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专题12 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练
线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我
们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。本本专题主要介
绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定
义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，
常设x列方程；
2.线段等量代换模型：
若
EH=FG
，则
EH±HG=FG±HG
，即
EG=FH
3.定和型中点模型：
1
MN= AB
若M， N 分别是 AC ， BC 的中点，则 2
线段的动点问题解题步骤：
1.设入未知量t表示动点运动的距离；
2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3.根据题设条件建立方程求解；
4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点 表示的数为8， 是数轴上一点，且 ，动
点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒：
（1）写出数轴上点 表示的数为______，点 表示的数为______ （用含 的代数式表示）；（2）动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同时出发，问点
运动多少秒时追上点 ？（3）若 为 的中点， 为 的中点，点 在运动的过程中，线段 的长
度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长．
【答案】（1）-6， ；（2）点 运动7秒时追上点 ；（3）线段 的长度不发生变化，其值为7
【分析】（1）根据点 表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程 ，求解即可；
（3）分类讨论即可：①当点 在点 、 两点之间运动时，②当点 运动到点 的左侧时，根据中点的定
义即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点 表示的数为8，且 ，
∴点 表示的数为 ，点P表示的数为 ，故答案为：-6， ；
（2）设点 、 同时出发，点 运动时间 秒追上 ，依题意得， ，解得 ，
∴点 运动7秒时追上点 ；
（3）线段 的长度没有发生变化都等于7；理由如下：
①当点 在点 、 两点之间运动时：
，
②当点 运动到点 的左侧时：
，∴线段 的长度不发生变化，其值为7．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．
变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段 ，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是
AC和BC的中点．
（1）若 ，则DE的长为_____________；（2）若 ，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q
分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以
点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？【答案】（1）6；（2）6；（3） 或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，
EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC
和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，
根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6- m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12解得t= 或t= 2
故当t= 或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关
系式．
题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在
点 的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．
【答案】(1)7(2)3或5
【分析】（1）根据 ， ，可求得 ， ，根据中点的定义求出BE，由线段的
和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上， ， ，确定点
F是BC的中点，即可求出AD的长．
(1) ， ， ， ，
如图1，
为 中点， ，
，∴ ，
∴ ，
(2)Ⅰ、当点 在点 的左侧，如图2，
或
∵ ， ， 点 是 的中点，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点 在点 的右侧，
或
， ，∴ ，
∴ ， ．
∵ ，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述： 的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点 ， 在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为
）， 是 ， 间一点， ， 两点分别从点 ， 出发，以 ， 的速度沿直线 向左运
动（点 在线段 上，点 在线段 上），运动的时间为 ．
（1） ______ ．（2）若点 ， 运动到任一时刻时，总有 ，请求出 的长．
（3）在（2）的条件下， 是数轴上一点，且 ，求 的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3） 或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点 在线段 上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然
后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点 在 的延长线上时，可得
．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12
（2）根据点 ， 的运动速度知 ．
因为 ，所以 ，即 ，所以 ．
（3）分两种情况：如图，当点 在线段 上时，
因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以 ；
如图，当点 在 的延长线上时， ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵
活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段 ，动点P从A出发，以每秒2个
单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当 时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当 时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并
说明你的理由．
【答案】(1) (2)8或24(3) ，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点 在线段 上运动和线段 的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将 和 表示出来，再求出线段 、 、 之间的数量关系．
（1）解：∵ M为AP的中点， ，∴ ，
∵线段 ，N为BP的中点，∴ ．故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上， 时，如图，
∵ ， ，∴ ，解得： ．
②当点P在线段AB的延长线上， 时，如图，
∵ ， ，∴ ，解得： ．
综上所述，当 时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时， ，∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B
的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是
线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，
若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为
0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，
根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后
分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM= AC ，DN=BN= BD
∴MN=CM+CD+DN= AC+CD+ BD= AC + CD+ BD+ CD= (AC +CD+BD)+ CD= (AB
+CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有： 解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点∴CE= BE= BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC 5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等
知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
题型4：阅读理解型（新定义）问题
例5．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点 在线段 上，图中有三条线段 、 和 ，若
其中一条线段的长度是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点 和 在数轴上表示的数分别是 和 ，点 是线段 的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点 从点 处，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，
同时动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点
运动同时停止，当 、 、 三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时
间 的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6； ；t=12； ； ．
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即
可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数
式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．
【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得 ，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得， ，②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），解得， ；
综上，运动时间 的所有可能值有 ；t=6； ；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得， ；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得， ．
综上，运动时间 的所有可能值有：t=12； ； ．
故，运动时间 的所有可能值有： ；t=6； ；t=12； ； ．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一
元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点 在线段 上，图中共有3条线段： 、 和 ，若其中有一条线段的长度是另一条线段
长度的两倍，则称点 是线段 的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段 ， 是线段 的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段 ，点 从点 的位置开始，以每秒2 的速度向点 运动，当点
到达点 时停止运动，运动的时间为 秒.（2）问 为何值时，点 是线段 的“二倍点”；
（3）同时点 从点 的位置开始，以每秒1 的速度向点 运动，并与点 同时停止.请直接写出点
是线段 的“二倍点”时 的值.【答案】（1）①是；②10或 或 ；（2）5或 或 ；（3）8或 或
【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；
（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．
【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是.
