA、若△ACD的面积为S ，则S ＝
1 1
（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE、若△DEC
的面积为S，则S＝ （用含a的代数式表示）；
2 2
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的
面积为S，则S＝ （用含a的代数式表示）．
3 3
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们
称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．20．（2021•安徽模拟）S 、S 、S 、S 分别表示△OAB、△OAD、△OBC、△OCD的面积．
△OAB △OAD △OBC △OCD
（1）如图1，O为四边形ABCD对角线上任一点，请写出S 、S 、S 、S 之间存在的一种等式，
△OAB △OAD △OBC △OCD
3
并根据此等式关系，求出当S ＝3，S ＝6，S = 时，S 的值．
△OAB △OAD △OBC
2
△OCD
（2）如图2，O为BD上任一点，S 、S 、S 、S 是否还存在（1）中的等式关系？如果存在，
△OAB △OAD △OBC △OCD
请给出证明；如果不存在，请说明理由．
