文档内容
2022 年上海市嘉定区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题
1. 下列函数中是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：A、 是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B、 函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意；
C、 ，是一次函数，不是二次函数，故C不符合题意；
D、 是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如
（a、b、c是常数，且 ）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项
系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
2. 已知抛物线 的顶点是此抛物线的最低点，那么 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线 的顶点是此抛物线的最低点，得出抛物线开口向上，即 ，
解出a即可．
【详解】解：∵抛物线 的顶点是此抛物线的最低点，
∴抛物线开口向上，
∴ ，
解得： ，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．理解抛物线有最低点时，抛物线开口向上是解答本题的关键．3. 在 中， ， ， ，那么下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【详解】解：∵∠C=90°，BC=6，AC=2，
∴AB= ，
A. ，正确；
B. ，故不正确；
C. ，故不正确；
D. ，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt△ABC
中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于
∠A的对边比邻边，∠A的余切等于∠A的邻边比对边．
4. 在 中， ， ，那么 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作底边上的高，根据锐角三角函数的概念和等腰三角形的三线合一的性质求解．
【详解】解：作AD⊥BC于D．∵ ， ，
∴BD＝AB•cosB＝10× ＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故选：B
【点睛】考查了锐角三角函数的概念以及等腰三角形的三线合一性质，解题关键是作高构建直角三角形．
5. 已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 是一个单位向量，可得 ，即可判断A；根据题目并没有告诉 、 的长度和方向，即可
判断B、C、D．
【详解】解：∵ 是一个单位向量，
∴ ，
A、∵ ，∴ ，故A选项符合题意；
B、题目并没有告诉 的长度和方向，无法推出 ，故B选项不符合题意；
C、题目并没有告诉 的长度和方向，无法推出 ，故C选项不符合题意；
D、题目并没有告诉 、 的长度和方向，无法推出 ，故D选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平面向量，熟知平面向量的相关知识是解题的关键．
6. 如图，已知 ， ，那么下列结论正确的是（ ）A. B.
.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解： ，
，，
，故A错误；
，故D正确；
根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
二、填空题
7. 抛物线 经过点 ，那么 ________．
【答案】1
【解析】
【分析】把点的坐标代入解析式，得6=4a+2，解方程即可．
【详解】∵抛物线 经过点 ，
∴6=4a+2，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
8. 抛物线 的对称轴是________．
【答案】直线
【解析】
【分析】根据顶点坐标公式计算即可得到答案．【详解】解：抛物线的对称轴是直线x= ，
故答案为：直线 ．
【点睛】此题考查了求抛物线的顶点坐标，熟记抛物线顶点坐标公式是解题的关键．
9. 抛物线 在对称轴右侧的部分是上升的，那么 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由于二次函数的图象在对称轴右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．
【详解】解：∵二次函数 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴这个二次函数图象开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞-3，
故答案为m＞-3．
【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0
时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开
口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
10. 将抛物线 向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表达式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线平移的规律解答．
【详解】解：∵ ，
∴将抛物线 向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表达式是
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，抛物线平移的关键是抓住顶点的位置变化，
还要理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的．
11. 在 中， ， ， ，那么 ________．
【答案】16
【解析】【分析】由cosB= ，代入计算可得．
【详解】解：如图：
∵在Rt△ABC中，cosB= ，且BC=4，
∴
∴AB=16，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．在Rt△ABC中，若
∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对
边比邻边．
12. 在菱形 中，对角线 与 之比是 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据菱形的性质得到 ，然后由对角线 与 之比是 ，可求
得 ，然后根据正弦值的概念求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵在菱形 中，∴
∵对角线 与 之比是 ，即
∴
∴设 ，
∵菱形的对角线互相垂直，即
∴在 中，
∴
故答案为： ．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理和三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股
定理和三角函数的概念．
13. 如图，飞机在目标 的正上方 处，飞行员测得地面目标 的俯角 ，如果地面目标 、 之
间的距离为 千米，那么飞机离地面的高度 等于________千米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得∠ACB=30°，利用正切函数的定义，变形计算即可．
【详解】∵地面目标 的俯角 ，
∴∠ACB=30°，
∴tan30°= ，
∴AB=BC tan30°=6 = ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了俯角视线与水平线所成的角，特殊角的三角函数值，熟练掌握俯角的意义，熟记特殊
角的函数值是解题的关键．
14. 已知 ，那么 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据比例的性质，设x＝2a，则y＝5a，再代入计算即可.