②∵ ， 是线段 的“二倍点”，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；故答案为：10或 或 ；
（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t= ；
当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；
当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t= ；
答：t为 或5或 时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；
当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t= ；
当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t= ；答：t为 或8或 时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，
理解“二倍点”是解决本题的关键．
【数学思想】
1.分类讨论思想
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后逐类进行研究和求
解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论。
常见分类依据：①无图常需分类讨论； ②在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨论思想的应用，
即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。
例1．（2022·重庆初一期中）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段
AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【解析】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b． ∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = ．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = ．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AM﹣AC= = ．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a． ∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC+AM= = ．
综上所述：MC的长为 或 （a＞b）或 （a＜b），即MC的长为 或 ．故选D．【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨
论的数学思想是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·七年级期中）把根绳子对折成一条线段 ，在线段 取一点 ，使 ，从
处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为 ，则绳子的原长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓
住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图
∵ ，∴2AP= ＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+ ×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm∴AP=12× cm∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今
后解决类似的问题时，要防止漏解．
变式2．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点 ，点C从原点O出发，以每秒 的速度
在线段 上运动，点D从点B出发，以每秒 的速度在线段 上运动．在运动过程中满足 ，
若点M为直线 上一点，且 ，则 的值为_______．【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC
得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，
②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、
BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算 的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，综上所述， 的值为1或 ．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整
体代入在解题中起到至关重要的作用．
2.数形结合思想
以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的
完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在
一定条件下可以相互转化。 在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或
者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思
想求最值和定值是常考点。
例2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接 ，在线
段 上求作线段 ，使 ；
（2）如图2，点 是 的中点， 、 分别是线段 、 上的点，且 ， ．若
，求线段 的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）线段CE的长为 ，详见解析
【分析】（1）根据尺规作图，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求；
（2）根据题意，结合图形可求出AC=BC= ， ， ，可求出BE，即可
求出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示，连接AC，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求，
；（2）由题意可知，AC=BC= ，
∴ ， ，
∴BE=AB-AD-DE= ，
∴CE=BC-BE= ，
即：线段CE的长为 ．
【点睛】本题主要考查的是尺规作图，以及线段求值，数形结合是解题的关键．
变式1．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点， ，点O是线段AB上
