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第9 章 不等式与不等式组（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法错误的是（ ）
A．由 ，可得 B．由 ，可得
C．由 ，可得 D．由 ，可得
2． 是下列不等式的一个解的是（ ）
A． B． C． D．
3．在 上定义运算： ，当 时，存在 使不等式 成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若实数m满足 ，则关于x的不等式组 的所有整数解的和是（ ）
A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9
5．若关于x的方程 有三个整数解，则 的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知在 内有任意一点 经过平移后对应点为 ，又已知点 在经过此次平移
后的对应点为 ，设 ，则不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．解不等式 时，我们可以将其化为不等式 或 得到的解集为 或，利用该题的方法和结论，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
8．若不等式组 的解 为 ，则 值为（ ）
A． B． C． D．
9．对于正整数数x，符号 表示不大于x的最大整数．若 有正整数解，则正数a的取值范围
是（ ）．
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
10．如果关于 的不等式组 仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数
组成的有序实数对 最多共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．9个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．下列命题中：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的有 ．（只填写正确命题的序号）
12．不等式 的解集是
13．如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形 菜园，若 ，则 的
取值范围为 ．14．在平面直角坐标系 中有点 ，点 ，点 （点 在点 的右边），连接
， ， ．若在以 ， ， 所围成的区域内（含边界），横，纵坐标都是整数的点恰有
6个，则 的取值范围是 ．
15．定义向下取整记号 ，其表示不超过实数 的最大整数．已知 ，且
，求得 的值为 ．
16．若点 的坐标满足方程组 ，若 在 轴上方且在 轴左侧，当 是整点时，到
轴距离最远的 点坐标是 ．
17．在平面直角坐标系中，A在y轴正半轴上，B在x轴负半轴上，C在x轴正半轴上： 的面积为
8， ，点P的坐标是 ．若 ，则a取值范围是 ．
18．对于点 和点 ，给出如下定义：若 ，则称点B为点A的纵变点．例
如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题：
（1）点（4，3）的纵变点是 ；
（2）若点 满足 ， 的纵变点为 ，且 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解不等式组
(1) 解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上．
(2) 解不等式组： ．
20．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组 ，其中 为非负数， 为正数．(1) 求 的取值范围； (2) 化简： ．
21．（10分）已知m，n与代数式 的值的对应关系如下表：
m … 2 3 4 …
n … 3 1 …
… 4 …
(1) 根据表中信息，求a，b的值；
(2) 若关于x的不等式组 有且只有一个整数解，求t的取值范围．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中， ， ．
(1) 若 ， ，则AB＝______；
(2) 若 ，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同
意，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点 ， ，线段MN上存在点P，使得 的面积等于4，直接写出
b的取值范围．
23．（10分）阅读下面材料：
关于x的不等式 的所有解都满足 ，求a的取值范围．
解：∵ ，∴当 时， ，当 时， ．
∵x的不等式 的所有解都满足 ，∴ ．
根据材料，完成下列各题：
(1) 解关于x的不等式 ．
(2) 关于x不等式 的所有解都满足不等式 ，求a的取值范围．
(3) 如果不等式组 非负整数解的和为3，求a的取值范围．
24．（12分）根据国家医保局数据显示，近 年来医保药品目录累计新增了 种药品，涵盖多数医疗领
域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在 年研发一款特效新药，未纳入医保前，该
种药物利润为 元/盒，售价是其成本的 倍． 年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本
不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果
如下：
①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出 盒；
②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售 盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家
药店销售该款药品的总收入为 元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加 ；
③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药
店销售该款药品总销量比第一个月增加 ；
④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第
一个月增加 ；
⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定．
(1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本；
(2)①求该药品纳入医保后的售价；
②该药企在 年的销量为 万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在