【详解】解：∵ ，
∴可设x＝2a，则y＝3a，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数表示出x，y的值进而求解是解题关键．
15. 已知向量 、 、 满足 ，试用向量 、 表示向量 ，那么 =________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积可得 ，根据向量加减法的互逆性质的 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查向量的数量积，与向量加减法则，掌握向量的数量积，与向量加减法则是解题关键．
16. 如图，在 中， ， ， ， ，那么 的值是________．
【答案】
【解析】【分析】根据平行线性质得出∠ADE=∠B，∠BDF=∠BAC，证出△DBF∽△ADE，得出 即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴∠ADE=∠B，∠BDF=∠BAC，
∴△DBF∽△ADE，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定与性质，掌握平行线性质，三角形相似判定与性质是解题
关键．
17. 在梯形 中， ，对角线 与 相交于点 ，如果 、 的面积分别
是1cm2、4cm2，那么梯形 的面积等于________cm2．
【答案】9
【解析】
【分析】由于AD∥BC，可得△OAD∽△COB，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出 BO
与OD的关系，AO与OC的关系，从而求出△ABO和△CDO的面积，进而求出梯形的面积．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴△OAD∽△COB，
∴ ，
∴AO：CO=DO：BO=1：2，
∴ ，
∴ ，
同理求出
，
故答案 为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质，以及三角形面积的求解，难度适中，解题的
关键是注意数形结合思想的应用．
18. 如图，在 中， ， ， ，点 在边 上， ，联结
，点 在线段 上，如果 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 AC=4，DB= ，通过 证得 ，再证
，最后证E是DB的中点问题可解．
【详解】解： ， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用三角形外角的性质证得
是解本题关键.
三、解答题
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质和特殊角的三角函数值化简求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质和特殊角
的三角函数值．
20. 如图，在梯形 中， ，点 在线段 上， 与 相交于点 ， 与 的延
长线相交于点 ，已知 ， ， ．求 、 的长．【答案】 ，
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例定理可得 ，进而可求出 EH的长，由△AGE∽△BGC，可得
，整理可求出GH的长．
【详解】解：∵ ∥ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
∵ , ，
∴ ．
∵ ∥ ，
∴△AGE∽△BGC，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，以及相似三角形的判定与性质，难度适中，解题的关键是
注意数形结合思想的应用．
21. 已知二次函数 的图像经过点 、 、 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点 、 、 代入二次函数的解析式 ，利用待定系
数法求得这个二次函数的解析式；
（2）利用（1）的结果，将二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据解析式求这个二次函数的顶点坐标．
【小问1详解】
解：由题意，得
解这个方程组，得 ，
所以，这个二次函数的解析式是 .
【小问2详解】
解：
所以，这个二次函数图像的顶点坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转
化为顶点式时，采用了“配方法”．
22. 如图，在航线 的两侧分别有两个灯塔 和 ，灯塔 到航线 的距离为 千米，灯塔 到航线
的距离为 千米，灯塔 位于灯塔 南偏东 方向．现有一艘轮船从位于灯塔 北偏西 方向
的 （在航线 上）处，正沿该航线自东向西航行， 分钟后该轮船行至灯塔 正南方向的点 （在航
线 上）处．（1）求两个灯塔 和 之间的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据： ， ，
， ）
【答案】（1）两个灯塔 和 之间的距离为 千米
（2）该轮船航行的速度是 千米/小时
【解析】
【分析】（1）由题意，得 ， ， ，
，然后解直角三角形分别求出 ， 即可得到答案；
（2）解直角三角形求出 ， ，则 ，然后求出
，设该轮船航行的速度是 千米/小时则 ，
由此求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得 ， ， ，
，
在Rt△ 中， ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴答：两个灯塔 和 之间的距离为 千米；
【小问2详解】
解：在Rt△ 中， ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ 中， ,
由题意，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设该轮船航行的速度是 千米/小时
由题意，得
∴ （千米/小时 ）
答：该轮船航行的速度是 千米/小时．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理与航海问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