的一点， ，若点C是射线AB上一点，且满足 ，则OC＝______cm．
【答案】 或
【分析】根据题意可求出 ， ．设 ，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点
C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据 ，即得
出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴ ， ．
设 ，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．故此时 ；
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知， ， ．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故此时 ；
综上可知OC的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的
思想是解题的关键．
变式2.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠
处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．
①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝ cm；②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳
子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
1 1
【解题思路】（1）①由题意可得：AM＝MO= AO，ON＝BN= OB，再结合图形可求得答案；
2 2
②先结合图形可求得AA′+BB′＝40 cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；
③分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时；
（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，分别按以下几种情况进行计算：①当B′D：CD：AC＝3：
4：5时，②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，④当CD：AC：B′D＝3：
4：5时，⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时．
【解答过程】（1）①∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，
1 1
∴AM＝MO= AO，ON＝BN= OB，
2 2
1 1
∴MN＝MO+ON= （AO+OB）= AB＝30；故答案为：30．
2 2
②∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40 cm．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，1 1
∴AM= AA'，BN= BB'，
2 2
1 1 1 1
∴AM+BN= AA'+ BB'= (AA'+BB')= ×40=20cm，
2 2 2 2
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40 cm．
③如∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
1 1
∴AM＝MA′= AA'，BN＝B′N= BB'．
2 2
当点A′落在点B′的左侧时，如第（1）小题②图，
1 1 1 1 1 1
∴MN ＝ MA′+A′B′+B′N= AA′+A′B′+ B′B= （ AA′+A′B′+B′B ） + A′B′= （ AB+A′B′ ） ＝ （ 30+ n ）
2 2 2 2 2 2
（cm）；
当点A′落在点B′的右侧时，如（1）③图，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm．
1 1 1 1 n
∴AM+BN= AA'+ BB'= (AA'+BB')= ×(60+n)=(30+ )cm．
2 2 2 2 2
n n
∴MN＝AB﹣（AM+BN）=60−(30+ )=(30− )（cm）．
2 2
n n
综上，MN的长度为(30+ )cm或(30− )cm．
2 2
1
（2）由于三段的长度由短到长的比为3：4：5，CN= CD，
2
所以可分为以下几种情况：
5 1
①当B′D：CD：AC＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
12 3
5 1 7
∴AN= AB+ CD= AB＝35（cm），
12 2 12
1 5
②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
3 12
1 1 13
∴AN= AB+ CD= AB＝32.5（cm），
3 2 24
5 3
③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
12 12
5 1 13
∴AN= AB+ CD= AB＝32.5（cm），
12 2 241 3
④当CD：AC：B′D＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
3 12
1 1 11
∴AN= AB+ CD= AB＝27.5 cm，此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
3 2 24
1 5
⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
4 12
1 1 11
∴AN= AB+ CD= AB＝27.5 cm，此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
4 2 24
1 1
⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时，AC= AB，CD= AB，
4 3
1 1 5
∴AN= AB+ CD= AB＝25 cm；此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
4 2 12
综上所述，AN所有可能的长度为：32.5 cm或35cm．
3.整体思想
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。运
用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数 x，并用x表示有关线段。在线段计算中，求
一条线段上的两个中点之间的距离时常用到整体的思想。
例3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），