年继续下调该药品的价格，希望 年的年销量超过 万盒，且盈利不低于 ．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由．参考答案：
1．C
【分析】根据不等式的性质求解判断即可．
【详解】解：A．由 ，可得 ，故A说法正确，不符合题意；
B．由 ，可得 ，故B说法正确，不符合题意；
C．由 ，可得 ，故C说法错误，符合题意；
D．由 ，可得， ，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．
2．A
【分析】直接解不等式，然后确定符合题意的答案即可．
【详解】解：A． ，则 ，故此选项符合题意；
B． ，则 ，故此选项不合题意；
C． ，则 ，故此选项不合题意；
D． ，则 ，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，正确求得各不等式的解集是解题关键．
3．D
【分析】本题考查新定义运算与不等式综合，涉及解一元一次不等式知识，先由题中新定义运算，再解一
元一次不等式，最后由题中条件分类求解即可得到答案，熟记一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
【详解】解： 在 上定义运算： ，
由 可得 ，
当 时，解得 ，由 时，存在 使不等式 成立，则 ，解得 ，从而
；
当 时，解得 ，且 ，由 时，存在 使不等式 成立，得 ；当 时， ，当 时，存在 使不等式 成立；
综上所述， ，
故选：D．
4．B
【分析】求出不等式组的解集，结合 求出整数解，然后求和即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4，
∴ 或 或 ，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
5．B
【分析】根据绝对值的性质可得 然后讨论 及 的情况下解的情况，再根据方程有三
个整数解可得出 的值．
【详解】解：①若
当 时， 解得： ， ；
当 时， 解得： ； ；
②若
当 时， 解得： ， ；
当 时， 解得： ， ；
又 方程有三个整数解，可得： 或 ，根据绝对值的非负性可得： ．
即 只能取 ．
故选：B．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．
6．B
【分析】由 在经过此次平移后对应点 ，可得△ABC的平移规律为：向左平移1个
单位，向下平移5个单位，由此得到m的值，再解不等式组即可得到结论．
【详解】解：∵ 在经过此次平移后对应点 ，
∴△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，
∵点 经过平移后对应点 ，
∴a-1=c，b-5=d，
∴a-c=1，b-d=5，
∴m=a+b-c-d=1+5=6，
∴不等式组 变形为
解得，不等式组的解集为
故选：B
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减
是解题的关键．同时也考查了求不等式组的解集．
7．D
【分析】根据已知形式化成不等式组分别求解即可；
【详解】由题可得，将不等式化为 或 ，
解不等式组 ，
由 得 ，
由 得 或 ，∴不等式的解集为： ；
解不等式组 ，
由 得 ，
由 得 ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的解析为 或 ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，准确根据已知条件组合不等式组求解是解题的关键．
8．C
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集
，根据不等式组的解集得出 ，且 ，求出 ， ，即可解答．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，
若不等式组 解为 ，
，且 ，
解得： ， ，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组 ，解一元一次方程等知识点，解此题的关键
是根据不等式组解集得出关于 和 的方程，题目比较好，综合性比较强．
9．D【分析】根据 所表示的含义，结合题意可得出 ，继而可解出 的正整数解，分别代入所得不
等式，可得出 的范围．
【详解】解： 有正整数解，
，
即 ， ，
，
是正整数， 为正数，
，即 可取1、2；
①当 取1时，
， ，
；
②当 取2时，
， ，
；
综上可得 的范围是： 或 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的
求解方法，有一定难度．
10．C
【分析】先求出不等式组的解集，得出关于m、n的不等式组，求出整数m、n的值，即可得出答案．
【详解】∵解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴不等式组的解集是 ，
∵关于x的不等式组的整数解仅有-1，0，1，2，
∴ ， ，解得： ， ，
即 的整数值是-3，-2， 的整数值是6，7，8，
即适合这个不等式组的整数m，n组成的有序数对(m，n)共有6个，是(-3，6)，(-3，7)，(-3，8)，(-2，6)，
(-2，7)，(-2，8)．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出m、n的值．
11．②③
【分析】根据不等式的性质依次判断即可．
【详解】解：①若 ，则 ，故①错误；
②若 ，则 ，故②正确；
③若 ， ， ，故③正确；
④若 ，当 时，则 ；当 ，则 ，故④错误；
故正确的有：②③，
故答案是：②③．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
12．
【分析】运用移项，合并同类项，系数化为1解不等式求得解集．
【详解】 ，
，
．
【点睛】本题考查不等式的解法，注意不等号的改变是解题的关键．
13．
【分析】根据题意可得 ，从而表示出 ，再由 即可得到
，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得： ，，
，
，
解得： ，
的取值范围为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
14．
【分析】根据题意画出图形，结合图形列出关于 的不等式，解之确定 的范围．
【详解】解：如图，点 是一个整数点，除此以外，所有的整数点都位于 上，
，
当 最短时， ， 都是整数点， ；
当 最长时， ， 都不是整数点， ；
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，在平面直角坐标系中描出点所在的位置，根据要求找出符合条件的点
的坐标是解题的关键，也考查了解一元一次不等式．
15．4
【分析】根据题意可知 或 ，再根据已知条件得到不等式组，求出 ，即可得到 ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意得到 是解
