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专题 05 平行四边形的四种几何综合问题
类型一、折叠问题
例．如图，在平行四边形 中， ．点M是 边的中点，点N是 边
上的一个动点．将 沿 所在的直线翻折到 ，连接 ．则线段 长度的最小值为
（ ）
A．5 B．7 C． D．
例2．如图，在 中， ， ，点E、F分别在 上，将四边形 沿
折叠得四边形 ， 恰好垂直于 ，若 ，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式训练1】如图，平行四边形 中， ＝ ， °，将 沿 边折叠得到 ，
交 于 ， ，则点 到 的距离为______．【变式训练2】如图，平行四边形 中，点E在 上，以 为折痕，把 向上翻折，点A正好
落在 边的点F处，若 的周长为6， 的周长为 ，那么 的长为_________．
【变式训练3】如图，在 中， ， ，将 沿射线 平移，得到 ，再将
沿射线 翻折，得到 ，连接 、 ，则 的最小值为 ____________
【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将 AEF沿EF折叠，点A恰好落在
△
BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6 ，5BE=AE．则AF长度为_____．类型二、平行四边形中的最值问题
例．（将军饮马模型）如图，在 中， ， ， ，点E在 上， ，
点P是 边上的一动点，连接 ，则 的最小值是________．
【变式训练1】如图，在 中， ， ，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，
CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【变式训练2】如图，在平行四边形 中， ，E为边 上的一动点，那么
的最小值等于______．【变式训练3】如图， ， ， ， ， ，射线 交边 于点 ，
点 为射线 上一点，以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ，则 最小值为______．
【变式训练4】如图，在 中， ， ， ，点 为 上任意一点，连接 ，
以 、 为邻边作 ，连接 ，则 的最小值为______．
类型三、动点问题
例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以
1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也
随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【变式训练1】如图，在四边形 中， ，且 ，点P，Q分别从A，C两点同
时出发，点P以 的速度由A向D运动，点Q以 的速度由向C运动B，则_____秒后四边形
成为一个平行四边形．
【变式训练2】如图，在四边形 中， ．点P从
点A出发，以 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 的速度向点B运动，规定其中一
个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使 和 ，分别需经过多少
时间？为什么？
类型四、旋转问题
例．如图1，在 中， ， ，点D，E分别在边 ， 上， ，连接 ，
，点M，P，N分别为 ， ， 的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段 与 的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)探究证明：
把 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若 ， ， 绕点A在平面内旋转过程中，请求出 的面积取得最大值时 的长．【变式训练1】在 中， ， ．在 中， ， ．连接
，M为线段 的中点，连接 ． 绕点A旋转，若 ， ， 的最大值为（ ）
A．5 B． C．7 D．
【变式训练2】如图 ， 是等腰直角三角形， ， ，线段 可绕点 在平面内旋
转， ．
(1)若 ，在线段 旋转过程中，当点 ， ， 三点在同一直线上时，直接写出 的长．
(2)如图 ，若将线段 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ， ．
①当点 的位置由 外的点 转到其内的点 处，且 ， 时，求 的长；
②如图 ，若 ，连接 ，将 绕点 在平面内旋转，分别取 ， ， 的中点 ， ，
，连接 ， ， ，请直接写出 面积 的取值范围．【变式训练3】在 中，点P为 边中点，直线a绕顶点A旋转， 于点M．
于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长 交 于点 E．求证： ；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点 在直线a的同侧，其它条件不变，此时 ，
，求MN的长度．
(3)若过P点作 于点G，试探究线段 和 的数量关系．