且CD＝2，E为BC的中点．(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，
请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的
长；
（2）由题意可得 ，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出 ，
代入 ，即可求出EF长．
（1）
∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴ ， ,
∵E为BC的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）
线段EF的长度不会发生变化， ，
∵AB＝16，CD＝2，
∴ ，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之
间的数量关系．变式1．（2022·辽宁抚顺·九年级）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，
C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个
点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而
图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，
∵AD和BC的中点是同一个，
∴直线l上会发出警报的点P有5个．故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减
去不必要的讨论与分类．
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB
的中点．
(1)若 ， ，求线段MN的长；(2)若 ， ，求线段MN的长．
【答案】(1)线段MN的长度为7cm(2)线段MN的长度为 (a+ b)
【分析】(1) 根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可
求出MN的长度即可；(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用
MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．
（1）解：∵AC=10cm，点M是AC的中点，∴CM= AC= 5cm，
∵CB=4cm，点N是BC的中点，
∴CN= BC=2cm ，∴MN=CM+CN=7cm，
∴线段MN的长度为7cm；（2）∵ AC=a，点M是AC的中点，∴CM = AC=
∵CB=b，点N是BC的中点，∴CN= BC= b；
∴MN=CM+CN= (a+b)，∴线段MN的长度为 (a+ b)．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，难度较大．
4.方程思想
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法，运用方程思
想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.有关线段比的问题（或倍分关
系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山东烟台·期中）如图线段 ，点 在射线 上从点 开始，以每秒 的速度沿着
射线 的方向匀速运动，则 时，运动时间为（ ）
A． 秒 B．3秒 C． 秒或 秒 D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根据题意可知，当PB= AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：由已知当PB= AB时，PB= ，
设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时2t+ =8 解得t= ，
当点P在B点左侧时2t- =8 解得t=
所以t= 或t= ．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
变式1．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数， ， ．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______
秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB
的中点为M，当 时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6(2)8(3) 秒或 秒
【分析】（1）根据 ，且 ， 两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过 秒点 是 的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点 运动了 秒时 ，分情况列方程求解即可．
（1）AB=12，且 ， 两点表示的数互为相反数，
点 表示的数是 ，故答案为： ；
（2）AB=12， ， ， ，设经过 秒点 是 的中点，
根据题意列方程得 ，解得 ，故答案为：8；
（3）设点 运动了 秒时 ，
①当 点在 点左侧时，即 ，
根据题意列方程得 ，解得 ；
②当 点在 点右侧时，即 ，
根据题意列方程得 ，解得 ；
综上，当 运动了 秒或 秒时 ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
变式2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，
．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，
机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点
处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【答案】(1)16，24．
(2)当x= ，即运动 秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)当x= 或x= 或x= ，即运动x= 或x= 或x= 秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【分析】（1）由 且AC=8cm得8+BC= ，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；
（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之
前，再根据线段AP= AQ列方程求出x的值即可；
（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且
点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可
