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上海市复兴高级中学 2022-2023 学年高一下学期期中数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．设m为实数，点P（m，4）为角α的终边上一点，且sinα＝ ，则m＝ ．
2．已知 ，则 在 方向上的投影为 ．
3．把函数 图象上每一个点的横坐标变为原来2倍，纵坐标不变，则所得
图象的函数解析式为 ．
4．若sin（ ）＝ ，则cos（ ）＝ ．
5 ． 设 向 量 ， 满 足 ： | | ＝ 2 ， | | ＝ 3 ， 且 ， 的 夹 角 是 ， 则 |2 ﹣ |
＝ ．
6．已知函数y＝asinx+cosx的图象关于直线x＝ 成轴对称图形，则实数a＝ ．
7．函数y＝﹣cos2x﹣sinx的值域为 ．
8 ． 若 sinθ 、 cosθ 是 关 于 x 的 方 程 x2 ﹣ ax+a ＝ 0 的 两 个 根 ， 则 实 数 a 的 值
为 ．
9．赵爽是我国古代数学家和天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，
介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方
形拼成的一个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形面积为
1 ， 若 直 角 三 角 形 中 较 小 的 锐 角 为 α ， 则 tan （ α ﹣ ） 的 值
为 ．
10．函数 在区间[0，n]上至少取得 2 个最大值，则正整数 n 的最小值
是 ．
11．对于函数 y＝f（x），其中 f（x）＝asin2x+btanx+3．若 f（﹣2）＝1，则 f（π+2）
＝ ．
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12．函数 y＝2sin（ωx+ ）在区间（π，2π）内不存在零点，则正实数 ω 的取值范围
是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）
每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂
黑．
13．设x∈R，则“sinx＝ ”是“cos2x＝ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非非必要条件
14．下列等式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．定义运算： ，对于f（x）和g（x），把函数y＝|f（x）﹣g（x）|在闭区
间[a，b]上的最大值记为 （f（x），g（x）），则 （sinx*cosx，1）＝（ ）
A． B． C．1 D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤．
17．（14分）已知向量 是同一平面内的两个向量，其中 ．
（1）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角θ；
（2）若 ，向量 满足 ，且 ，求 的值．
18．（14分）已知函数y＝f（x），其中 ．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）设函数y＝g（x）对任意x∈R，都有 ，且当 时，
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，求当x∈[﹣π，0]时，函数y＝g（x）的表达式．
19．（14分）在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高
423米的东莞第一高楼民盈•国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最
后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团
刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老
师提出了问盈：国贸中心真有这么高我我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，
两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案．
第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国
贸中心顶部的仰角为α，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心
顶部的仰角为β，然后计算出国贸中心的高度（如图1）．
第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸
中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：
①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与
镜子的距离为a 米；
1