题的关键．
16．
【分析】根据题意，解得 ，由 在 轴上方且在 轴左侧，可知点P在第二象限，即x<0，
y>0，进而求得00，∴ ，
解得03，
∴ =b-1=3-1=2，
∴点（4，3）的纵变点是（4，2）
故答案为：（4，2）．
（2）∵
①当a≤3时， ，
∴
解得： ；
②当 时， ，
∴ ，
∴无解
综上所述， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解不等式组，解答本题的关键是熟练掌握新定义“纵变点”，
解不等式时注意不等号两边乘以同一个负数时不等号方向要改变．
19．(1) ，画数轴见解析
(2)
【分析】本题考查一元一次不等式及不等式组的解法、在数轴上表示不等式解集的方法等知识，熟记一元
一次不等式的解法是解决问题的关键．
（1）根据一元一次不等式的解法，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案，
再由不等式解集在数轴上的表示方法画出数轴即可；（2）根据一元一次不等式组的解法，分别求出不等式组的每个不等式解集，再由不等式组解集的求法求
解即可得到答案．
【详解】（1）解：去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ，
将解集表示在数轴上如下：
；
（2）解： ，
由①得 ；
由②得 ；
不等式组的解集为 ．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值，熟练掌握运算法则是解此题
的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组得出 的值，再结合方程组的解是 为非负数， 为正数，得出
不等式组，解不等式组即可得出答案；
（2）由（1）可得 ，结合绝对值的性质化简即可得出答案．
【详解】（1）解：
① ②，得 ，即 ，
把 代入②，得 ，由题意得 ，
解得 ．
（2）解： ，
， ．
．
21．(1) ， ；
(2) ．
【分析】（1）结合表中数据建立二元一次方程组求解即可；
（2）分别求解不等式，结合不等式组的解得情况得到关于t的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：依据表中数据可得：
，
解得： ，
即： ， ；
（2）由（1）得：
，
解不等式 得：
，
解不等式 得：
，
由不等式组有且只有一个整数解，得 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，以及根据不等式组的解得情况求参；解题的
关键是正确求解方程组和不等式组，理解不等式组解得情况．
22．(1)4
(2)同意，AB=4
(3) 或
【分析】（1）求出A，B两点坐标，可得结论；
（2）用a表示出点B的坐标，可得结论；
（3）构建不等式求解即可．
【详解】（1）解：当a=1，b=1时，A（1，2），B（1，-2），
∴AB=2-（-2）=4，
故答案为：4；
（2）小智同学的观点正确．
理由：∵a+2b=3，
∴2b=3-a，
∴B（a，2a-4），
∵A（a，2a），
∴AB=2a-（2a-4）=4，
∴AB的长是定值；
（3）如图，观察图象可知，0≤a≤2或-4≤a≤-2
∵a=3-2b，
∴0≤3-2b≤2或-4≤3-2b≤-2.
解得 或 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，
学会构建不等式解决问题．
23．(1)当 时， ；当 时，
(2)
(3)
【分析】（1）分两种情况讨论解不等式即可；
（2）仿照阅读材料解答即可；
（3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组 非负整数解的和为3，则a＜0
不合题意，于是得到 ，解得 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ．
（2）解：∵ ，
∴ ，∵关于x不等式 的所有解都满足不等式 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：
由①得，x ，
由②得， ，
∵不等式组 非负整数解的和为5，
∴ 不合题意，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式（组），仿照阅读材料的解题思路求
解是解题的关键．
24．(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元
(2)①该药店纳入医保后的售价为 元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为 ，理由见解析
【分析】（1）设该药品在未纳入医保前的售价为 元，成本为 元,根据利润为 元/盒，售价是其成本
的 倍列二元一次方程组求解即可得解；
（2）①设该药品纳入医保后的售价为 元/盒,根据两家药店销售该款药品的总收入为 元列方程求解即可；②先根据材料总结药品价格与销量之间的规律：该药品价格每降低 ，销售量增长率为 ，设该
药品价格定为 元，则下降率为 ，销售增长率为 ，列不等式组求解即可。
【详解】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为 元，成本为 元
根据题意，列出方程组：
，
解得： ，
答：该药品在未纳入医保前的售价为 元，成本为 元 ；
（2）解：①设该药品纳入医保后的售价为 元/盒
因为第二个月的总销量比第一个月增加 ，
所以第二个月的总销量为 （ ） 盒
因为第二个月甲药店出售 盒，所以乙药店出售 盒,
根据题意可列方程：
解得：
所以该药店纳入医保后的售价为 元/盒,
②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下：
第一个月，甲药店的销售量为 盒，乙药店销售 盒，共售出 盒
第二个月，甲药店的销售量为 盒，乙药店销售 盒，共售出 盒
第三个月，甲药店的销售量为 盒，乙药店销售 盒，共售出 盒
第四个月，甲药店的销售量为 盒，乙药店销售 盒，甲乙两家药店共售出 盒
由第二个月可发现：乙药店价格下降 ，乙药店销售量增长率为 ，即价格每降低 ，销售量增长率
为 ；
由第三个月可发现：甲药店价格下降 ，甲药店销售量增长率为 ，即价格每降低 ，销售量增长率为 ；
由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降 ，甲乙药店总销售量增长率为 ，即价格每降低 ，销
售量增长率为 ；
总结规律：该药品价格每降低 ，销售量增长率为 ，
设该药品价格定为 元，则下降率为 ，销售增长率为 ，
依题意得： ，
解得 ,
因为盈利不低于 ，则 ≥ ，
解得 ≥
所以
因此该药企的制定该药品价格范围为
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，数字规律，一元一次方程的应用以及二院一次方程的应用，明
确题意，正确找出相等关系及不等关系是解题的关键。