根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．
(1)解：∵ ，AB=AC+BC，AC=8m，
∴8+BC= ，解得：BC=16m，∴AB= ×16=24m．故答案为：16，24．
(2)解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一
次相遇之前，∴6x= {8+2x），解得x= ．答：当x= ，即运动 秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x= ；
当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x= 或x= ．
答：当x= 或x= 或x= ，即运动x= 或x= 或x= 秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正
确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.
课后专项训练
1．（2022·山西·右玉县七年级期末）一条直线上有 ， ， 三点， ， ，点 ， 分
别是 ， 的中点，则 ______．
【答案】 或
【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两
种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解．
【详解】解：根据题意由两种情况
若B在A，C两点之间，如图：则 ,
， (cm)；
若C在A，B两点之间，如图：
则
， (cm)，
故答案为：13cm或5cm．
【点睛】本题主要考查了线段中点定义、线段的和差等知识点，根据题意正确画出符合题意的图形是解答
本题的关键．
2．（2022·江苏·七年级期末）如图，已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为
DE的中点（1）如图1，若AC＝4，BC＝6，求CF的长；（2）若AB＝16CF，求 的值；（3）若AC＞
BC，AC﹣BC＝a，取DC的中点G，CE的中点H，GH的中点P，求CP的长（用含a的式子表示）．
解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC＝ AC＝2，CE＝ BC＝3，
∴DE＝DC+CE＝2+3＝5，
∵F为DE的中点，
∴DF＝ DE＝ ，
∴CF＝DF﹣DC＝ ﹣2＝ ；
（2）设AC＝x，BC＝y，则DC＝ AC＝ x，CE＝ BC＝ y，
∴DE＝DC+CE＝ （x+y），∵F为DE的中点，
∴DF＝ DE＝ （x+y），
∴CF＝DF﹣DC＝ （x+y）﹣ x＝ （y﹣x）；
∵AB＝16CF，
∴x+y＝16• （y﹣x），
∴5x＝3y，
∴ ＝ ，
即 的值为 ；
（3）如图，
设AC＝x，BC＝y，即x﹣y＝a，则DC＝ AC＝ x，CE＝ BC＝ y，
∵DC的中点为G，CE的中点为H，
∴GC＝ CD＝ x，CH＝ CE＝ y，
∴GH＝ （x+y），
∵GH的中点为P，
∴GP＝ GH＝ （x+y），
∴PC＝GC﹣GP＝ x﹣ （x+y）＝ （x﹣y），
∴PC＝ a．
3.（2022·河南七年级期末）如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或
“＜”）；②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
【解题思路】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．
（2）①依据AB＝CD，即可得到AB+BC＝CD+BC，进而得出AC＝BD．
②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．
【解答过程】解：（1）∵B、C在线段AD上，
∴图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．共6条．
故答案为：6；
（2）①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD．
故答案为：＝；
②∵AD＝20，BC＝12，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝8，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
1 1
∴BM= AB，CN= CD，
2 2
1 1
∴BM+CN= (AB+CD)= ×8=4，
2 2
∴MN＝BM+CN+BC＝4+12＝16．
4.（2022·广西·七年级期末）已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的
1
中点，点N是线段AB上的点，且满足DN= DB，AB＝24．求MN的长．
4
【解题思路】分点N在线段CD上、点N在线段DB上两种情况，根据题意计算即可．
【解答过程】解：设AC＝x，则CD＝2x，DB＝3x，
∵AB＝24，
∴x+2x+3x＝24，
解得x＝4，
∴AC＝4，CD＝8，DB＝12，CB＝20．
∵点M是线段AC的中点，1
∴MC= AC＝2．
2
1
∵DB＝12，DN= DB，
4
1
∴DN= ×12＝3，
4
分以下两种情况：
①当点N在线段CD上时，MN＝MC+CD﹣DN＝2+8﹣3＝7；
②当点N在线段DB上时，MN＝MC+CD+DN＝2+8+3＝13．
综上所述，线段MN的长度为7或13．
5.（2022·浙江·七年级期末）已知直线l依次三点A、B、C，AB＝6，BC＝m，点M是AC点中点
（1）如图，当m＝4，求线段BM的长度（写清线段关系）．
（2）在直线l上一点D，CD＝n＜m，用m、n表示线段DM的长度．
【解题思路】（1）求出AC长，根据线段中点求出AM长，即可求出答案；
（2）先求出AM和CM长，分为当D在线段BC上时和当D在l上且在点C的右侧时，求出MD即可．
【解答过程】解：（1）当m＝4时，BC＝4，
又∵AB＝6，∴AC＝4+6＝10，
又M为AC中点，∴AM＝MC＝5，
∴BM＝AB﹣AM，＝6﹣5＝1；
（2）∵AB＝6，BC＝m，∴AC＝6+m，
6+m
∵M为AC中点，∴AM=MC= ，
2
①当D在线段BC上，M在D的左边时，CD＝n，
6+m 6+m−2n
MD＝MC﹣CD= −n = ；
2 2
②当D在线段BC上，M在D的右边时，CD＝n，
6+m 2n−6−m
MD＝DC﹣MC＝n− = ；
2 2③当D在l上且在点C的右侧时，CD＝n，
6+m 6+m+2n
MD＝MC+CD= +n= ，
2 2
6+m−2n 2n−6−m 6+m+2n
综合上述：DM的长度是 或 或 ．
2 2 2
6.（2022·山东·七年级期末）如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，
（1）若AC＝7cm，BC＝5cm，求线段MN的长；
（2）若AB＝a，点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果