②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为a 米，
2
然后计算出国贸中心的高度（如图2）．
实际操作中，第一小组测得s＝310米，α＝30°，β＝45°，最终算得国贸中心的高度为
H ；第二小组测得a ＝1.45米，a＝12米，a ＝1.40米，最终算得国贸中心的高度为H
1 1 2 2
假设测量者的身高h都为1.60米．
（1）请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据： ，结果
保留整数）；
（2）你认为哪个小组的方案更好？请说明理由．
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20．（18分）设函数y＝f（x）定义域为D，对于区间I⊆D，如果存在x ，x ∈I，x ≠x ，使
1 2 1 2
得f（x ）+f（x ）＝2，则称区间I为函数y＝f（x）的“P区间”．
1 2
（1）求证：（0，+∞）是函数y＝lgx的“P区间”；
（2）判断（﹣∞，+∞）是否是函数 的“P区间”，并说明理由；
（3）设ω为正实数，若[π，2π]是函数y＝cosωx的“P区间”，求ω的取值范围．
21．（18分）对于函数f（x）（x∈D），若存在非零常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥
f（x）成立，我们称函数f（x）为“T函数”，若对任意的x∈D，都有f（x+T）＞f（x）
成立，则称函数f（x）为“严格T函数”．
（1）求证：f（x）＝sinx，x∈R是“T函数”；
（2）若函数f（x）＝kx+sin2x是“ 函数”，求k的取值范围；
（3）对于定义域为R的函数f（x），f（0）＝0．函数sinf（x）是奇函数，且对任意的正
实数T，sinf（x）均是“严格T函数”．若f（a）＝ ，f（b）＝﹣ ，求a+b的值．
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参考答案
1．∵点P（m，4）为角α的终边上一点，且sinα＝ ＝ ，
∴解得m＝±3．
2．∵ ，
∴ 在 方向上的投影为： ．
3．将函数 图象上每一个点的横坐标变为原来2倍，纵坐标不变，
所得图象的函数解析式为 ．
答案为： ．
4．∵sin（ ）＝ ，
∴cos（ ）＝cos[π+（ ）]＝﹣cos（ ）＝﹣sin（ ）＝﹣ ，
5．∵| |＝2．| |＝3，且 ， 的夹角是 ，
∴ ＝2×3×cos ＝3，
∴|2 ﹣ |＝
＝
＝
＝
6．∵函数y＝asinx+cosx的图象关于直线x＝ 成轴对称图形，故当x＝ 时，函数值为
最值，
∴ + ＝ ，
则实数a＝ ，
7．设sinα＝t，则cos2α＝1﹣t2，
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∴y＝﹣cos2α﹣sinα＝﹣（1﹣t2）﹣t＝（t﹣ ）2﹣
∵t＝sinx∈[﹣1，1]
∴当t＝﹣ 时，y ＝﹣ ；当t＝﹣1时，y ＝1；
min max
因此，函数y＝﹣cos2α﹣sinα的值域是[﹣ ，1]．
8．由题意，∵sinθ，cosθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个实数根，
∴ ，联立可得：a2﹣2a﹣1＝0，
∴解得a＝1± ，
∵Δ＝a2﹣4a≥0，
∴a＝1﹣ ．
9．直角三角形的边长为a和a+1，
所以a2+（a+1）2＝25，
解得a＝3，
故a+1＝4，
所以 ，cos ，
则tan ，
故 ．
10． 周期T＝ ＝6
在区间[0，n]上至少取得2个最大值，说明在区间上至少有 个周期．
6× ＝
所以，n≥
∴正整数n的最小值是8
11． f（x）＝asin2x+btanx+3，
则f（﹣2）＝asin（﹣4）+btan（﹣2）+3＝﹣asin4﹣btan2+3＝1，即asin4+btan2＝2，
故f（π+2）＝asin（2π+4）+btan（π+2）+3＝asin4+btan2+3＝2+3＝5．
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12．∵函数 y＝2sin（ωx+ ）在区间（π，2π）内不存在零点，ωx+ ∈（ωπ+ ，
2ωπ+ ），
∴2ωπ+ ≤π，∴ω≤ ；
或ωπ+ ≥π，2ωπ+ ≤2π，求得 ≤ω≤ ，
故正实数ω的取值范围为（0， ]∪[ ， ]，
13．①当sinx＝ 时，则cos2x＝1﹣2sin2x＝ ，∴充分性成立，
②当cos2x＝ 时，则cos2x＝1﹣2sin2x＝ ，∴sin2x＝ ，∴sinx＝± ，∴必要性不成
立，
综上，sinx＝ 是cos2x＝ 的充分不必要条件．
故选：A．
14．根据向量数量积的运算法则知AB都恒成立；
＝ ，C不恒成立；
，D恒成立．
故选：C．
15．由正弦定理可知a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，
∴a2≤b2+c2﹣bc，
∴bc≤b2+c2﹣a2，
∴cosA＝ ≥ ，
∴A ．
∵A＜π，
∴A的取值范围是（0， ]．
故选：B．
16．当0≤x≤ 时，sinx*cosx＝cosx∈[ ，1]，此时 （sinx*cosx，1）＝1﹣
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，