23. 如图，已知正方形 和正方形 ，点 在边 上，点 在边 的延长线上，连接 ，并延长 交 于点 ．
（1）求证： ∽ ；
（2）如果 与 交于点 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据正方形的性质得到 ， ， ，然后证明△
≌△ （SAS），进而根据全等三角形的性质得到 ，结合 ，即可
证明 ∽ ；
（2）首先根据 得到 ，然后根据平行线的性质得
到，然后通过等量代换得到 ，结合 即可证明出△
∽△ ，然后根据相似三角形对应边成比例即可证明出 ．
【小问1详解】
解：∵四边形 是正方形
∴ ，
∵四边形 是正方形
∴ ，
∴
∴△ ≌△ （SAS）
∴
∵
∴△ ∽△ ；
【小问2详解】
解：由题意，得
∴
∴∵
∴
∴△ ∽△
∴
∵
∴
∴
【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的
关键是熟练掌握正方形的性质，相似三角形的性质和判定方法，全等三角形的性质和判定方法．全等三角
形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，
HL(直角三角形)．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周
长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比
的平方．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似．
24. 在平面直角坐标系 中，点 、 两点在直线 上，如图．二次函数 的图像
也经过点 、 两点，并与 轴相交于点 ，如果 轴，点 的横坐标是 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图像的对称轴与 交于点 ，点 在 轴的负半轴上，如果以点 、 、 所组
成的三角形与 相似，且相似比不为 ，求点 的坐标；
（3）设这个二次函数图像的顶点是 ，求 的值．
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定点C的坐标，根据 // 轴，判定B，C两点的纵坐标相等，借助直线 可以
确定A，B的坐标，用待定系数法确定解析式即可；
（2）根据 ，选择两边对应成比例且夹角相等，分两种情形求解；
（3）过点 作 ,垂足为 ，设直线 与 轴、 轴的交点分别为点 、 ，根据两点间距
离公式确定MQ的长，确定直线AM的解析式，计算MH，CH的长度，根据正切的定义计算即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数 的图像与 轴相交于点 ，
∴点 的坐标为 ，
∵ // 轴，
∴点 的纵坐标是 ，
∵点 、 两点在直线 上，点 的横坐标是 ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∵二次函数的图像也经过点 、 ，得
，
解这个方程组，得 ， ，
∴二次函数的解析式是 ；
【小问2详解】
根据（1）得，二次函数 图像 对称轴是直线 ，
的
∴点 的坐标为 ，
∴ , ，
∵ // 轴，∴ ，
∴以点 、 、 组成的三角形与△ 相似有以下两种可能：
当 时，△ ∽△ ，
显然这两相似三角形的相似比为 ，
与已知相似比不为 矛盾，这种情况应舍去；
当 时，△ ∽△ ，
∴ ，
∴ ，
又点 在 轴的负半轴上，
∴点 的坐标为 ．
【小问3详解】
过点 作 ,垂足为
根据（1）得，二次函数的解析式是 的顶点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为设直线 与 轴、 轴的交点分别为点 、 ，
则点 的坐标为 ,点 的坐标为 ，
∴△ 是等腰直角三角形， 45°，OQ=OP=1，
∵ ，
∴ 45°，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形相似的判定与性质，
正切值的计算，熟练掌握待定系数法，灵活选择相似的判定是解题的关键．
25. 在平行四边形 中，对角线 与边 垂直， ，四边形 的周长是 ，点 是
在 延长线上的一点，点 是在射线 上的一点， ．（1）如图1，如果点 与点 重合，求 的余切值；
（2）如图2，点 在边 上的一点．设 ， ，求 关于 的函数关系式并写出它的定义
域；
（3）如果 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2） ，
（3） 或
【解析】
【分析】（1）设AB=3k，AC=4k，利用平行四边形的性质，构造直角三角形，用余切的定义计算即可；
（2）利用平行四边形的性质，得到∠EDC=∠DAF，∠CED=∠CDF=∠DFA，从而证明△ ∽△ ，用
性质证明即可；
（3）分点F在AB上和在AB的延长线上，两种情形计算即可．
【小问1详解】
∵ ，
∴设AB=3k，AC=4k，AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= =2k，CD∥AB，
∵AC⊥CD，
∴AC⊥AB，∴BC= =5k，
∵四边形ABCD的周长为16，
∴5k+5k +3k +3k=16，
解得k=1，
∴AB=3，AC=4，BC=5，OA= 2，
∴cot∠AFD= ；
【小问2详解】
∵ ∥ ，
∴ , ，
∵ ，
∴ ，
∴△ ∽△ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，
定义域是： .
【小问3详解】
解：点 在射线 上都能得到：△ ∽△
∴ ，
①当点 在边 上，
∵ ， ∴ ，
由题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②当点 在 的延长线上
∵ ， ，
∴ ，
由题意， 得 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，△ 的面积是 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行
四边形的性质，灵活运用三角形的相似是解题的关键．