与过程，若不能，请说明理由．（3）若将（2）中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上
任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程．
【解题思路】（1）由中点的定义可得MN＝MC+CN＝6cm；
（2）将（1）中推导过程中的AB＝6换为AB＝a即可；
1 1 1
（3）分两种情况说明：当点C在线段AB延长线上时，MN＝MC﹣NC= AC− BC= AB；当点C在线段
2 2 2
1 1 1
BA延长线上时，MN＝NC﹣CM= BC− AC= AB．
2 2 2
【解答过程】解：（1）∵AC＝7cm，点M是AC的中点，
1 7
∴MC= AC= cm，
2 2
∵BC＝5cm，点N为BC的中点，
1 5
∴CN= BC= cm，∴MN＝MC+CN＝6cm；
2 2
1
（2）∵点M是AC的中点，∴MC= AC，
2
1
∵点N为BC的中点，∴CN= BC，
2
1 1 1 1
∴MN＝MC+CN= AC+ BC= AB= a；
2 2 2 2
（3）结论成立；理由如下：
当点C在线段AB延长线上时，1
∵点N为BC的中点，∴CN＝BN= BC，
2
1
∵点M是AC的中点，∴MC= AC，
2
1 1 1
∴MN＝MC﹣NC= AC− BC= AB；
2 2 2
当点C在线段BA延长线上时，
1
∵点N为BC的中点，∴CN＝BN= BC，
2
1
∵点M是AC的中点，∴MC= AC，
2
1 1 1
∴MN＝NC﹣CM= BC− AC= AB；
2 2 2
综上所述，（2）的结论成立．
7．（2022·江苏·七年级专题练习）已知线段 ，点 在线段 上，且 ．
(1)求线段 ， 的长；
(2)点 是线段 上的动点且不与点 ， ， 重合，线段 的中点为 ，设
①请用含有 的代数式表示线段 ， 的长；
②若三个点 ， ， 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称 ， ， 三点为“共谐点”，请
直接写出使得 ， ， 三点为“共谐点”的 的值．
【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm
(2)① 或 ， ；②6或12
【分析】（1）由 可得 ， ，从而可求得AC、CB的长；
（2）①分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况分别计算即可；
②分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况列方程，可求得m的值．（1）
∵ ，点 在线段 上，且
∴ ，
（2）
∵M为线段 的中点
∴
①当点P在线段AC上时
，
当点P在线段CB上时
，
②当点P在线段AC上时，则MP=PC
∴
解得：m=6
当点P在线段CB上时，则MC=PC
∴
解得：m=12
综上所述，m=6或12
【点睛】本题考查了求线段长度，线段中点的意义及线段的和差，掌握线段中点的意义、线段的和差是解
题的关键．注意（2）小题要分类讨论．
8．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图，已知点C在线段 上，M是 的中点，点N在线段 上，且
．
(1)若 ，求线段 的长；
(2)若 ，则 ________（直接写出结果）；
(3)若已点知C在线段 的延长线上，M是 的中点，点N在线段 上， ，
求 的长．【答案】(1)11(2) (3)
【分析】（1）根据M是 的中点，可知 根据 ，可知 ，根据
即可求解；
（2）根据（1）的方法求解即可；
（3）根据题意画出图形，根据 即可求解
(1)解： M是 的中点， ，
，
，
；
(2)解： M是 的中点， ，
，
，
；
(3)如图，
M是 的中点， ，
，
，
.
【点睛】本题考查了线段和差的计算，线段中点的性质， 等分点的计算，数形结合是解题的关键．
9．（2022·福建泉州·七年级期末）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．
(1)点D在线段AB上，且AB=6， ，求线段CD的长度；(2)若点E是线段AB上一点，且
AE=2BE，当 时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．
【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析
【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB
以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．
（1）解：如图1，
∵点C是线段AB的中点，AB=6，
∴BC= AB=3，
∵BD= BC，
∴BD=1，
∴CD=BC-BD=2；
（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：
当点D在线段AB上，如图2，
设AD=2x，则BD=3x，
∴AB=AD+BD=5x，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC= AB= ，
∴CD=AC-AD= x，
∵AE=2BE，
∴AE= AB= x，
CE=AE-AC= x，
∴ = ，即5CD=3CE；
当点D在BA延长线上时，如图3，设AD=2a，则BD=3a，
∴AB=BD-AD=a，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC= AB= ，
∴CD=AC+AD= a，
∵AE=2BE，
∴AE= AB= a，
CE=AE-AC= a，
∴ = ，即CD=15CE．
综上，5CD=3CE或CD=15CE．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．解第2问注意分类
讨论．
10．（2022·北京海淀区·北大附中七年级期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点
A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点．
（1）点B表示的数为________；（2）若线段 ，则线段OM的长为________；
（3）若线段 （ ），求线段BM的长（用含a的式子表示）．
【答案】（1）－1；（2）4或6；（3） 或 .
【分析】(1)由AB=1.2OA=6，得OB=1，而点B在原点的左侧，故B表示-1；
(2)由B表示-1，BM=5，确定点M表示的数为4或-6，根据点的几何意义确定线段的长度即可.(3)根据AC
的长度，分类确定点C表示的数，继而确定中点M表示的数，线段的和与差分别表示线段长度即可.
【详解】（1）∵AB=1.2OA=6，∴OB=1，∵点B在原点的左侧，∴B表示-1，故填-1；（2）设M表示的数为x，∵B表示的数为-1，且BM=5，∴|x+1|=5,∴x=4或x=-6,
∴M表示的数为4或-6，∴MO=4或MO=6，故填4或6；
（3）∵ ，点A表示的数为5，
当点C在点A右侧， ，∴ ，
∴ ；点C在线段OA上， ，
∴ ，∴ ；
答：线段BM的长为： 或 .