当 ≤x≤ 时，sinx*cosx＝sinx∈[ ，1]，此时 （sinx*cosx，1）＝1
﹣ ，
综上 （sinx*cosx，1）＝1﹣ ，
故选：D．
17．（1）∵ ，且 与 垂直，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，且θ∈[0，π]，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴①+②+③得， ，
∴ ．
18．解：（1）∵
，
∴函数的最小正周期T＝ ．
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（2）由于函数满足 ，故函数的最小正周期T＝ ．
当 时， ，
当 x∈[﹣π，﹣ ]时，x+π∈[0， ]，此时 g（x）＝g（x+π）＝ sin2（x+π）＝
sin2x，
当x∈[﹣ ，0]时，x+ ∈[0， ]，此时g（x）＝g（x+ ）＝ sin2（x+ ）＝ sin
（2x+π）＝﹣ sin2x，
即g（x）＝ ．
19．（1）第一小组：在Rt△BCD中得， ；在Rt△ACD中得， ，
因为AC﹣BC＝s，即 ，
得 ＝ ≈442.9米，
H ＝442.9+1.6≈445米，
1
第二小组：△MKE∽△PQE，得 ，
同理△NTF∽△PQF得， ，
因为EQ﹣FQ＝a得 ，
所以 ＝ ＝384米，
所以H ＝PQ+3×11＝417米，
2
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（2）第一组方案
优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁；③操作性强；
不足：①AB的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③
场地要求较高；
第二组方案
优点：①测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；②相对距离短，比较好测量；③
只需测量距离，需要的工具少；
不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造
成误差；③如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，
易造成误差；④人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差．
20．（1）证明：因为函数y＝lgx的定义域为（0，+∞），
存在x ，x ∈（0，+∞），x ≠x ，
1 2 1 2
当x +x ＝100时，lgx +lgx ＝lgx x ＝lg100＝2，
1 2 1 2 1 2
所以（0，+∞）是函数y＝lgx的“P区间”；
（2）（﹣∞，+∞）不是函数 的“P区间”，理由如下：
任取x∈（﹣∞，+∞），sin（x+ ）≥﹣1，
所以sin（x+ ）+3≥2，
所以任意x ，x ∈（﹣∞，+∞），sin（x + ）+3+sin（x + ）+3≥4，
1 2 1 2
所以不存在x ，x ∈（﹣∞，+∞），使得f（x ）+f（x ）＝2成立，
1 2 1 2
所以（﹣∞，+∞）不是函数 的“P区间”；
（3）因为[π，2π]是函数y＝cosωx，ω＞0的“P区间”，
所以存在x ，x ∈[π，2π]，x ≠x ，使得cosωx +cosωx ＝2，
1 2 1 2 1 2
因为cosωx≤1，
所以 ，
所以存在k，l∈Z，使得 ，
因为x ，x ∈[π，2π]，不妨设π≤x ≤x ≤2π，
1 2 1 2
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因为ω＞0，
所以ωπ≤ωx ≤ωx ≤2ωπ，
1 2
所以ω≤2k＜2l≤2ω，
所以在区间[ω，2ω]内存在两个不同的偶数，
①当ω≥4时，区间[ω，2ω]的长度为2ω﹣ω＝ω≥4，
此时区间[ω，2ω]内必存在两个相邻的偶数，
所以ω≥4符合题意；
②当0＜ω＜4时，有0＜ω≤2k＜2l≤2ω＜8，
所以2k，2l∈{2，4，6}，
当 时，有 ，即3≤ω≤4，
所以3≤ω≤4符合题意；
当 时，有 ，即ω＝2，
所以ω＝2符合题意；
当 时，有 ，无解；
综上所述，ω的取值范围为{2}∪[3，+∞）．
21．（1）证明：取非零常数T＝2π，
对任意的x∈R，f（x+2π）＝sin（x+2π）＝sinx，
∵sinx≥sinx，即f（x+2π）≥f（x），
∴f（x）＝sinx，x∈R是“T函数”；
解：（2）∵函数f（x）＝kx+sin2x是“ 函数”，D＝R，
∴ ，
即 ，整理得， ，
∵﹣cos2x∈[﹣1，1]，∴ ，即 ，故 ；
（3）∵对任意x∈R，对任意的正实数T，都有f（x+T）＞f（x），
∴f（x）在R上为增函数，
设g（x）＝sin（f（x）），∵函数sin（f（x））是奇函数，
∴g（x）为R上的奇函数，即g（x）图像关于原点对称，
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∵ ，
∴g（a）＝sin（f（a））＝1，g（b）＝sin（f（b））＝﹣1，
∵g（a）+g（b）＝0，g（x）为R上的奇函数，∴由奇函数性质得a+b＝0
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