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培优专题 09 二次函数的综合--线段、周长和面积问题
一：【线段和周长问题】
【技巧】二次函数求最值通常有两种类型：一种是通过几何性质线段公理和垂线段公理求最值，常常把折
的问题转化成直的问题；另一种通过函数的性质求最值。
线段最值即把线段的两个端点用坐标表示出来，然后根据距离差，列出关于坐标的二次函数的表达式，化
为顶点式，即可求出；在求周长的最值问题时，一般会和将军饮马问题有关，找到对称点，将周长问题转
化为线段最值即可。1．（2022·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝ 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求 PAB周长的最小值；
△
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，
求此时点Q的坐标及QD的最大值．
2．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，
抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， ．探究
是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B ，点F(2，1)为
其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离
为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使 DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长
的最小值及点Q的坐标． △
4．（2019·广西贺州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，且
，抛物线 图象经过 三点．
（1）求 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 是直线 下方的抛物线上的一个动点，作 于点 ，当 的值最大时，求此时点
的坐标及 的最大值．5．（2019·四川凉山·中考真题）如图，抛物线 的图象过点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC
的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得 ？若
存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
二：【面积最值问题】
【技巧】一般会出现三角形的面积最值，利用“水平宽，铅垂高”，将面积最值转化为线段最值。有时候会
出现四边形的最值，只需将四边形分割为规则的图形即可，一般分为两个三角形，一个是定值，一个是最值，只需求出最值即可。
类型1：面积定值问题
1．（2022·青海·中考真题）如图1，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于
点C.
图1 图2
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
(3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
2．（2022·广西贺州·中考真题）如图，抛物线 过点 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 ？若存在，求出点M的横
坐标；若不存在，请说明理由．
类型2：面积最值问题
3．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两
点， ， ，点P为线段 上的动点，过P作 // 交 于点Q．(1)求该抛物线的解析式；
(2)求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
4．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （a≠0）的图象与x轴
交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与x轴交于
点A，与y轴交于点B，点C的坐标为 ，抛物线经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若直线 与抛物线的对称轴l交于点E，连接 ，在第一象限内的抛物线上是
否存在一点P，使四边形 的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形 面积的最大值；若
不存在，请说明理由．
类型三：面积数量关系问题
6．（2022·四川内江·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴
交于点C（0，2）．
(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的
坐标；
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．7．（2022·黑龙江·中考真题）如图，抛物线 经过点 ，点 ，与y轴交于点C，
抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使 的面积是 面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不
存在，请说明理由．
8．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点 在函数 的图像上．已知 的横坐标分别为－2、
4，直线 与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；
（3）若函数 的图像上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有
___________个．