【点睛】本题考查了数轴上点的几何意义，以及线段的和与差的意义，熟练用表示的数与线段的长度表示
动点表示的数是解题的关键，灵活运用分类思想是解题的主要方法.
11．（2022·河南义马市·七年级期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动
1次，C是线段BD的中点， ，设点B运动时间为t秒（ ）．
（1）当 时，① ________cm，②此时线段CD的长度=_______cm；（2）用含有t的代数式表示
运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的
长；若变化，请说明理由．
【答案】（1）①4；②3；（2） ， ；（3）不变， ．
【分析】（1）①根据 即可得出结论；②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得到CD
的长；（2）分类讨论即可；（3）直接根据中点定义即可得到结论；
【详解】（1）①当 时， （cm），
②此时， （cm），∵C是线段BD的中点，则 ；
（2）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当 时， ，∴ ；
②当 时， ，∴ ；
（3）不变；因为AB的中点为E，C是BD的中点，
所以， ，所以， ．【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键．
12．（2022·重庆一中）如图，在数轴上 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 是
最大的负整数，且 ， 满足 ．点 从点 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到
达点 后立刻返回到点 ，到达点 后再返回到点 并停止．
（1） ________， ________， ________．
（2）点 从点 离开后，在点 第二次到达点 的过程中，经过 秒钟， ，求 的值．
（3）点 从点 出发的同时，数轴上的动点 ， 分别从点 和点 同时出发，相向而行，速度分别为
每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设 秒钟时， 、 、 三点中恰好有一个点是另外两个点的
中点，请直接写出所有满足条件的 的值．
【答案】（1） ， ， ；（2） 或 或 或 ；（3） ，1， ，8，12
【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的
值；
（2）由题意知，依次求出PC、PB的长，再进行分类讨论即可：当 从 到 时，当 从 到 时，当
从 到 时，三种情况分类讨论．（3）以点从为PN中点时，当0 ．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t= ．
当点N为PM中点时，t> ．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t= ．
综上所述，t的值为1， 或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
13．（2022·昌图县十八家子中学）如图，数轴上的点 ， 表示的数分别为-10和20，动点 从点 出发，
以2个单位秒的速度沿数轴的正方向运动，点 为 的中点．（1）点 出发多少秒时， ；
（2）当点 在线段 上运动时，求 的值；（3）若点 为 的中点，请直接写出 的长．【答案】（1）10s或30s；（2）30；（3）15．
【分析】（1）分两种情况进行讨论：①当点 在点B的左侧时，②当点 在点B的右侧时，列式计算即
可；
（2）根据点 为 的中点，可得 ，根据线段之间的关系可求得 ，即可
求出结果；（3）利用线段的中点定义，即可得出MN的长．
【详解】解：（1）设点 出发 时， ，
①当点 在点B的左侧时： 解得： ．
②当点 在点B的右侧时： 解得： ．
∴当点 出发10s或30s时， ．
（2）∵点 为 的中点，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．
（3）∵点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ ， ．∴ ．∴ ．
【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题，掌握数轴上点的表示方法以及线段的中点定义是解答此题的
关键．
14．（2022·江西东湖区·）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B
出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM
上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4） 或1．
【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；
（3）根据已知得MB＝2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解；
（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．
【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；
（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝ AB＝4，故答案为：4；
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4∴ ；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12∴ ；
综上所述 或1故答案为 或1．
【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨
论是解题关键．
15．（2022·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出
发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.
（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.
【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm
分析：(1) 观察图形可以看出，图中的线段PC和线段BD的长分别代表动点C和D的运动路程. 利用“路
程等于速度与时间之积”的关系可以得到线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 结合条件PD=2AC，
可以得到PB=2AP. 根据上述关系以及线段AB的长，可以求得线段AP的长.
(2) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系结合题目中给出的运动时间，可以求得线段PC和线段BD的
长，进而发现BD=2PC. 根据BD=2PC和PD=2AC的关系，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP的长.
