文档内容
考点 08 函数的奇偶性、周期性（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
【知识点】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为D，
偶函数 如果∀x∈D，都有－x∈D，且 关于 对称
，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，
奇函数 如果∀x∈D，都有－x∈D，且 关于 对称
，那么函数f(x)就叫做奇函数
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做
这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具
有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
【核心题型】
题型一 函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【例题1】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数 的图像向左平移 个单位长度后得
到 的图像，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． 的图像关于点 中心对称 D．当 时， 取到最小值
【变式1】（2024·北京丰台·一模）已知函数 具有下列性质：
①当 时，都有 ；
②在区间 上， 单调递增；
③ 是偶函数．
则 ；函数 可能的一个解析式为 ．
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 ， ．下列结论中可
能成立的有 ．
① ；
② ；
③ 是奇函数；
④对 ， ．
【变式3】（2024·河南信阳·一模）若函数 的图像关于原点对称，则m＝ ．
题型二 函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已
知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
【例题2】（2023·四川·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·安徽马鞍山·三模）函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）写出一个对称中心为 的奇函数
.
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知 ， 分别为定义在 上的奇函数和偶
函数， ，则 ．
命题点2 利用奇偶性解不等式
【例题3】（2024·广西柳州·三模）设函数 是定义在 上的奇函数，且对于任意的x，
，都有 .若函数 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．C． D．
【变式1】（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 成
立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·四川南充·二模）设函数 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·贵州贵阳·一模）已知 是定义在 上的偶函数，且 也是偶
函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已
知区间上，进而解决问题．
【例题4】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，
为奇函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式1】（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数 满足 ，是奇函数， 则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足
，则 （ ）
A． B． C．0 D．3
【变式3】（多选）（2024·全国·模拟预测）若定义在 上的函数 满足
，则下列结论中正确的是（
）
A． 是奇函数 B． 是周期为4的周期函数
C． D．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，设甲： 的图象关于
轴对称；乙： 是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2024·天津·一模）如图是函数 的部分图象，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
3．（2024·河北·模拟预测）定义在 上的函数 周期为 ，且 为奇函数，则
（ ）
A． 为偶函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为奇函数
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则使得 成立的正
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 和 分别为R上的奇函数和偶函数，满足
， ， 分别为函数 和 的导函数，则下列结论中正确
的是（ ）
A．
B．当 时， 的值域为C．当 时，若 恒成立，则a的取值范围为
D．当 时，满足
6．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 是奇函数， 是偶
函数， ，则 ．
8．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则当 时， ．
四、解答题
9．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数 在 处取得极大值2.
(1)求 的解析式；
(2)求 在 上的最值.
10．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数 .
(1)求函数 在区间 上的最大值和最小值；
(2)设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ；求函数 在 上的解析式.
11．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知 是定义在 上的偶函数，且
.
(1)求 的解析式；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若存在 ，对任意的 ，都有 ，求实
数 的取值范围.
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知 是定义在[－2，2]上的函数，
若满足 且 ．
(1)求 的解析式；
(2)设函数 ，若对任意 ，都有 恒成立，
求m的取值范围．综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）已知 为奇函数，则 在
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东茂名·一模）函数 和 均为 上的奇函数，若 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2023·广东·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l： 与曲线W：有三个交点D、E、F，且 ，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，若等差数列 的
前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且
为奇函数， ，则 （ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
8．（2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数 满足 ，且当 时，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏南通·模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数
学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，
函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 R，令
，若存在正整数k使得 ，且当0