(3) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可知，只要运动时间一致，点C与点D运动路程的关系与它
们运动速度的关系一致. 根据题目中给出的运动速度的关系，可以得到BD=2PC. 这样，本小题的思路就与
前两个小题的思路一致了. 于是，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP的长.
(4) 由于题目中没有指明点Q与线段AB的位置关系，所以应该按照点Q在线段AB上以及点Q在线段AB
的延长线上两种情况分别进行求解. 首先，根据题意和相关的条件画出相应的示意图. 根据图中各线段之
间的关系并结合条件AQ-BQ=PQ，得到AP和BQ之间的关系，借助前面几个小题的结论，即可求得线段
PQ的长.
【解析】(1) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以 (cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以 (cm).故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以 (cm).
(2) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以 (cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以 (cm).故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以 (cm).
(3) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以 (cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以 (cm).故BD=2PC.因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以 (cm).
(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.
(i) 点Q在线段AB上(如图①).因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.因为 ，所以 .
故 .因为AB=12cm，所以 (cm).
(ii) 点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图②).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为 ，所以 .故 .
因为AB=12cm，所以 (cm).
综上所述，PQ的长为4cm或12cm.
点睛：本题是一道几何动点问题. 分析图形和题意，找到代表动点运动路程的线段是解决动点问题的重要
环节. 利用速度、时间和路程的关系，常常可以将几何问题与代数运算结合起来，通过运算获得更多的线
段之间的关系，从而为解决问题提供有利条件. 另外，分情况讨论的思想也是非常重要的，在思考问题时
要注意体会和运用.
16．（2022·绵阳市七年级期末）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求 的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：① 是定值；② 是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在
A点左侧时；（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、
E在BC之间，F在E右侧；
【解析】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴ ＝2；
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴ ＝2；
③D在A点左侧时：BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，∴ ＝2；故 ＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．∴AE＝EP，BF＝CF，
①
EF＝FC﹣EC＝ BC﹣AC+AE＝ （AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣ AB＝ AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，∴ ＝2．
②
EF＝ BC+CE＝ BC+AE﹣AC＝ （AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣ AB﹣ AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴ ＝2．
③
EF＝CE﹣CF＝CE﹣ BC＝AC﹣AE﹣ BC＝AC﹣AE﹣ （AC﹣AB）＝ AC﹣AE+ AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴ ＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
17．（2022·绵阳市·七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线
段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若 ，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知 ，动点P从点A出发，以 速度沿AB向点B匀速移动，点 从点B出发，以
的速度沿BA向点A匀速移动，点P、 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为 t，请求出 为何值时，A、P、 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时， 或4或 ；当点Q为
AP的“奇妙点”时， 或6或 ．
【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1： ，即N为CD的中点；情况2：
，即N为靠近C点的三等分点；情况3： ，即N为靠近D点的三等分点，根据以上
三种情况，分别求出CN的长度．
（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是
“奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，
分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成
3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．
故答案是：是；
（2） 是线段CD的“奇妙点”
根据定义，此题共分为三种情况．当 ，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
当 ，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
当 ，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．
t秒后， ， ．
当P点是“奇妙点”时， ．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当 时，有 解得
当 时，有 解得
当 时，有 解得
当Q点是“奇妙点”时， ．
当 时，有 解得
当 时，有 解得
当 时，有 解得
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时， 或4或 ；
当点Q为AP的“奇妙点”时， 或6或 ．
【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，
从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举
完全，是解决该题的关键．
18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC
时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点
D是线段BA内二倍分割点．
（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示
的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ．
（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿
数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．
①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示）
②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为 或 或 或75秒时，P、A、B中恰有
一个点为其余两点的内二倍分割点．
【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可；
（2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍
分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可．
【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在
N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6
个单位，所以，表示的数为1；
（2）① 则线段BP的长为 2t．
② 当P在线段AB上时，有以下两种情况：
如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP，
所以50-2t = 2×2t，解得t= ；
如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP，所以2t=2（50-2t），解得t= ；
当P在点A左侧时，有以下两种情况：
如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA，
所以50=2（2t-50）解得t= ；
如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA，
所以2t-50=2×50，解得t=75；
综上所述：当t为 或 或 或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的
用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键．
